THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE PARIS-SUD

spécialité

MATHÉMATIQUES

présentée par

Vincent LAFFORGUE

Sujet de la thèse:

K-THÉORIE BIVARIANTE POUR LES ALGÈBRES DE BANACH ET CONJECTURE DE BAUM-CONNES

Thèse soutenue le lundi 15 mars 1999 devant le jury composé de

M. Jean-Benoît Bost (Directeur de thèse)

M. Laurent Clozel M. Alain Connes M. Michel Duflo M. Guennadi Kasparov (Rapporteur) M. Georges Skandalis

2

À mes parents

3 4

Remerciements.

Je remercie avant tout Jean-Benoît Bost pour m’avoir proposé comme sujet de thèse la construction d’une K-théorie bivariante pour les algèbres de Banach en vue d’aborder la conjecture de Baum-Connes pour des groupes possédant la propriété (T). A la suite de ses travaux personnels sur le principe d’Oka, et grâce à sa propre intuition et à sa connaissance de la théorie des représentations, Jean-Benoît Bost avait acquis la conviction que l’on devait pouvoir démontrer un résultat analogue à la conjecture de Baum-Connes pour les algèbres L^{1} des sous-groupes fermés des groupes de Lie semi-simples. Ce résultat, que je ne suis parvenu à établir qu’à la fin de ma thèse, a guidé toute ma recherche. Jean-Benoît Bost a dirigé ma thèse avec énormément d’attention. Au début de ma thèse il m’a demandé d’étudier les équivalences de Morita entre algèbres de Banach, et c’est ainsi que j’ai été amené à trouver une définition équivalente de la K-théorie des algèbres de Banach, en introduisant la notion de paire, qui est à la base de mon travail.

C’est grâce aux encouragements de Georges Skandalis que je suis parvenu à construire l’homotopie entre γ et 1 pour les groupes agissant sur des espaces boliques et il m’a donné une indication très importante pour la partie algébrique de l’homotopie. Je n’ai réussi à construire l’homotopie entre γ et 1 pour les groupes agissant sur des variétés de courbure négative ou nulle que quelques mois plus tard. J’ai utilisé pour cela une réalisation de l’élément γ obtenue en conjuguant le complexe de de Rham sur la variété par e^{−ρ^{2}}, où ρ est la distance à un point fixe. Cette réalisation m’a été expliquée par Alain Connes et Georges Skandalis.

Je remercie aussi Jean-Benoît Bost et Georges Skandalis pour avoir corrigé les versions préliminaires de ma thèse, et pour avoir beaucoup simplifié certaines démonstrations.

Michel Duflo m’a beaucoup aidé en m’expliquant les travaux de Zelobenko sur les groupes de Lie semi-simples complexes et en répondant avec gentillesse à toutes mes questions sur les groupes de Lie.

J’ai aussi profité de nombreuses discussions avec Yves Benoist sur les immeubles et sur les sous-groupes discrets des groupes de Lie.

Je remercie Laurent Clozel pour m’avoir aidé à rédiger la partie du chapitre 4 qui concerne les groupes p-adiques.

J’ai effectué ma thèse au Département de Mathématiques et d’Informatique de l’Ecole Normale Supérieure dans d’excellentes conditions. Je suis très reconnaissant à Jean-Bernard Zuber et aux autres membres du Service de Physique Théorique du centre de Saclay pour l’année que j’ai passée parmi eux, dans le cadre de mon service national.

Je remercie Joachim Cuntz et Guennadi Kasparov d’avoir accepté d’être rapporteurs de ma thèse.

Introduction.

Cette introduction est composée de trois parties : un exposé historique, l’explication de l’idée principale de la thèse, et la description des applications à la conjecture de Baum-Connes.

Exposé historique. Soient G un groupe localement compact et \underline{E}G l’espace classifiant les actions propres de G, défini dans [BCH94]. On appelle K-théorie topologique de G et on note K_{∗}^{top}(G) la K-homologie G-équivariante de \underline{E}G. On rappelle que la C^{∗}-algèbre réduite de G, notée C_{r}^{∗}(G), est la complétion de l’algèbre C_{c}(G) des fonctions continues à support compact de G dans ℂ pour l’action par convolution à gauche sur L^{2}(G). L’article [BCH94] définit une application, dite de Baum-Connes, μ_{r} : K_{∗}^{top}(G) → K_{∗}(C_{r}^{∗}(G)), de la K-théorie topologique de G vers la K-théorie de la C^{∗}-algèbre réduite de G. La conjecture de Baum-Connes, élaborée progressivement dans [BC82, BC88a, BC88b, BCH94], affirme que pour tout groupe localement compact G, μ_{r} est une bijection.

L’idée de cette conjecture est que dans un certain nombre de cas K_{∗}^{top}(G) n’est pas trop difficile à calculer, tandis que la K-théorie de C_{r}^{∗}(G) donne des informations intéressantes sur les représentations unitaires tempérées de G, même lorsque G n’est pas de type I, et constitue un bon réceptacle pour les théorèmes d’indice G-équivariants. Supposons par exemple que G est un groupe de Lie semi-simple (nous appelons ainsi un groupe de Lie dont l’algèbre de Lie est semi-simple et dont le morphisme adjoint a un noyau fini) et notons K un sous-groupe compact maximal de G. Alors \underline{E}G = G/K et d’après [BCH94], si nous supposons pour simplifier que la représentation spinorielle associée à la représentation adjointe de 𝔨 sur 𝔤/𝔨 provient d’une représentation de K, alors K_{∗}^{top}(G) est égal à l’anneau des représentations de K. Au contraire K_{∗}(C_{r}^{∗}(G)) est lié à la topologie du dual tempéré de G, et contient en particulier une copie de ℤ pour chaque représentation de la série discrète de G. Dans ce cas la conjecture de Baum-Connes implique que les éléments de la série discrète de G s’obtiennent tous par induction de Dirac.

Rappelons la conjecture de Baum-Connes à coefficients, qui généralise la conjecture sans coefficients. Soient G un groupe localement compact et \underline{E}G le classifiant des actions propres de G. Pour toute G-C^{∗}-algèbre A on pose K_{∗}^{top}(G, A) = lim_{⟶} KK_{G}(C_{0}(Z), A) où la limite est prise suivant les parties Ginvariantes et G-compactes Z de \underline{E}G. Dans l’article [BCH94], Baum, Connes et Higson définissent un homomorphisme μ_{r}^{A} : K_{∗}^{top}(G, A) → K_{∗}(C_{r}^{∗}(G, A)) et conjecturent que cet homomorphisme est toujours bijectif. On dit qu’un groupe G vérifie la conjecture de Baum-Connes à coefficients si pour toute G-C^{∗}-algèbre A, μ_{r}^{A} est une bijection. La conjecture de Baum-Connes à coefficients a la particularité suivante : si elle est vraie pour un groupe elle est aussi vraie pour tous ses sous-groupes fermés.

La conjecture de Baum-Connes sans coefficients a été vérifiée pour les groupes de Lie linéaires semi-simples connexes par Wassermann dans [Was87] et pour le groupe GL_{n} sur un corps p-adique par Baum, Higson et Plymen dans [BHP97], par identification des deux termes et en s’appuyant sur la connaissance explicite du dual tempéré de ces groupes, c’est-à-dire sur un immense travail. Il n’est pas possible de procéder ainsi pour les réseaux des groupes de Lie semi-simples ou des groupes réductifs sur un corps p-adique.

La méthode la plus puissante pour aborder la conjecture de Baum-Connes a été inventée par Kasparov afin de résoudre la conjecture de Novikov. Elle figure dans son preprint de 1981, antérieur à l’énoncé de la conjecture de Baum-Connes, et repose sur la KK-théorie équivariante de Kasparov. Le premier exemple d’application de cette méthode est le suivant. Soient G un groupe de Lie semi-simple (plus précisément un groupe de Lie dont l’algèbre de Lie est semi-simple et dont le morphisme adjoint a un noyau fini) et K un sous-groupe compact maximal de G. On suppose de nouveau que la représentation spinorielle associée à la représentation adjointe de 𝔨 sur 𝔤/𝔨 provient d’une représentation de K. Kasparov construit alors, dans [Kas81, Kas88], un élément [d] ∈ KK_{G}(C_{0}(G/K), ℂ) défini à l’aide d’un opérateur de Dirac sur G/K et un élément dit ”dual-Dirac” η ∈ KK_{G}(ℂ, C_{0}(G/K)). Il montre que [d] ⊗_{ℂ} η = 1 ∈ KK_{G}(C_{0}(G/K), C_{0}(G/K)). Par suite γ = η ⊗_{C_{0}(G/K)} [d] est un idempotent de KK_{G}(ℂ, ℂ) et, pour toute G-C^{∗}-algèbre A, j_{r}(σ_{A}(γ)) est un idempotent dans KK(C_{r}^{∗}(G, A), C_{r}^{∗}(G, A)) et induit un projecteur sur K_{∗}(C_{r}^{∗}(G, A)) et Kasparov montre que μ_{r}^{A} est injective d’image l’image de ce projecteur dans K_{∗}(C_{r}^{∗}(G, A)).

Cette méthode, qui prouve l’injectivité de μ_{r}^{A} pour toute G-C^{∗}-algèbre A, a été étendue à une classe extrêmement vaste de groupes, que nous notons C, par Kasparov et Skandalis, et Higson et Kasparov : cette classe C est formée

– par les groupes agissant proprement, continûment et isométriquement sur une variété riemannienne complète simplement connexe à courbure sectionnelle négative ou nulle (voir [Kas88]), ou sur un immeuble de Bruhat-Tits affine (voir [KS91]), ou sur un espace métrique uniformément localement fini, faiblement géodésique et faiblement bolique (voir [KS94]) (ce cas contient le précédent)

– par les groupes discrets agissant proprement et par isométries sur un espace métrique faiblement géodésique, faiblement bolique et de géométrie grossière bornée (voir [KS])

– et par les groupes vérifiant la propriété de Haagerup, c’est-à-dire agissant de façon affine isométrique et propre sur un espace de Hilbert (voir [HK97]).

La classe C contient donc en particulier les groupes hyperboliques au sens de Gromov, les sous-groupes fermés des groupes de Lie semi-simples (dont l’algèbre de Lie est semi-simple et dont le morphisme adjoint a un noyau fini) et des groupes réductifs sur un corps p-adique et les groupes moyennables. L’injectivité de l’application de Baum-Connes à coefficients est donc démontrée pour tous ces groupes et repose en quelque sorte sur des considérations géométriques, alors que la surjectivité est plutôt un problème d’analyse.

Pour aborder la question de la surjectivité nous devons rappeler de façon plus précise le résultat auquel aboutit la construction Dirac-dual-Dirac pour les groupes appartenant à la classe C. Nous rappelons d’abord la définition de KK_{G}(ℂ, ℂ), donnée dans [Kas88]. Pour tout groupe localement compact G on note E_{G}(ℂ, ℂ) l’ensemble des classes d’isomorphisme de triplets (H, π, F) où H = H_{+}⊕H_{−} est un espace de Hilbert ℤ/2ℤ-gradué, π est une représentation unitaire de G sur H préservant la graduation et F est un élément impair de L(H) tel que F^{2} − 1 soit compact et que g ↦ π(g)F π(g)^{−1} − F soit une application continue de G dans l’espace K(H) des opérateurs compacts sur H. On note KK_{G}(ℂ, ℂ) le quotient de E_{G}(ℂ, ℂ) par une relation d’homotopie faible dont l’idée est la suivante : deux éléments (H_{0}, π_{0}, F_{0}) et (H_{1}, π_{1}, F_{1}) de E_{G}(ℂ, ℂ) sont homotopes s’il existe un champ continu d’espaces de Hilbert ℤ/2ℤ-gradués (H_{t})_{t∈[0,1]}, au sens de [Dix64], muni d’un champ continu (π_{t})_{t∈[0,1]} de représentations unitaires de G et un champ continu d’opérateurs impairs (F_{t})_{t∈[0,1]}, tels que F_{t}^{2} − 1 et π_{t}(g)F_{t}π_{t}(g)^{−1} − F_{t} soient compacts de façon uniforme en t et en g quand t parcourt [0, 1] et g parcourt un compact de G. La somme directe munit KK_{G}(ℂ, ℂ) d’une structure de groupe abélien. On note 1 ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) la classe de (ℂ, représentation triviale, 0).

Les deux faits suivants sont fondamentaux pour nous :

a) d’après [Kas88] il existe, pour tout groupe localement compact G, un homomorphisme KK_{G}(ℂ, ℂ) → End(K_{∗}(C_{r}^{∗}(G))) tel que l’image de 1 par cet homomorphisme soit Id,

b) d’après [Kas88], [KS91], [KS94], [KS], [HK97], et [Tu98], pour tout groupe G dans la classe C il existe γ ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) tel que l’image de γ par l’homomorphisme KK_{G}(ℂ, ℂ) → End(K_{∗}(C_{r}^{∗}(G))) soit un projecteur et que μ_{r} soit une bijection de K_{∗}^{top}(G) vers l’image de ce projecteur.

Pour montrer la surjectivité de l’application de Baum-Connes, si l’on excepte les méthodes de [Was87] et [BHP97] que nous avons mentionnées cidessus, la seule voie connue jusqu’à présent était de montrer l’égalité γ = 1 dans KK_{G}(ℂ, ℂ), pour des groupes G appartenant à la classe C. Lorsque γ = 1 on obtient la conjecture de Baum-Connes à coefficients. Malheureusement les groupes pour lesquels on a γ = 1 ne représentent qu’une portion de la classe C. L’égalité γ = 1 a été démontrée pour les groupes de Lorentz SO(n, 1) par Kasparov dans [Kas84], pour SU(n, 1) par Julg et Kasparov dans [JK95], pour SL_{2}(ℚ_{p}) par Julg et Valette dans [JV84] et pour tous les groupes vérifiant la propriété de Haagerup par Higson et Kasparov dans [HK97, HKT98]. En fait, dans [JV84], Julg et Valette ont montré une égalité γ = 1 pour un certain élément γ mais sans posséder les éléments Dirac et dual-Dirac, qui furent construits par kasparov et Skandalis dans [KS91]. Cette égalité leur permettait de montrer la K-moyennabilité des groupes agissant proprement sur les arbres. Des résultats analogues avaient déjà été établis pour les groupes libres par Pimsner,Voiculescu et Cuntz dans [PV82] et [Cun83]. Le résultat de Julg et Valette permit à Pimsner dans [Pim86] de construire une suite exacte exprimant la K-théorie d’un groupe agissant sur un arbre en fonction des stabilisateurs des sommets et des arêtes. Cette méthode a été raffinée depuis et a permis à Oyono de montrer le résultat suivant : d’après [OO98] (voir aussi [Tu97, BBV96] pour des résultats voisins) la conjecture de Baum-Connes à coefficients est vraie pour tout groupe discret dénombrable agissant sur un arbre orienté à condition que les stabilisateurs des sommets la vérifient.

En revanche, pour tout groupe G dans la classe C γ est différent de 1 dans KK_{G}(ℂ, ℂ) dès que G est non compact et possède la propriété (T) de Kazdhan car l’égalité γ = 1 impliquerait la bijectivité de l’application de Baum-Connes à valeurs dans la C^{∗}-algèbre maximale μ : K_{∗}^{top}(G) → K_{∗}(C^{∗}(G)) et la bijectivité de l’application K_{∗}(C^{∗}(G)) → K_{∗}(C_{r}^{∗}(G)). Or l’application K_{∗}(C^{∗}(G)) → K_{∗}(C_{r}^{∗}(G)) n’est injective pour aucun groupe non compact vérifiant la propriété (T). Rappelons qu’un grand nombre de groupes possèdent la propriété (T), en particulier les groupes Sp(n, 1) et F_{4(−20)} (d’après Kostant), et tous les groupes de Lie semi-simples connexes, ou réductifs sur un corps p-adique, de rang supérieur ou égal à deux, et tous les réseaux dans les groupes ci-dessus (d’après Kazdhan) : ces résultats sont exposés dans les chapitres 2, 3, et 9 de [dlHV89]. Julg a proposé dans [Jul97] une méthode susceptible de résoudre la conjecture de Baum-Connes à coefficients pour Sp(n, 1), et fondée sur la notion de représentation uniformément bornée d’un groupe dans un espace de Hilbert. Cette idée de Julg est voisine de l’idée principale de cette thèse, que nous allons maintenant exposer.

Idée principale. Lorsqu’un groupe G possède la propriété (T) la représentation triviale est isolée parmi les représentations unitaires de G. En revanche, pour tout groupe G localement compact et non compact, et pour toute suite (p_{i})_{i∈ℕ} d’éléments de [1, +∞[ tendant vers l’infini, la représentation de G par translation à gauche sur la somme directe ⨁_{i∈ℕ}^{l^{1}} L^{p_{i}}(G) possède presque des vecteurs invariants, au sens de la définition 1 du chapitre 1 de [dlHV89], mais ne contient pas de vecteur invariant non nul. D’où l’idée de remplacer, dans la définition de KK_{G}(ℂ, ℂ), les représentations unitaires de G dans des espaces de Hilbert par des représentations isométriques de G dans des espaces de Banach.

Dans cette thèse nous construisons, pour tout groupe localement compact G, une variante de KK_{G}(ℂ, ℂ), notée KK_{G}^{ban}(ℂ, ℂ), obtenue en remplaçant les espaces de Hilbert munis d’une représentation unitaire de G, qui interviennent dans la définition de KK_{G}(ℂ, ℂ), par des espaces de Banach, munis d’une représentation isométrique de G, et nous possédons une application évidente ι : KK_{G}(ℂ, ℂ) → KK_{G}^{ban}(ℂ, ℂ). Nous montrons une égalité légèrement plus faible que l’égalité ι(γ) = 1 dans KK_{G}^{ban}(ℂ, ℂ) pour une classe de groupes C′ à peine moins vaste que la classe C, et contenant un grand nombre de groupes possédant la propriété (T).

La classe C′ est formée par les groupes localement compacts agissant de façon continue, isométrique et propre

– sur une variété riemannienne complète simplement connexe, dont la courbure sectionnelle est négative ou nulle et bornée inférieurement,

– ou sur un immeuble affine de Bruhat-Tits uniformément localement fini

– ou sur un espace métrique uniformément localement fini, faiblement géodésique, faiblement bolique et vérifiant une condition supplémentaire de bolicité forte (ce cas contient le précédent),

et par les groupes vérifiant la propriété de Haagerup. La classe C′ contient en particulier les sous-groupes fermés des groupes de Lie semi-simples (dont l’algèbre de Lie est semi-simple et dont le morphisme adjoint a un noyau fini) et des groupes réductifs sur un corps p-adique et les groupes discrets agissant de façon continue, isométrique, propre et cocompacte sur un espace CAT (0).

Avant de passer aux applications donnons un énoncé précis du résultat ci-dessus.

On appelle ℂ-paire un triplet (E^{<}, E^{>}, ⟨ , ⟩), où E^{<} et E^{>} sont des espaces de Banach et ⟨ , ⟩ : E^{<} ⊗ E^{>} → ℂ est une application bilinéaire telle que |⟨ξ, x⟩| ≤ ∥ξ∥_{E^{<}}∥x∥_{E^{>}} pour ξ ∈ E^{<} et x ∈ E^{>}.

Lorsque E et F sont des ℂ-paires on appelle morphisme de ℂ-paires de E dans F un couple f = (f^{<}, f^{>}), où f^{>} : E^{>} → F^{>} et f^{<} : F^{<} → E^{<} sont des applications linéaires continues formellement transposées l’une de l’autre, c’est-à-dire telles que ⟨f^{<}(η), x⟩ = ⟨η, f^{>}(x)⟩ pour η ∈ F^{<} et x ∈ E^{>}. On pose ∥f∥ = max(∥f^{<}∥, ∥f^{>}∥) si bien que l’espace L(E, F) des morphismes de ℂ-paires de E dans F, muni de cette norme, est un espace de Banach.

Pour tous y_{0} ∈ F^{>} et ξ_{0} ∈ E^{<} on note |y_{0}⟩⟨ξ_{0}| le morphisme f de ℂpaires de E dans F défini par f^{>}(x) = y_{0}⟨ξ_{0}, x⟩ et f^{<}(η) = ⟨η, y_{0}⟩ξ_{0}. On note K(E, F) l’adhérence dans L(E, F) de l’espace vectoriel engendré par les morphismes du type |y_{0}⟩⟨ξ_{0}|. On appelle opérateurs compacts les éléments de K(E, F).

Lorsque G est un groupe localement compact, on appelle norme sur G une application continue N : G → [1, +∞[ telle que N(g_{1}g_{2}) ≤ N(g_{1})N(g_{2}) pour tous g_{1}, g_{2} ∈ G. On appelle (G, N)-ℂ-paire une ℂ-paire E = (E^{<}, E^{>}), avec E^{<} et E^{>} munis d’actions continues de G telles que ⟨gξ, gx⟩ = ⟨ξ, x⟩, ∥gξ∥_{E^{<}} ≤ N(g^{−1})∥ξ∥_{E^{<}} et ∥gx∥_{E^{>}} ≤ N(g)∥x∥_{E^{>}} pour g ∈ G, ξ ∈ E^{<} et x ∈ E^{>}. On note E_{G,N}^{ban}(ℂ, ℂ) l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples (E, T) où E est une (G, N)-ℂ-paire ℤ/2ℤ-graduée, et T est un élément impair de L(E) tel que T^{2} − Id_{E} soit compact et que g ↦ g(T) − T soit une application continue de G dans K(E), en notant g(T) = (gT^{<}g^{−1}, gT^{>}g^{−1}) ∈ L(E). On note KK_{G,N}^{ban}(ℂ, ℂ) le quotient de E_{G,N}^{ban}(ℂ, ℂ) par une relation d’homotopie faible semblable à celle utilisée pour définir KK_{G}(ℂ, ℂ). La somme directe munit KK_{G,N}^{ban}(ℂ, ℂ) d’une structure de groupe abélien. On note 1 ∈ KK_{G,N}^{ban}(ℂ, ℂ) la classe de (ℂ, 0).

Pour toute norme N sur G on a un homomorphisme évident ι : KK_{G}(ℂ, ℂ) → KK_{G,N}^{ban}(ℂ, ℂ).

Nous montrons le résultat suivant : pour tout groupe G dans la classe C′ il existe une suite (N_{i})_{i∈ℕ^{∗}} de normes sur G, décroissante et convergeant uniformément vers 1 sur tout compact de G et telle que pour tout i ∈ ℕ^{∗} on ait ι(γ) = 1 dans KK_{G,N_{i}}^{ban}(ℂ, ℂ).

Applications à la conjecture de Baum-Connes. Pour appliquer ce résultat à la conjecture de Baum-Connes nous construisons une variante de la KK-théorie équivariante de Kasparov adaptée à la catégorie des algèbres de Banach que nous notons KK^{ban}. Si A et B sont deux algèbres de Banach (avec BB dense dans B) nous construisons un homomorphisme KK^{ban}(A, B) → Hom(K_{∗}(A), K_{∗}(B)) mais nous ne savons pas construire le produit de Kasparov en général. En revanche nous possédons encore une application de descente. Nous appelons bonne complétion de C_{c}(G) une complétion de C_{c}(G) pour une norme telle que ∥f∥ ne dépende que de g ↦ |f(g)| et en dépende de manière croissante. En particulier L^{1}(G) est toujours une bonne complétion de C_{c}(G). Pour tout groupe localement compact G, pour toute norme N sur G et pour toute bonne complétion A(G) de C_{c}(G) nous construisons un homomorphisme KK_{G,N}^{ban}(ℂ, ℂ) → KK^{ban}(A_{N}(G), A(G)), où A_{N}(G) désigne la complétion de C_{c}(G) pour la norme ∥f∥ = ∥g ↦ N(g)|f(g)|∥_{A(G)}. De plus cette KK-théorie banachique vérifie toutes sortes de compatibilités avec la théorie de Kasparov.

Pour toute bonne complétion A(G) de C_{c}(G), pour toute suite (N_{i})_{i∈ℕ^{∗}} de normes sur G, décroissante et convergeant uniformément vers 1 sur tout compact de G, A(G) est la limite inductive au sens des algèbres de Banach des A_{N_{i}}(G), et on a donc K_{∗}(A(G)) = lim_{⟶} K_{∗}(A_{N_{i}}(G)). Il résulte de ce qui précède que pour tout groupe G dans la classe C′ l’image de ι(γ) par KK_{G}^{ban}(ℂ, ℂ) → KK^{ban}(A(G), A(G)) → End(K_{∗}(A(G)) est Id.

Nous en tirons essentiellement deux conséquences concernant la conjecture de Baum-Connes.

D’abord nous énonçons une conjecture analogue à celle de Baum-Connes en remplaçant C_{r}^{∗}(G) par une bonne complétion de C_{c}(G) : pour tout groupe localement compact G et pour toute bonne complétion A(G) de C_{c}(G) nous construisons une application de Baum-Connes μ_{A} : K_{∗}^{top}(G) → K_{∗}(A(G)). Nous montrons que cette application est bijective pour tout groupe G dans la classe C′ et pour toute bonne complétion A(G) de C_{c}(G). Il y a également un énoncé à coefficients.

Nous en déduisons la conjecture de Baum-Connes classique sans coefficients, c’est-à-dire la bijectivité de μ_{r} : K_{∗}^{top}(G) → K_{∗}(C_{r}^{∗}(G)), pour les groupes G de la classe C′ tels que C_{r}^{∗}(G) possède une sous-algèbre dense A(G) qui est une bonne complétion de C_{c}(G) et telle que K_{∗}(A(G)) → K_{∗}(C_{r}^{∗}(G)) soit surjective (c’est le cas en particulier si A(G) est stable par calcul fonctionnel holomorphe dans C_{r}^{∗}(G)). Parmi ces groupes figurent les suivants :

– les groupes de Lie semi-simples (plus précisément les groupes de Lie dont l’algèbre de Lie est semi-simple et dont le morphisme adjoint a un noyau fini) et pour les groupes réductifs sur un corps p-adique,

– tous les groupes discrets appartenant à la classe C′ et possédant la propriété (RD) de Jolissaint donc en particulier les sous-groupes discrets cocompacts de Sp(n, 1) et SL_{3}(ℝ) et les sous-groupes discrets de type fini de SL_{3}(𝔽), où 𝔽 est une extension finie de ℚ_{p}.

En effet si G est un groupe de Lie semi-simple (au sens défini ci-dessus) ou un groupe réductif sur un corps p-adique, nous définissons au chapitre 4 une variante A(G) de l’espace de Schwartz de G de la façon suivante : on se donne Φ une fonction d’Harish-Chandra sur G, ∥.∥ une norme matricielle sur G et s ∈ ℝ_{+} assez grand, et on pose ∥f∥_{A(G)} = sup_{g∈G} |f(g)|Φ(g)^{−1}(1 + log ∥g∥)^{s}. Alors A(G) est une bonne complétion de C_{c}(G) et une sous-algèbre de C_{r}^{∗}(G) dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe.

D’autre part si Γ est un groupe discret vérifiant la propriété (RD) de Jolissaint, relativement à une longueur l (voir [Jol90]), pour s ∈ ℝ_{+} assez grand, l’algèbre de Jolissaint H^{s}(Γ) définie comme la complétion de ℂΓ pour la norme ∥f∥ = ( ∑_{g∈Γ} |f(g)|^{2}(1 + l(g))^{2s})^{\frac{1}{2}} est une bonne complétion de C_{c}(G) et une sous-algèbre de C_{r}^{∗}(G) dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe.

Or d’après [dlH88, RRS97, Laf98] les groupes hyperboliques les sousgroupes discrets de type fini de SL_{3}(𝔽), où 𝔽 est un corps p-adique, et les sous-groupes discrets cocompacts de SL_{3}(ℝ) possèdent la propriété (RD).

Pour conclure notons qu’il serait souhaitable d’établir un lien entre la KK-théorie banachique développée ci-dessous et la kk-théorie construite par Cuntz [Cun97]. Par exemple le produit de Kasparov est bien défini dans la théorie de Cuntz mais nous ne savons pas le construire pour KK^{ban}.

Dans le premier chapitre nous définissons la KK-théorie banachique et nous étudions ses propriétés. Nous réalisons l’homotopie entre γ et 1 pour les groupes agissant sur des espaces boliques dans le deuxième chapitre et pour les groupes agissant sur des variétés de courbure négative ou nulle dans le troisième chapitre. Dans le quatrième chapitre nous construisons les espaces de Schwartz que nous avons évoqués ci-dessus. Enfin nous récapitulons les résultats obtenus dans la conclusion.

Chapitre 1

Une version naïve de la K-théorie bivariante pour les algèbres de Banach

1.1 Paires

Dans la suite les algèbres de Banach ne sont pas supposées unitaires. Commençons par rappeler les notions d’algèbre de Banach et de module

de Banach.

On appelle espace de Banach un espace vectoriel E sur ℂ muni d’une norme ∥.∥_{E} qui le rend complet. Une algèbre de Banach B est un espace vectoriel sur ℂ muni d’une norme ∥.∥_{B} qui en fait un espace de Banach et d’une structure d’algèbre sur ℂ telle que, pour a, b ∈ B, ∥ab∥_{B} ≤ ∥a∥_{B}∥b∥_{B}. On dit qu’une algèbre de Banach B est non dégénérée si le sous-espace vectoriel BB de B engendré par les produits de deux éléments de B est dense dans B ou en d’autres termes si le produit B ⊗^{alg} B → B est d’image dense.

Si B est une algèbre de Banach, on appelle B-module de Banach à droite (resp. à gauche ) un espace de Banach E dont la norme est notée ∥.∥_{E}, muni d’une structure de B-module à droite (resp. à gauche) telle que pour x ∈ E, et b ∈ B, on ait ∥xb∥_{E} ≤ ∥x∥_{E}∥b∥_{B} (respectivement ∥bx∥_{E} ≤ ∥b∥_{B}∥x∥_{E}). On dit que E est un B-module de Banach non dégénéré si le sous-espace vectoriel EB (resp BE) de E engendré par les produits d’un élément de E par un élément de B est dense dans E.

Une algèbre de Banach B est dite unitaire s’il existe un élément unité 1_{B} ∈ B tel que ∥1_{B}∥ = 1. Dans ce cas on appelle B-module de Banach unitaire un B-module de Banach E qui vérifie : pour tout x ∈ E, x1_{B} = x (resp. 1_{B}x = x).

Soit B une algèbre de Banach. On note B̃ l’algèbre de Banach unitaire associée à B: B̃ = B⊕ℂ est munie du produit (a, λ).(b, μ) = (ab+λb+μa, λμ) et de la norme ∥(a, λ)∥B̃ = ∥a∥_{B} + |λ|. Son élément unité est 1B̃ = (0, 1). Tout module de Banach sur B est aussi un module de Banach unitaire sur B̃ et inversement.

Si B et C sont deux algèbres de Banach, on appelle morphisme d’algèbres de Banach un morphisme d’algèbres θ : B → C tel que pour tout b ∈ B on ait ∥θ(b)∥_{C} ≤ ∥b∥_{B}.

Soient E et F des modules de Banach, à gauche ou à droite, sur une algèbre de Banach B. On appelle morphisme de B-modules de Banach une application linéaire continue f : E → F qui est un morphisme de B-modules au sens algébrique, et on pose

∥f∥ = sup_{x∈E, ∥x∥_{E}=1} ∥f(x)∥_{F} .

Voici quelques rappels sur les produits tensoriels complétés. Soient B une algèbre de Banach, E un B-module de Banach à droite et F un B-module de Banach à gauche. On note E ⊗_{B}^{π} F la complétion de E ⊗^{alg} F pour la plus grande semi-norme ∥.∥ telle que ∥x ⊗ by − xb ⊗ y∥ = 0 et ∥x ⊗ y∥ ≤ ∥x∥∥y∥ pour x ∈ E, y ∈ F, b ∈ B. Pour tout espace de Banach G, les applications h ℂ-bilinéaires continues de norme inférieure ou égale à 1 de E × F dans G, et vérifiant h(xb, y) = h(x, by) pour x ∈ E, y ∈ F et b ∈ B, sont en bijection avec les applications linéaires continues de norme inférieure ou égale à 1 de E ⊗_{B}^{π} F dans G.

Expliquons enfin la fonctorialité pour les modules de Banach non dégénérés. Soient B et C des algèbres de Banach et θ : B → C un morphisme d’algèbres de Banach. Soit E un B-module de Banach à droite non dégénéré. On pose θ_{∗}(E) = E ⊗π ; B̃ C̃. Pour x ∈ E, a ∈ C̃ et c ∈ C on pose (x ⊗ a)c = x ⊗ ac et ceci fait de θ_{∗}(E) un C-module de Banach à droite. Celui-ci est non dégénéré. En effet pour x ∈ E et a ∈ C̃, x ⊗ a appartient à \overline{θ_{∗}(E)C} car x appartient à \overline{EBB}, puisque E est non dégénéré, et yb_{1}b_{2} ⊗ a = (y ⊗ θ(b_{1}))(θ(b_{2})a) pour y ∈ E et b_{1}, b_{2} ∈ B.

Lemme 1.1.1 Soient B une algèbre de Banach et E un B-module de Banach à droite non dégénéré. On a Id_{∗}(E) = E. D’autre part si B_{1} et B_{2} sont deux algèbres de Banach et θ_{1} : B → B_{1} et θ_{2} : B_{1} → B_{2} deux morphismes d’algèbres de Banach on a θ_{2,∗}(θ_{1,∗}(E)) = (θ_{2} ∘ θ_{1})_{∗}(E).

Soient B une algèbre de Banach et E un B-module de Banach à droite non dégénéré. Dans toute la suite on note B[0, 1] = C([0, 1], B) et E[0, 1] = C([0, 1], E) comme B[0, 1]-module de Banach à droite. Pour t ∈ [0, 1] on note σ_{t} : B[0, 1] → B l’évaluation en t.

Lemme 1.1.2 Soient B une algèbre de Banach et E un B-module de Banach à droite non dégénéré. Alors, pour tout t ∈ [0, 1], σ_{t,∗}(E[0, 1]) = E comme B-module de Banach à droite, de façon isométrique.

Supposons maintenant que B est une algèbre de Banach unitaire. Dans ce cas un B-module de Banach est non dégénéré si et seulement si il est unitaire. De plus si E est un B-module de Banach à droite unitaire, C une algèbre de Banach unitaire et θ : B → C un morphisme unitaire, on a un isomorphisme canonique θ_{∗}(E) = E ⊗_{B}^{π} C.

Définition d’une paire

Définition 1.1.3 Soit B une algèbre de Banach. Une B-paire est la donnée

– d’un B-module de Banach à droite E^{>} non dégénéré,

– d’un B-module de Banach à gauche E^{<} non dégénéré,

– et d’un crochet ⟨., .⟩ : E^{<} × E^{>} → B, qui est ℂ-bilinéaire, et tel que pour tout x ∈ E^{>}, pour tout ξ ∈ E^{<}, pour tout b ∈ B, on ait

⟨bξ, x⟩ = b⟨ξ, x⟩, ⟨ξ, xb⟩ = ⟨ξ, x⟩b, ∥⟨ξ, x⟩∥_{B} ≤ ∥ξ∥_{E^{<}}∥x∥_{E^{>}}.

Nous noterons toujours une B-paire sous la forme E = (E^{<}, E^{>}), en omettant le crochet. Si E et F sont deux B-paires, leur somme directe est E ⊕ F = (E^{<}⊕F^{<}, E^{>}⊕F^{>}) : la norme de (x, y) ∈ E^{>}⊕F^{>} est ∥x∥+∥y∥, la norme de (ξ, η) ∈ E^{<}⊕F^{<} est ∥ξ∥+∥η∥ et le crochet est ⟨(ξ, η), (x, y)⟩ = ⟨ξ, x⟩+⟨η, y⟩.

Soient E,F,G des B-paires. Un morphisme de B-paires f : E → F est un couple (f^{<}, f^{>}), où

– f^{>} : E^{>} → F^{>} est un morphisme de B-modules de Banach à droite,

– et f^{<} : F^{<} → E^{<} est un morphisme de B-modules de Banach à gauche,

de sorte que pour tout x ∈ E^{>}, pour tout η ∈ F^{<}, on ait

⟨η, f^{>}(x)⟩ = ⟨f^{<}(η), x⟩.

On note L(E, F) l’espace des morphismes de B-paires de E dans F. Muni de la norme ∥f∥ = max(∥f^{>}∥, ∥f^{<}∥) c’est un espace de Banach. Le composé de deux morphismes de B-paires f = (f^{<}, f^{>}) de E vers F et g = (g^{<}, g^{>}) de F vers G est g ∘ f = (f^{<} ∘ g^{<}, g^{>} ∘ f^{>}) de E vers G.

Pour ξ_{0} ∈ E^{<} et y_{0} ∈ F^{>} on note |y_{0}⟩⟨ξ_{0}| ∈ L(E, F) le morphisme de Bpaires f défini par f^{>}(x) = y_{0}⟨ξ_{0}, x⟩ pour x ∈ E^{>} et f^{<}(η) = ⟨η, y_{0}⟩ξ_{0} pour η ∈ F^{<}. On note K(E, F) l’adhérence dans L(E, F) du sous-espace vectoriel engendré par les morphismes de la forme |y_{0}⟩⟨ξ_{0}| et on dit qu’un morphisme est compact s’il appartient à K(E, F). Le composé d’un morphisme compact avec un autre morphisme est compact. On pose L(E) = L(E, E) et K(E) = K(E, E). On voit que L(E) est une algèbre de Banach et K(E) un idéal bilatère fermé de L(E).

Lien avec les modules hilbertiens

Proposition 1.1.4 Soient B une C^{∗}-algèbre et E un B-module hilbertien muni de la forme sesquilinéaire ⟨., .⟩ : E × E → B. Alors E est un B-module de Banach à droite non dégénéré, et si on note Ē le B-module de Banach à gauche non dégénéré tel qu’il existe une isométrie ℂ-antilinéaire ∗ : E → Ē vérifiant b^{∗}x^{∗} = (xb)^{∗} pour x ∈ E et b ∈ B, et si on pose ⟨x^{∗}, y⟩ = ⟨x, y⟩ pour x, y ∈ E, alors (Ē, E) est une B-paire. Soient F un deuxième B-module hilbertien, f : E → F un morphisme de B-modules hilbertiens, f^{∗} : F → E son adjoint et \overline{f^{∗}} l’application (∗)f^{∗}(∗)^{−1} : F̄ → Ē. Alors (\overline{f^{∗}}, f) est un morphisme de B-paires de (Ē, E) vers (F̄, F) et est compact si f est compact.

Sommes et idempotents Soient B une algèbre de Banach, E et F deux B-paires et G = E ⊕F. On appelle inclusion i de E dans G parallèlement à F le morphisme de B-paires i = (i^{<}, i^{>}) de E vers G, où i^{>} est l’inclusion de E^{>} dans G^{>} et i^{<} la projection de G^{<} sur E^{<} parallèlement à F^{<}. De même on appelle projection π de G sur E parallèlement à F le morphisme de B-paires π = (π^{<}, π^{>}) de G vers E où π^{>} est la projection de G^{>} sur E^{>} parallèlement à F^{>} et π^{<} l’inclusion de E^{<} dans G^{<}. Souvent nous omettons ”parallèlement à F ” lorsque le supplémentaire est tout désigné. Enfin par abus on appelle aussi projection sur E le composé q = i ∘ π = (π^{<}i^{<}, i^{>}π^{>}) ∈ L(G) qui, lui, est vraiment constitué de deux projections au sens usuel.

Il y a une construction inverse. Soit G une B-paire et q ∈ L(G) tel que q^{2} = q. Notons q = (q^{<}, q^{>}). Alors q^{>} : G → G est un projecteur donc on a G^{>} = Imq^{>} ⊕ Kerq^{>} en tant que B-module à droite. En fait Imq^{>} et Kerq^{>} sont des sous-modules de G^{>}, donc munis de la norme de sous-module. L’isomorphisme ci-dessus n’est pas une isométrie mais il est bicontinu. De même q^{<} : G^{<} → G^{<} est un projecteur donc on a G^{<} = Imq^{<} ⊕ Kerq^{<} en tant que B-module à gauche. De plus Kerq^{<} et Imq^{>} sont orthogonaux pour le crochet de G, de même que Imq^{<} et Kerq^{>}. Par suite G = (Imq^{<}, Imq^{>}) ⊕ (Kerq^{<}, Kerq^{>}) en tant que B-paire, à équivalence des normes près. En suivant la terminologie du paragraphe précédent on peut dire que le morphisme de B-paires q : G → G est la projection sur la Bpaire (Imq^{<}, Imq^{>}) parallèlement à (Kerq^{<}, Kerq^{>}). La projection π : G → (Imq^{<}, Imq^{>}) et l’inclusion i : (Imq^{<}, Imq^{>}) → G sont aussi des morphismes de B-paires et vérifient π ∘q = π, q ∘i = i, π ∘i = Id, i∘π = q. Nous résumons la discussion dans la proposition suivante.

Proposition 1.1.5 Soient G une B-paire et q ∈ L(G) tel que q^{2} = q. Alors G est isomorphe à la somme directe des B-paires (Imq^{<}, Imq^{>}) et (Kerq^{<}, Kerq^{>}).

Paires dérivées de la paire standard Soit B une algèbre de Banach non dégénérée. Posons F^{<} = B et F^{>} = B munis des structures de B-modules à gauche et à droite évidentes. Soit ⟨., .⟩ : B × B → B le produit usuel. Alors (F^{<}, F^{>}, ⟨., .⟩) est une B-paire, appelée B-paire standard, et notée B. Soit E une B-paire. On définit Ψ_{E^{>}} : E^{>} → L(B, E) par Ψ_{E^{>}}(x)^{>}(b) = xb et Ψ_{E^{>}}(x)^{<}(ξ) = ⟨ξ, x⟩ pour ξ ∈ E^{<}, x ∈ E^{>} et b ∈ B. On définit de même Ψ_{E^{<}} : E^{<} → L(E, B).

Lemme 1.1.6 Soit B une algèbre de Banach non dégénérée. Pour toute Bpaire E, K(B, E) est l’adhérence de Ψ_{E^{>}}(E^{>}) dans L(B, E) et K(E, B) est l’adhérence de Ψ_{E^{<}}(E^{<}) dans L(E, B).

En effet comme E est une B-paire, E^{>}B est dense dans E^{>} et BE^{<} est dense dans E^{<}.

On note B^{p} = B ⊕ ... ⊕ B, p fois. Ainsi B^{p} = (E^{<}, E^{>}, ⟨., .⟩), où E^{>} = B^{p} est muni de la norme ∥(x_{1}, ...x_{p})∥ = ∥x_{1}∥ + ... + ∥x_{p}∥, E^{<} = B^{p} est muni de la même norme, et ⟨(ξ_{1}, ...ξ_{p}), (x_{1}, ...x_{p})⟩ = ∑_{i=1}^{p} ξ_{i}x_{i}.

Soient p, n ∈ ℕ^{∗}. On a une application linéaire continue Ψ : M_{n,p}(B̃) → L(B^{p}, B^{n}). Pour la définir on note B^{p} = (E^{<}, E^{>}, ⟨., .⟩) et B^{n} = (F^{<}, F^{>}, ⟨., .⟩). Soit q ∈ M_{n,p}(B̃). Alors, pour x ∈ E^{>} et η ∈ F^{<}, on pose Ψ(q)^{>}(x) = qx et Ψ(q)^{<}(η) = ηq en écrivant x sous la forme d’un vecteur colonne et η sous la forme d’un vecteur ligne. Ceci définit Ψ(q) ∈ L(B^{p}, B^{n}), souvent noté q par abus. Le résultat suivant, qui est capital pour les applications à la K-théorie, est un corollaire du lemme 1.1.6

Lemme 1.1.7 Soient B une algèbre de Banach non dégénérée, et p, n ∈ ℕ^{∗}. Alors K(B^{p}, B^{n}) est l’adhérence de Ψ(M_{n,p}(B)) dans L(B^{p}, B^{n}).

On dispose aussi d’une application bilinéaire θ : L(B^{p}, B^{n}) × M_{p,q}(B) → M_{n,q}(B) telle que Ψ(θ(x, y)) = x ∘ Ψ(y) : si y = (y_{1}, …, y_{q}) est la décomposition de y en vecteurs colonnes, on pose θ(x, y) = (x^{>}(y_{1}), …, x^{>}(y_{q})). Il existe une application bilinéaire analogue de M_{n,p}(B) × L(B^{q}, B^{p}) vers M_{n,q}(B).

Soit maintenant q ∈ M_{p}(B̃) vérifiant q^{2} = q. Notons par abus Ψ(q) = q = (q^{<}, q^{>}). Comme q^{2} = q dans L(B^{p}), d’après la proposition 1.1.5, B^{p} = (Imq^{<}, Imq^{>})⊕(Kerq^{<}, Kerq^{>}) en tant que B-paire, à équivalence de normes près. Nous noterons parfois Imq ou (B^{p}q, qB^{p}) au lieu de (Imq^{<}, Imq^{>}).

Voici enfin un résultat qui nous sera utile en K-théorie.

Proposition 1.1.8 Soient B une algèbre de Banach non dégénérée, E et F des B-paires, et f : E → F un morphisme compact. Pour tout ϵ > 0 il existe un entier n, et des morphismes compacts R : B^{n} → F et S : E → B^{n} tels que ∥f − RS∥_{L(E,F)} ≤ ϵ.

En effet on peut supposer f = ∑_{i=1}^{n} |y_{i}⟩⟨ξ_{i}|, et on pose alors S = (\begin{matrix}Ψ_{E^{<}}(ξ_{1}) \\ … \\ Ψ_{E^{<}}(ξ_{n}) \end{matrix})

et R = (Ψ_{F^{>}}(y_{1}), …, Ψ_{F^{>}}(y_{n})).

Fonctorialité Soient A et B deux algèbres de Banach et θ un morphisme d’algèbres de Banach de A vers B. Soit E = (E^{<}, E^{>}) une A-paire. Posons

θ_{∗}(E) = (θ_{∗}(E^{<}), θ_{∗}(E^{>})) = (B̃ ⊗π ; Ã E^{<}, E^{>} ⊗π ; Ã B̃). Alors θ_{∗}(E) est une B-

paire, appelée image directe de E par le morphisme θ: le crochet est défini par ⟨b ⊗ ξ, x ⊗ b′⟩ = bθ(⟨ξ, x⟩)b′ ∈ B, pour b, b′ ∈ B̃, x ∈ E^{>}, ξ ∈ E^{<}. L’image directe d’une paire par Id est la paire elle-même, et l’image directe par le composé de deux morphismes d’algèbres de Banach est l’image directe de l’image directe. Soient A, B, E, θ comme ci-dessus et F = (F^{<}, F^{>}) une deuxième A-paire, et f = (f^{<}, f^{>}) un morphisme de A-paires de E vers F. Alors θ_{∗}(f) = (1 ⊗ f^{<}, f^{>} ⊗ 1) est un morphisme de B-paires de θ_{∗}(E) dans θ_{∗}(F) et si f est compact, θ_{∗}(f) est compact : en effet, pour y ∈ F^{>} et ξ ∈ E^{<}, on a θ_{∗}(|y⟩⟨ξ|) = |y ⊗ 1⟩⟨1 ⊗ ξ|.

Pour toute B-paire E on note E[0, 1] la B[0, 1]-paire (E^{<}[0, 1], E^{>}[0, 1]). Pour tout t ∈ [0, 1], en notant σ_{t} : B[0, 1] → B l’évaluation en t on a σ_{t,∗}(E[0, 1]) = E comme conséquence du lemme 1.1.2.

Définition 1.1.9 Soient A et B deux algèbres de Banach. On appelle (A, B)- bimodule de Banach une B-paire E dotée d’un morphisme d’algèbres de Banach de A dans L(E).

En d’autres termes une B-paire E = (E^{<}, E^{>}) est un (A, B)-bimodule de Banach si E^{>} est muni d’une structure de A-module de Banach à gauche, E^{<} d’une structure de A-module de Banach à droite, ces structures commutant aux structures de B-modules sur E^{>} et E^{<}, et vérifiant de plus ⟨ξa, x⟩ = ⟨ξ, ax⟩ pour a ∈ A, x ∈ E^{>}, ξ ∈ E^{<}.

Si A et B sont deux C^{∗}-algèbres et E un (A, B)-bimodule au sens de [Kas88], alors (Ē, E) est un (A, B)-bimodule de Banach.

1.2 Une version naïve de la KK-théorie pour les algèbres de Banach

Définition 1.2.1 Soit G un groupe topologique. On appelle norme sur G une fonction continue N : G → [1, +∞[ telle que N(g_{1}g_{2}) ≤ N(g_{1})N(g_{2}) quels que soient g_{1}, g_{2} ∈ G.

Soit G un groupe topologique. On appelle G-algèbre de Banach une algèbre de Banach B munie d’une action continue de G par automorphismes préservant la norme de B.

Soient N une norme sur G et B une G-algèbre de Banach.

On appelle (G, N)-B-module de Banach à droite un B-module de Banach à droite E muni d’une action continue de G telle que g(xb) = (gx)(gb) et ∥gx∥_{E} ≤ N(g)∥x∥_{E} pour g ∈ G, x ∈ E, b ∈ B.

On appelle (G, N)-B-module de Banach à gauche un B-module de Banach à gauche E muni d’une action continue de G telle que g(bξ) = (gb)(gξ) et ∥gξ∥_{E} ≤ N(g^{−1})∥ξ∥_{E} pour g ∈ G, ξ ∈ E, b ∈ B.

On appelle (G, N)-B-paire une B-paire E = (E^{<}, E^{>}) avec une action de G sur E^{<} et E^{>} telle que E^{>} soit un (G, N)-B-module de Banach à droite et E^{<} un (G, N)-B-module de Banach à gauche et que g(⟨ξ, x⟩) = ⟨gξ, gx⟩ pour g ∈ G, x ∈ E^{>}, ξ ∈ E^{<}.

Enfin si A est une G-algèbre de Banach on appelle (G, N)-(A, B)-bimodule de Banach un (A, B)-bimodule de Banach E muni d’une action de G compatible avec les structures de A-module et telle que E soit une (G, N)-B-paire.

Lorsque E et F sont des (G, N)-B-paires et T ∈ L(E, F) et g ∈ G, on note g(T) = (gT^{<}g^{−1}, gT^{>}g^{−1}) ∈ L(E, F).

Dans toutes ces notations on omet N lorsque N = 1.

Définition 1.2.2 Soient G un groupe localement compact, N une norme sur G et A et B deux G-algèbres de Banach. On note E_{G,N}^{ban}(A, B) l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples (E, T) avec E un (G, N)-(A, B)-bimodule de Banach ℤ/2-gradué et T ∈ L(E) impair tel que pour tout a ∈ A, [a, T] et a(Id_{E} − T^{2}) appartiennent à K(E) et g ↦ a(T − g(T)) soit une application continue de G dans K(E).

Si C est une autre G-algèbre de Banach et θ : B → C un morphisme Géquivariant d’algèbres de Banach, et (E, T) ∈ E_{G,N}^{ban}(A, B), on a (θ_{∗}(E), θ_{∗}(T)) ∈ E_{G,N}^{ban}(A, C). On obtient ainsi une application θ_{∗} : E_{G,N}^{ban}(A, B) → E_{G,N}^{ban}(A, C).

Pour t ∈ [0, 1] on note σ_{t} : B[0, 1] → B l’évaluation en t. On dit que deux éléments x et y de E_{G,N}^{ban}(A, B) sont homotopes si ce sont les images par σ_{0,∗} et σ_{1,∗} d’un même élément de E_{G,N}^{ban}(A, B[0, 1]).

L’homotopie est une relation d’équivalence sur E_{G,N}^{ban}(A, B) et on note KK_{G,N}^{ban}(A, B) le quotient de E_{G,N}^{ban}(A, B) par cette relation.

Lorsque N = 1 on omet N et lorsque G est trivial on omet G.

Par la suite nous noterons indifféremment un élément de E_{G,N}^{ban}(A, B) sous

la forme (E, T) ou sous la forme (E_{0} ⇄_{g}^{f} E_{1}) lorsque T = (\begin{matrix}0 & g \\ f & 0 \end{matrix}).

Si N′ est une autre norme sur G avec, pour tout g ∈ G, N(g) ≤ N′(g), on a une application évidente KK_{G,N}^{ban}(A, B) → KK_{G,N′}^{ban}(A, B).

Si A et B sont deux G-algèbres de Banach, B étant non dégénérée, et θ un morphisme G-équivariant de A vers B, on note [θ] l’élément de KK_{G}^{ban}(A, B) défini par (E, 0) ∈ E_{G}^{ban}(A, B) où E est la B-paire standard munie de sa structure évidente de G-(A, B)-bimodule de Banach, et graduée de façon triviale. Pour vérifier que (E, 0) appartient à E_{G}^{ban}(A, B) on utilise le lemme 1.1.7. En particulier si A = B et θ = Id_{B} on note 1 = [Id_{B}] ∈ KK_{G}^{ban}(B, B).

Soient G un groupe localement compact, A, B, D des G-algèbres de Banach, D étant non dégénérée, et α ∈ KK_{G,N}^{ban}(A, B), et (E, T) ∈ E_{G,N}^{ban}(A, B) représentant α. On définit σ_{D}^{ban}(α) comme la classe de (E ⊗^{π} D, T ⊗ 1) dans KK_{G,N}^{ban}(A ⊗^{π} D, B ⊗^{π} D).

Voici quelques lemmes pour illustrer la notion d’homotopie. Nous montrons en particulier que, sous les hypothèses de la définition, KK_{G,N}^{ban}(A, B) est un groupe abélien.

Lemme 1.2.3 Soient G un groupe localement compact, N une norme sur G, A et B des G-algèbres de Banach et (E, T) ∈ E_{G,N}^{ban}(A, B). Soit T′ ∈ L(E) impair, de sorte que pour tout a ∈ A, a(T′ −T) et (T′ −T)a soient compacts. Alors (E, T′) appartient à E_{G,N}^{ban}(A, B) et (E, T) et (E, T′) sont homotopes dans E_{G,N}^{ban}(A, B).

Pour justifier la dernière assertion, notons T̄ = (T̄_{t})_{t∈[0,1]} le morphisme de B[0, 1]-paires de E[0, 1] dans lui-même défini par T̄_{t} = (1 − t)T + tT′. Alors (E[0, 1], T̄) appartient à E_{G,N}^{ban}(A, B[0, 1]) et réalise une homotopie entre (E, T) et (E, T′).

Lemme 1.2.4 Soient G un groupe localement compact, N une norme sur G et A et B des G-algèbres de Banach. Soient E un (G, N)-(A, B)-bimodule de Banach ℤ/2-gradué et T ∈ L(E) impair tels que pour tout a ∈ A, pour tout g ∈ G, [a, T], a(1 − T^{2}) et a(g(T) − T) soient nuls. Alors (E, T) appartient à E_{G,N}^{ban}(A, B) et il est homotope à 0.

On dit qu’un tel complexe est dégénéré. En particulier, pour tout (G, N)-

(A, B)-bimodule de Banach F, le complexe (F ⇄_{Id}^{Id} F) est dégénéré. Montrons le lemme : Ē = C_{0}(]0, 1], E) est un (G, N)-(A, B[0, 1])-bimodule de Banach et considérons le morphisme de B[0, 1]-paires T̄ = (T̄_{t})_{t∈[0,1]} de Ē vers Ē où T̄_{t} = T si t ∈]0, 1] et T̄_{0} = 0. Alors (Ē, T̄) appartient à E_{G,N}^{ban}(A, B[0, 1]) et réalise une homotopie entre 0 et (E, T).

Lemme 1.2.5 Soient G un groupe localement compact, N une norme sur G et A et B des G-algèbres de Banach. Si (E_{1}, T_{1}) et (E_{2}, T_{2}) sont deux éléments de E_{G,N}^{ban}(A, B) leur somme directe (E_{1}, T_{1}) ⊕ (E_{2}, T_{2}) = (E_{1} ⊕ E_{2}, T_{1} ⊕ T_{2}) appartient à E_{G,N}^{ban}(A, B). Cette opération est compatible à l’homotopie et définit sur KK_{G,N}^{ban}(A, B) une structure de groupe abélien.

En effet soit x = (E_{0} ⇄_{g}^{f} E_{1}) ∈ E_{G,N}^{ban}(A, B) et posons y = (E_{1} ⇄_{f}^{g} E_{0}). Alors

x ⊕ y est homotope à un élément dégénéré au moyen de z ∈ E_{G,N}^{ban}(A, B[0, 1]) défini par

z = (E_{0}[0, 1] ⊕ E_{1}[0, 1] (\begin{matrix}cos(\frac{π}{2}t)f & − sin(\frac{π}{2}t)Id \\ sin(\frac{π}{2}t)Id & cos(\frac{π}{2}t)g \end{matrix})_{t∈[0,1]} (\begin{matrix}cos(\frac{π}{2}t)g & sin(\frac{π}{2}t)Id \\ − sin(\frac{π}{2}t)Id & cos(\frac{π}{2}t)f \end{matrix})_{t∈[0,1]}^{⇄} E_{1}[0, 1] ⊕ E_{0}[0, 1]).

Etudions la fonctorialité.

Proposition 1.2.6 Soit G un groupe localement compact et N une norme sur G. Alors (A, B) ↦ KK_{G,N}^{ban}(A, B) est un bifoncteur de la catégorie des G-algèbres de Banach dans la catégorie des groupes abéliens.

Dans la catégorie des G-algèbres de Banach les flèches sont les morphismes G-équivariants. La fonctorialité en A est immédiate. La fonctorialité en B est contenue dans la définition 1.2.2.

Nous rappelons la définition de la K-théorie (voir [Bos90], A.1.1 et A.1.3).

Définition 1.2.7 Soit A une algèbre de Banach. Lorsque p, n ∈ ℕ, on note L_{p,n}(A) l’ensemble des matrices q ∈ M_{p+n}(Ã) telles que q^{2} = q et q −

(\begin{matrix}1_{p} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ∈ M_{p+n}(A). On note L(A) la limite inductive des L_{p,n}(A) lorsque

p, n → ∞, définie à l’aide des applications τ_{p,n,r,s}, où τ_{p,n,r,s} : L_{p,n}(A) →

L_{p+r,n+s}(A) est défini pour r, s ∈ ℕ par τ_{p,n,r,s}(q) = (\begin{matrix}q & 0 & 0 \\ 0 & 1_{r} & 0 \\ 0 & 0 & 0_{s} \end{matrix}) en permu-

tant les deux ensembles d’indices de cardinaux n et r.

Tout morphisme d’algèbres de Banach θ : A → B détermine θ_{∗,p,n} : L_{p,n}(A) → L_{p,n}(B), d’où θ_{∗} : L(A) → L(B). On dit que deux éléments x, y ∈ L(A) sont homotopes si ce sont les images par σ_{0,∗} et σ_{1,∗} d’un même élément de L(A[0, 1]), où σ_{0} : A[0, 1] → A désigne l’évaluation en 0 et σ_{1} l’évaluation en 1, et on note K_{0}(A) le quotient de L(A) par cette relation d’homotopie.

Lorsque p, n, p′, n′ ∈ ℕ, q ∈ L_{p,n}(A), et q′ ∈ L_{p′,n′}(A), on note q ⊕ q′ =

(\begin{matrix}q & 0 \\ 0 & q′ \end{matrix}) ∈ L_{p+p′,n+n′}(A), en permutant les deux ensembles d’indices de car-

dinaux p′ et n . Ceci munit L(A) d’une loi de semi-groupe, et cette loi fait de K_{0}(A) un groupe.

Soit B une algèbre de Banach non dégénérée. Construisons une application ζ : K_{0}(B) → KK^{ban}(ℂ, B), fonctorielle en B. Soit x ∈ K_{0}(B). Soient

p, n ∈ ℕ et q ∈ L_{p,n}(B) un représentant de x. Posons q_{0} = q et q_{1} = (\begin{matrix}1_{p} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}),

E_{0} = (B^{p+n}q_{0}, q_{0}B^{p+n}) et E_{1} = (B^{p+n}q_{1}, q_{1}B^{p+n}) les B-paires, pour la description détaillée desquelles nous renvoyons au paragraphe ”Paires dérivées de la paire standard” de la section 1.1. Notons i_{0} l’inclusion de E_{0} dans B^{p+n} et π_{o} la projection de B^{p+n} sur E_{0}, qui sont des morphismes de B-paires attachés à q_{0}, décrits au même endroit, et de même introduisons i_{1} et π_{1}. La

classe de (E_{0} ⇄_{π_{0}i_{1}}^{π_{1}i_{0}} E_{1}) ∈ E^{ban}(ℂ, B) dans KK^{ban}(ℂ, B) ne dépend que de x et

nous la notons ζ(x).

Le résultat suivant est crucial.

Théorème 1.2.8 Pour toute algèbre de Banach B non dégénérée, l’application ζ : K_{0}(B) → KK^{ban}(ℂ, B) définie ci-dessus est un isomorphisme de groupes abéliens, fonctoriel en B.

La démonstration occupe la section suivante.

Remarque. Considérons l’algèbre de Banach B des fonctions holomorphes sur la couronne de centre 0 et de rayons 1/2 et 2 dans le plan complexe, et s’annulant en 1, avec pour norme la norme du sup sur la couronne. Comme B̃ a pour K-théorie la K-théorie du cercle, K_{1}(B) est non nul. Mais si on note B^{(n)} le sous-espace vectoriel de B engendré par les produits de n éléments de B, et \overline{B^{(n)}} son adhérence dans B, on a ⋂_{n∈ℕ^{∗}} \overline{B^{(n)}} = \{0\}. Par conséquent dans toute B-paire le crochet est nul. Il en résulte que tout opérateur compact entre deux B-paires est nul et donc KK^{ban}(ℂ, B) = 0. L’hypothèse de non-dégénérescence est donc bien nécessaire dans le théorème précédent.

Nous sommes maintenant armés pour montrer que tout élément de KKthéorie banachique induit un homomorphisme en K-théorie.

Proposition 1.2.9 Il existe un unique homomorphisme

p : KK^{ban}(A, B) → Hom(K_{0}(A), K_{0}(B))

défini pour A algèbre de Banach et B algèbre de Banach non-dégénérée, qui est fonctoriel en A et B, et qui est égal à l’inverse de l’isomorphisme ζ du théorème 1.2.8 si A = ℂ.

Pour tout (E, T) ∈ E^{ban}(A, B), (C_{0}(ℝ, E), T ⊗1) appartient à E^{ban}(C_{0}(ℝ, A), C_{0}(ℝ, B)). D’où un homomorphisme KK^{ban}(A, B) → KK^{ban}(C_{0}(ℝ, A), C_{0}(ℝ, B)) à l’aide duquel on construit p : KK^{ban}(A, B) → Hom(K_{1}(A), K_{1}(B)). Démonstration de l’unicité. Nous utilisons le lemme suivant, qui m’a été suggéré par Georges Skandalis.

Lemme 1.2.10 Soient A et B deux algèbres de Banach. Alors l’homomorphisme KK^{ban}(Ã, B) → KK^{ban}(A, B) associé à l’inclusion A → Ã est surjectif.

En effet soit (E_{0} ⇄_{g}^{f} E_{1}) ∈ E^{ban}(A, B). On note encore E_{0} et E_{1} les (Ã, B)-

bimodules de Banach obtenus en étendant les structures de A-modules en structures de Ã-bimodules. Soit ϵ : Ã → ℂ l’augmentation. On note E′_{0} et E′_{1} les (Ã, B)-bimodules de Banach égaux à E_{0} et E_{1} en tant que B-paires et munis des structures de Ã-modules suivantes : si x ∈ E_{0}^{′>}, ξ ∈ E_{0}^{′<} et a ∈ Ã, ax = ϵ(a)x et ξa = ϵ(a)ξ, et de même pour E′_{1}. Alors

(E_{0} ⊕ E′_{1} (\begin{matrix}f & −(1 − fg) \\ 1 − gf & 2g − gfg \end{matrix}) ; (\begin{matrix}2g − gfg & 1 − gf \\ −(1 − fg) & f \end{matrix})^{⇄} E_{1} ⊕ E′_{0})

appartient à E^{ban}(Ã, B) et l’image dans KK^{ban}(A, B) de la classe de cet

élement est égale à la classe de (E_{0} ⇄_{g}^{f} E_{1}).

Pour montrer l’unicité de p nous pouvons donc nous restreindre au cas où A est unitaire. Soient n ∈ ℕ^{∗} et p un projecteur de M_{n}(A). L’inclusion

standard i : A → M_{n}(A) (définie par i(a) = (\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & 0_{n−1} \end{matrix})) induit une ap-

plication surjective i^{∗} : KK^{ban}(M_{n}(A), B) → KK^{ban}(A, B) car si (E, T) ∈ E^{ban}(A, B), (E^{n}, T^{n}) appartient à E^{ban}(M_{n}(A), B) et i^{∗}(E^{n}, T^{n}) est homotope à (E, T). Enfin p définit un morphisme ℂ → M_{n}(A), d’où un homomorphisme KK^{ban}(M_{n}(A), B) → KK^{ban}(ℂ, B). L’unicité en résulte.

Démonstration de l’existence. Nous pourrions établir l’existence en réutilisant les arguments ayant servi pour l’unicité. Nous proposons une construction directe.

Pour tout x ∈ K_{0}(A) nous allons définir une application (x⊗.) : KK^{ban}(A, B) → KK^{ban}(ℂ, B). D’après le théorème 1.2.8, KK^{ban}(ℂ, B) est en bijection avec K_{0}(B), ce qui nous permet de poser, pour x ∈ K_{0}(A), et y ∈ KK^{ban}(A, B), p(y)(x) = ζ^{−1}(x ⊗ y) ∈ K_{0}(B).

Soit x ∈ K_{0}(A). D’après la définition 1.2.7 il existe p, n ∈ ℕ et q ∈ L_{p,n}(A)

représentant x. Posons q^{0} = q et q^{1} = (\begin{matrix}Id_{p} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}). Ainsi q^{0} et q^{1} sont des pro-

jecteurs de M_{p+n}(Ã) tels que q^{1} − q^{0} appartienne à M_{p+n}(A). Nous allons construire une application ((q^{0}, q^{1}) ⊗ .) : E^{ban}(A, B) → E^{ban}(ℂ, B) fonctorielle en B, d’où, en passant au quotient par homotopie, une application bien définie de KK^{ban}(A, B) dans KK^{ban}(ℂ, B). Nous montrons que cette dernière application ne dépend que de x et nous la notons (x ⊗ .) : KK^{ban}(A, B) → KK^{ban}(ℂ, B).

Soit y ∈ E^{ban}(A, B). Notons y = (E_{0} ⇄_{g}^{f} E_{1}). Pour i ∈ {0, 1}, j ∈ {0, 1}, posons

E_{j}^{i} = ((E_{j}^{<})^{p+n}q^{i}, q^{i}(E_{j}^{>})^{p+n}).

Nous rappelons que (E_{j}^{<})^{p+n}q^{i} est un sous-module facteur direct de (E_{j}^{<})^{p+n} que nous munissons de la norme induite et de même pour q^{i}(E_{j}^{>})^{p+n}. D’après la proposition 1.1.5, E_{j}^{i} est une B-paire. Pour tout j ∈ {0, 1} notons i_{j}^{0} : E_{j}^{0} → (E_{j})^{p+n} l’injection et π_{j}^{0} : (E_{j})^{p+n} → E_{j}^{0} la projection associées à q^{0}, qui sont des morphismes de B-paires, et de même introduisons i_{j}^{1} et π_{j}^{1}. Enfin nous notons q_{j}^{0} et q_{j}^{1} les morphismes de B-paires de (E_{j})^{p+n} dans lui-même associés à q^{0} et q^{1}. On a par exemple q_{j}^{0}i_{j}^{0} = i_{j}^{0} et π_{j}^{0}i_{j}^{0} = q_{j}^{0}.

Posons E_{+} = E_{0}^{0} ⊕E_{1}^{1} et E_{−} = E_{0}^{1} ⊕E_{1}^{0} et notons E la B-paire ℤ/2ℤ-graduée égale à E_{+} ⊕ E_{−}. Notons T_{1} l’élément impair de L(E) défini par

E_{0}^{0}  ⇄_{0}^{0}  E_{1}^{0}
π_{0}^{1}i_{0}^{0} ↓↑ π_{0}^{0}i_{0}^{1}  π_{1}^{1}i_{1}^{0} ↓↑ π_{1}^{0}i_{1}^{1}
E_{0}^{1}  ⇄_{0}^{0}  E_{1}^{1}

et T_{2} l’élément impair de L(E) défini par

E_{0}^{0}  ⇄_{π_{0}^{0}g^{p+n}i_{1}^{0}}^{π_{1}^{0}f^{p+n}i_{0}^{0}} E_{1}^{0}
0 ↓↑ 0  0 ↓↑ 0
E_{0}^{1}  ⇄_{−π_{0}^{1}g^{p+n}i_{1}^{1}}^{−π_{1}^{1}f^{p+n}i_{0}^{1}} E_{1}^{1}

Il est immédiat que q_{1}^{1}f^{p+n} = f^{p+n}q_{0}^{1} et que q_{1}^{0}f^{p+n} − f^{p+n}q_{0}^{0} est compact de E_{0}^{p+n} dans E_{1}^{p+n} et il en va de même pour g. Par suite le supercommutateur [T_{1}, T_{2}] appartient à K(E). On a aussi (Id − T_{1}^{2})(Id − T_{2}^{2}) ∈ K(E).

Définissons alors M_{0} et M_{1} dans L(E) par

M_{0} = (\begin{matrix}(Id − T_{1}^{2}) |_{E_{0}^{0}⊕E_{0}^{1}} & 0 \\ 0 & Id_{E_{1}^{0}⊕E_{1}^{1}} \end{matrix}) et M_{1} = (\begin{matrix}Id_{E_{0}^{0}⊕E_{0}^{1}} & 0 \\ 0 & (Id − T_{1}^{2}) |_{E_{1}^{0}⊕E_{1}^{1}} \end{matrix}) .

On a [M_{0}, T_{1}] = 0, [M_{1}, T_{1}] = 0, et M_{0}T_{2} − T_{2}M_{1} et M_{1}T_{2} − T_{2}M_{0} sont compacts car [Id−T_{1}^{2}, T_{2}] est compact. On pose enfin T = T_{1} +M_{0}T_{2} ∈ L(E). A un compact près on a alors T^{2} = T_{1}^{2} + M_{0}M_{1}T_{2}^{2} = T_{1}^{2} + (Id − T_{1}^{2})T_{2}^{2} = Id d’où (E, T) ∈ E^{ban}(ℂ, B).

Ainsi nous avons construit ((q^{0}, q^{1}) ⊗ .) : E^{ban}(A, B) → E^{ban}(ℂ, B) en

associant (E, T) ∈ E^{ban}(ℂ, B) à y = (E_{0} ⇄_{g}^{f} E_{1}) ∈ E^{ban}(A, B). On vérifie

que l’application de KK^{ban}(A, B) dans KK^{ban}(ℂ, B) obtenue en passant au quotient par homotopie ne dépend pas de n, p, q mais seulement de x ∈ K_{0}(A).

Lorsque A est unitaire on peut supposer que p = 0, d’où q^{1} = 0, q projecteur de M_{n}(A) et la construction devient beaucoup plus simple : à

(E_{0} ⇄_{g}^{f} E_{0}) ∈ E^{ban}(A, B) on associe (E_{0} ⇄_{πg^{n}i}^{πf^{n}i} E_{1}) ∈ E^{ban}(ℂ, B), en notant, pour

i ∈ {0, 1}, E_{i} = ((E_{i}^{<})^{n}q, q(E_{i}^{>})^{n}) et i : E_{i} → E_{i}^{n} l’inclusion et π : E_{i}^{n} → E_{i} la projection associées à q.

1.3 Preuve du théorème 1.2.8

Montrons d’abord que ζ est fonctorielle. Soient B et C des algèbres de Banach non dégénérées et θ : B → C un morphisme d’algèbres de Banach. Si on considère B comme un B-module de Banach à droite non dégénéré on a un morphisme de C-modules de Banach à droite u : θ_{∗}(B) → C de norme inférieure ou égale à 1. En effet on rappelle que θ_{∗}(B) = B ⊗π ; B̃ C̃ et on pose u(b ⊗ c) = θ(b)c. Notons E^{>} le C[0, 1]-module de Banach à droite suivant: E^{>} = {(h, x) ∈ C[0, 1] × θ_{∗}(B), h(0) = u(x)} muni de la norme ∥(h, x)∥ = max(sup_{t∈[0,1]} ∥h(t)∥_{C}, ∥x∥_{θ_{∗}(B)}). On construit de même un C[0, 1]- module de Banach à gauche E^{<} et E = (E^{<}, E^{>}) est une C[0, 1]-paire. Pour tout b ∈ B la multiplication par b est un morphisme compact de C[0, 1]- paires de E dans lui-même. Si q = q_{0} et q_{1} sont comme dans la construction qui précède le théorème 1.2.8, et en notant E_{i} = (E^{<,p+n}q_{i}, q_{i}E^{>,p+n}) pour i ∈ {0, 1}, et i_{0}, i_{1}, π_{0} et π_{1} les inclusions et projections associées à q_{0} et

q_{1}, (E_{0} ⇄_{π_{0}i_{1}}^{π_{1}i_{0}} E_{1}) appartient à E^{ban}(ℂ, C[0, 1]) et réalise une homotopie entre

θ_{∗}(ζ(q)) et ζ(θ_{∗}(q)).

Montrons maintenant que ζ est un isomorphisme. L’idée d’utiliser des algèbres unitaires m’a été suggérée par Georges Skandalis et cela simplifie beaucoup la démonstration.

Nous allons montrer les deux propositions suivantes.

Proposition 1.3.1 Soit B une algèbre de Banach non dégénérée. Alors ζ : K_{0}(B) → KK^{ban}(ℂ, B) est surjective.

Proposition 1.3.2 Soit B une algèbre de Banach unitaire. Alors ζ : K_{0}(B) → KK^{ban}(ℂ, B) est injective.

Les deux propositions impliquent le théorème 1.2.8. En effet soit B une algèbre de Banach non dégénérée. Le diagramme suivant, où les flèches verticales proviennent de l’inclusion i : B → B̃, commute par fonctorialité de ζ:

K_{0}(B) →^{ζ_{B}} KK^{ban}(ℂ, B)
↓ i_{∗}  ↓
K_{0}(B̃) →^{ζB̃} KK^{ban}(ℂ, B̃)

Comme ζB̃ et i_{∗} sont injectives, ζ_{B} est injective, et d’autre part ζ_{B} est surjective.

Avant de démontrer les deux propositions, énonçons deux lemmes d’intérêt général.

Lemme 1.3.3 Soient B une algèbre de Banach non dégénérée, E_{0} et E_{1} des B-paires, et f ∈ L(E_{0}, E_{1}) et g ∈ L(E_{1}, E_{0}) tels que Id_{E_{1}} − fg ∈ K(E_{1}). Alors il existe p ∈ ℕ et f̌ ∈ L(E_{0} ⊕ B^{p}, E_{1}) et ǧ ∈ L(E_{1}, E_{0} ⊕ B^{p}) tels que

f̌− (f, 0) et ǧ − (\begin{matrix}g \\ 0 \end{matrix}) soient compacts et f̌ǧ = Id_{E_{1}}.

Démonstration. D’après la proposition 1.1.8 il existe p ∈ ℕ et des morphismes compacts R : B^{p} → E_{1} et S : E_{1} → B^{p} tels que ∥fg + RS − Id_{E_{1}}∥_{K(E_{1})} ≤ \frac{1}{2}. Notons W l’inverse de fg + RS. Bien sûr W − Id_{E_{1}} est com-

pact. Notons f̌ = (f, R) ∈ L(E_{0} ⊕ B^{p}, E_{1}) et ǧ = (\begin{matrix}g \\ S \end{matrix}) W ∈ L(E_{1}, E_{0} ⊕ B^{p}).

On a bien f̌− (f, 0) et ǧ − (\begin{matrix}g \\ 0 \end{matrix}) compacts et f̌ǧ = Id_{E_{1}}.

Lemme 1.3.4 Soient B une algèbre de Banach non dégénérée et n ∈ ℕ. Pour tout y ∈ M_{n}(B), le spectre de y dans M_{n}(B) est égal au spectre de Ψ(y) dans K(B^{n}).

On rappelle que l’application Ψ : M_{n}(B) → K(B^{n}) a été définie juste avant le lemme 1.1.7. Le spectre de y dans l’algèbre non nécessairement unitaire M_{n}(B) est par définition le spectre de y dans l’algèbre unitaire associée et il en va de même pour le spectre de Ψ(y) dans K(B^{n}). Le lemme découle de la proposition A.2.8 de l’appendice de [Bos90] car on a défini, juste après le lemme 1.1.7, une application bilinéaire continue θ : K(B^{n}) × M_{n}(B) → M_{n}(B) telle que Ψ(θ(x, y)) = xΨ(y).

1.3.1 Démonstration de la proposition 1.3.1

Soit B une algèbre de Banach non dégénérée. Nous commençons par trois lemmes.

Lemme 1.3.5 Tout élément de E^{ban}(ℂ, B) est homotope à un élément de

E^{ban}(ℂ, B) de la forme (E ⇄_{g}^{f} B^{p}) pour un certain p ∈ ℕ.

Démonstration. Partons de (E_{0} ⇄_{g}^{f} E_{1}) ∈ E^{ban}(ℂ, B). On peut supposer

que 1 ∈ ℂ agit par Id sur E_{0} et E_{1} (quitte à remplacer E_{0} et E_{1} par les images du projecteur associé à 1 ∈ ℂ, au moyen d’une homotopie). Grâce au lemme 1.3.3 il existe p ∈ ℕ et f̌ ∈ L(E_{0} ⊕ B^{p}, E_{1}) et ǧ ∈ L(E_{1}, E_{0} ⊕ B^{p})

tels que f̌ − (f, 0) et ǧ − (\begin{matrix}g \\ 0 \end{matrix}) soient compacts et f̌ǧ = Id_{E_{1}}. Par suite

q̌ = ǧf̌ est un projecteur de L(E_{0} ⊕ B^{p}) et q̌ − (\begin{matrix}Id_{E_{0}} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) est compact.

Notons q̂ = Id_{E_{0}⊕B^{p}} − q̌, si bien que q̂ est un projecteur de L(E_{0} ⊕ B^{p}) et

q̂−(\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & Id_{B^{p}} \end{matrix}) est compact. Introduisons les B-paires Imq̌ = (Imq̌^{<}, Imq̌^{>}) et

Imq̂ = (Imq̂^{<}, Imq̂^{>}), si bien que E_{0}⊕B^{p} = Imq̌⊕Imq̂ et notons ǐ, π̌, î et π̂ les inclusions et les projections associées à q̌ et q̂. Notons également i_{0} l’inclusion de B^{p} dans E_{0} ⊕ B^{p} parallèlement à E_{0} et π_{0} la projection correspondante.

D’après le lemme 1.2.4, (E_{0} ⇄_{g}^{f} E_{1}) est homotope à (E_{0} ⊕ B^{p} (\begin{matrix}f & 0 \\ 0 & Id_{B^{p}} \end{matrix} ) ; (\begin{matrix}g & 0 \\ 0 & Id_{B^{p}} \end{matrix} )^{⇄}

E_{1} ⊕ B^{p}), qui se réécrit aussi sous la forme (E_{0} ⊕ B^{p} (\begin{matrix}(f, 0) \\ π_{0} \end{matrix})_{⇄_{((\begin{matrix}g \\ 0 \end{matrix}),i_{o})}} E_{1} ⊕ B^{p}).

D’après le lemme 1.2.3, cet elément est homotope à (E_{0}⊕B^{p} ( f̌ ; π_{0}q̂)_{⇄_{(ǧ,q̂i_{o})}} E_{1}⊕B^{p}),

puisque f̌− (f, 0), ǧ − (\begin{matrix}g \\ 0 \end{matrix}), π_{0}q̂ − π_{0} et q̂i_{0} − i_{0} sont compacts. Ce dernier

élément est la somme directe de (Imq̌ ⇄_{π̌ǧ}^{f̌ ; ǐ} E_{1}) et de (Imq̂ ⇄_{π̂i_{0}}^{π_{0}î} B^{p}). Or f̌ǐ et π̌ǧ

sont inverses l’un de l’autre, donc (Imq̌ ⇄_{π̌ǧ}^{f̌ ; ǐ} E_{1}) est homotope à 0 d’après le

lemme 1.2.4.

Lemme 1.3.6 Soient p ∈ ℕ, E une B-paire et f ∈ L(E, B^{p}) et g ∈ L(B^{p}, E) tels que gf − Id_{E} et fg − Id_{B^{p}} soient compacts. Alors il existe n ∈ ℕ, et

q ∈ (\begin{matrix}1_{p} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + M_{p+n}(B) tels que q^{2} = q et qu’en posant q_{0} = q, q_{1} =

(\begin{matrix}1_{p} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), i_{0},π_{0}, π_{1}, i_{1} les inclusions et projections associées à q_{0} et q_{1} et

Imq = ((B^{p+n})q, q(B^{p+n})), il existe un isomorphisme de B-paires θ : E → Imq avec f − π_{1}i_{0}θ ∈ K(E, B^{p}) et g − θ^{−1}π_{0}i_{1} ∈ K(B^{p}, E).

Dans les notations du lemme (E ⇄_{g}^{f} B^{p}) est homotope à (Imq ⇄_{π_{0}i_{1}}^{π_{1}i_{0}} B^{p}), en

vertu du lemme 1.2.3. Démonstration du lemme 1.3.6. D’après le lemme 1.3.3 il existe n ∈ ℕ

et f̌ ∈ L(E, B^{p+n}) et ǧ ∈ L(B^{p+n}, E) tels que f̌ − (\begin{matrix}f \\ 0 \end{matrix}) et ǧ − (g, 0) soient

compacts et ǧf̌ = Id_{E}. Il en résulte que q̌ = f̌ǧ est un projecteur de L(B^{p+n})

et q̌ − (\begin{matrix}Id_{B^{p}} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ∈ K(B^{p+n}). On note Imq̌ = (Imq̌^{<}, Imq̌^{>}) et on note ǐ ∈ L(Imq̌, B^{p+n}) et π̌ ∈ L(B^{p+n}, Imq̌) l’inclusion et la projection associées à q̌. On a le lemme suivant, que nous démontrons plus loin.

Lemme 1.3.7 Soient p, n ∈ ℕ et q̌ ∈ L(B^{p+n}) tel que q̌^{2} = q̌ et q̌ −

(\begin{matrix}Id_{B^{p}} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ∈ K(B^{p+n}). Pour tout ϵ > 0 il existe q ∈ M_{p+n}(B̃) tel que

q −(\begin{matrix}1_{p} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ∈ M_{p+n}(B) et q^{2} = q dans M_{p+n}(B̃), et que ∥Ψ(q)−q̌∥_{K(B^{p+n})} ≤

ϵ, en notant Ψ(q) l’image de q dans L(B^{p+n}).

Si ϵ est assez petit et q comme dans le lemme, λ = Ψ(q)q̌+ (1 − Ψ(q))(1 − q̌) vérifie ∥λ − Id_{B^{p+n}}∥_{K(B^{p+n})} ≤ \frac{1}{2}, donc λ est inversible dans L(B^{p+n}), et on a λ^{−1} − Id_{B^{p+n}} ∈ K(B^{p+n}). Comme λq̌ = Ψ(q)λ, λ induit un isomorphisme de B-paires λ′ de Imq̌ vers Imq, en écrivant Imq au lieu de ImΨ(q), par abus. Comme π̌f̌: E → Imq̌ est un isomorphisme de B-paires, d’inverse ǧǐ, θ = λ′π̌f̌: E → Imq est un isomorphisme de B-paires.

Montrons par exemple que f − π_{1}i_{0}θ appartient à K(E, B^{p}). Comme f =

π_{1} (\begin{matrix}f \\ 0 \end{matrix}), il suffit de montrer que (\begin{matrix}f \\ 0 \end{matrix}) − i_{0}θ appartient à K(E, B^{p+n}). Or

i_{0}θ = i_{0}λ′π̌f̌ et i_{0}λ′ = λǐ et λǐπ̌f̌ = λq̌f̌ = λf̌. Enfin (λ − Id_{B^{p+n}}) ∈ K(B^{p+n})

et f̌− (\begin{matrix}f \\ 0 \end{matrix}) ∈ K(E, B^{p+n}). On montre de même que g − θ^{−1}π_{0}i_{1} appartient

à K(B^{p}, E). Démonstration du lemme 1.3.7. Il existe un voisinage V de q̌ dans

(\begin{matrix}Id_{B^{p}} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + K(B^{p+n}) tel que pour tout y ∈ V, le spectre de y^{2} − y dans

K(B^{p+n}) soit inclus dans le disque ouvert D(0, 1/4) de rayon 1/4 et de centre 0 dans ℂ. Par densité de Ψ(M_{p+n}(B)) dans K(B^{p+n}), il existe une suite

(x_{n})_{n∈ℕ^{∗}} d’éléments de (\begin{matrix}1_{p} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + M_{p+n}(B) telle que Ψ(x_{n}) appartienne à

V et que la suite (Ψ(x_{n})) tende vers q̌. D’après le lemme 1.3.4, pour tout n ∈ ℕ^{∗}, le spectre de x_{n}^{2} − x_{n} dans M_{p+n}(B) est inclus dans D(0, 1/4) et par suite le spectre de x_{n} dans M_{p+n}(B̃) est inclus dans D(0, 1/2) ∪ D(1, 1/2). Notons μ : D(0, 1/2) ∪ D(1, 1/2) → ℂ la fonction qui vaut 0 sur D(0, 1/2) et 1 sur D(1, 1/2). Alors pour tout n ∈ ℕ^{∗}, μ(x_{n}) est un projecteur de M_{p+n}(B̃)

et appartient à (\begin{matrix}1_{p} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + M_{p+n}(B) et la suite Ψ(μ(x_{n})) = μ(Ψ(x_{n})) tend

vers q̌ par continuité du calcul fonctionnel holomorphe. On pose q = μ(x_{n}) pour n assez grand. Fin de la démonstration de la proposition 1.3.1. D’après le lemme 1.3.5

tout élément de E^{ban}(ℂ, B) est homotope à un élément de la forme (E ⇄_{g}^{f} B^{p}), avec p ∈ ℕ. D’après le lemme 1.3.6 et la remarque qui suit ce lemme, ce der-

nier est homotope à un élément de la forme (Imq_{0} ⇄_{π_{0}i_{1}}^{π_{1}i_{0}} B^{p}), avec q_{0} comme

dans le lemme 1.3.6, et la classe de cet élément dans KK^{ban}(ℂ, B) appartient à l’image de ζ par la construction même de ζ.

1.3.2 Démonstration de la proposition 1.3.2

Soit B une algèbre de Banach unitaire.

Lemme 1.3.8 L’application E ↦ E^{>} établit une bijection, fonctorielle en B, entre les classes d’isomorphisme de B-paires E telles que Id_{E} soit compacte, à équivalence des normes sur E^{<} et E^{>} près, et les classes d’isomorphisme de B-modules à droite projectifs de type fini.

En effet d’après le lemme 1.3.6, dont la preuve se simplifie beaucoup dans ce cas particulier, pour toute B-paire E telle que Id_{E} soit compacte il existe un entier n, un projecteur q dans M_{n}(B) et un isomorphisme de B-paires θ : E → Imq. Par suite E^{>} = qB^{n} est un B-module à droite projectif de type fini. Réciproquement à tout B-module à droite projectif de type fini on associe un élément dans lim_{⟶_{n→+∞}}{classes de conjugaison de projecteurs dans M_{n}(B)} et

alors pour tout représentant q de cet élément la B-paire correspondante est (B^{n}q, qB^{n}) et ne dépend pas du choix de q,à équivalence des normes près.

On sait que K_{0}(B) est le groupe universel associé au semi-groupe formé par les classes d’isomorphisme de B-modules à droite projectifs de type fini pour la somme directe et ζ : K_{0}(B) → KK^{ban}(ℂ, B) est défini en posant

ζ([E^{>}]) égal à la classe de (E ⇄_{0}^{0} 0) dans KK^{ban}(ℂ, B) pour toute B-paire E

telle que Id_{E} soit compacte. Comme K_{0}(B[0, 1]) = K_{0}(B) le lemme suivant prouve l’injectivité de ζ. Nous n’en avons pas besoin mais il est encore plus facile de montrer la surjectivité de ζ.

Lemme 1.3.9 Soient n ∈ ℕ et E_{0} et E_{1} deux B-paires telles que Id_{E_{0}} et

Id_{E_{1}} soient compactes et que (E_{0} ⇄_{0}^{0} 0) et (E_{1} ⇄_{0}^{0} 0) soient homotopes dans

E^{ban}(ℂ, B). Alors il existe un entier r ∈ ℕ et une B[0, 1]-paire E telle que Id_{E} soit un morphisme compact de B[0, 1]-paires, et que σ_{0,∗}(E) soit une B-paire isomorphe à E_{0} ⊕ B^{r} et σ_{1,∗}(E) une B-paire isomorphe à E_{1} ⊕ B^{r}, en notant σ_{t} : B[0, 1] → B l’évaluation en t, pour t ∈ [0, 1].

En effet il existe un élément (E ⇄_{g}^{f} F) de E^{ban}(ℂ, B[0, 1]) tel que σ_{0,∗}(E) = E_{0},

σ_{0,∗}(F) = 0, σ_{1,∗}(E) = E_{1} et σ_{1,∗}(F) = 0. On peut supposer que 1 ∈ ℂ agit par Id sur E et F. Comme Id_{F} − fg ∈ K(F), en vertu du lemme 1.3.3 il existe r ∈ ℕ et f̌ ∈ L(E ⊕ B[0, 1]^{r}, F) et ǧ ∈ L(F, E ⊕ B[0, 1]^{r}) tels que

f̌ − (f, 0) et ǧ − (\begin{matrix}g \\ 0 \end{matrix}) soient compacts et f̌ǧ = Id_{F}. Alors q̌ = ǧf̌ est un

projecteur de L(E ⊕ B[0, 1]^{r}) et q̂ = Id_{E⊕B[0,1]^{r}} − q̌ vérifie les propriétés suivantes. Comme B est unitaire, B[0, 1] est unitaire et Id_{B[0,1]^{r}} est compact, par suite q̂ ∈ K(E ⊕B[0, 1]^{r}). De plus σ_{0,∗}(q̂) = Id_{E_{0}⊕B^{r}} et σ_{1,∗}(q̂) = Id_{E_{1}⊕B^{r}}. Par conséquent Imq̂ est une B[0, 1]-paire telle que Id_{Imq̂} soit compact et que σ_{0,∗}(Imq̂) = E_{0} ⊕ B^{r} et σ_{1,∗}(Imq̂) = E_{1} ⊕ B^{r}.

1.4 Deux résultats d’homotopie

Soient G un groupe localement compact, N une norme sur G et A et B des G-algèbres de Banach. On dit qu’un (G, N)-(A, B)-bimodule de Banach E est ℤ-gradué s’il existe des (G, N)-(A, B)-bimodules de Banach E_{i} pour i ∈ ℤ tels que E = ⨁_{i∈ℤ} E_{i}: plus précisément E^{>} est muni de la norme ∥(x_{i})_{i∈ℤ}∥_{E^{>}} = ∑_{i∈ℤ} ∥x_{i}∥_{E_{i}^{>}} et E^{<} est muni de la norme ∥(ξ_{i})_{i∈ℤ}∥_{E^{<}} = ∑_{i∈ℤ} ∥ξ_{i}∥_{E_{i}^{<}}.

Définition 1.4.1 On note E_{G,N}^{ban,com}(A, B) l’ensemble des triplets (E, f, g) avec E un (G, N)-(A, B)-bimodule de Banach ℤ-gradué et f et g des éléments de L(E) de degrés 1 et −1 respectivement tels que pour tout a ∈ A, [a, f], [a, g], af^{2}, ag^{2} et a(1 − fg − gf) appartiennent à K(E) et (a(f − h(f)))_{h∈G} et (a(g − h(g)))_{h∈G} soient deux applications continues de G dans K(E).

Si C est une algèbre de Banach et θ : B → C un morphisme d’algèbres de Banach, pour x = (E, f, g) ∈ E_{G,N}^{ban,com}(A, B) on pose θ_{∗}(x) = (θ_{∗}(E), θ_{∗}(f), θ_{∗}(g)) ∈ E_{G,N}^{ban,com}(A, C). D’où une application θ_{∗} : E_{G,N}^{ban,com}(A, B) → E_{G,N}^{ban,com}(A, C).

Pour t ∈ [0, 1] notons σ_{t} : B[0, 1] → B l’évaluation en t. On dit que deux éléments x et y de E_{G,N}^{ban,com}(A, B) sont homotopes si ce sont les images par σ_{0,∗} et σ_{1,∗} d’un même élément de E_{G,N}^{ban,com}(A, B[0, 1]).

Par la suite nous appellerons souvent un élément de E_{G,N}^{ban,com}(A, B) un com-

plexe et nous le noterons parfois sous la forme (… E_{1} ⇄_{g_{1}}^{f_{1}} ... ⇄_{g_{n−2}}^{f_{n−2}} E_{n−1} ⇄_{g_{n−1}}^{f_{n−1}}

E_{n} …).

Pour tout x = (E, f, g) ∈ E_{G,N}^{ban,com}(A, B), notons E′ le (G, N)-(A, B)- bimodule de Banach ℤ/2-gradué associé à E et posons T = f + g. Alors (E′, T) appartient à E_{G,N}^{ban}(A, B). On note x_{R} = (E′, T) et on dit que x_{R} est le complexe replié associé à x. Si x et y sont deux éléments homotopes de E_{G,N}^{ban,com}(A, B), x_{R} et y_{R} sont homotopes dans E_{G,N}^{ban}(A, B). Pour tout x ∈ E_{G,N}^{ban,com}(A, B) on appelle classe de x la classe de x_{R} dans KK_{G,N}^{ban}(A, B).

Lemme 1.4.2 Soient G un groupe localement compact, N une norme sur G et A et B des G-algèbres de Banach. Soit (E, f, g) ∈ E_{G,N}^{ban,com}(A, B) et g′ ∈ L(E) tel que (E, f, g′) ∈ E_{G,N}^{ban,com}(A, B). Alors (E, f, g)_{R} et (E, f, g′)_{R} sont homotopes dans E_{G,N}^{ban}(A, B).

Démonstration. Considérons les éléments f̄ et ḡ de L(E[0, 1]) définis par f̄ = (f)_{t∈[0,1]} et ḡ = ((1 − t)g + tg′)_{t∈[0,1]}. Alors (E[0, 1], f̄, ḡf̄ḡ) appartient à E_{G,N}^{ban,com}(A, B[0, 1]). En effet pour tout a ∈ A, [a, f̄], [a, ḡ], af̄^{2} et a(f̄ḡ + ḡf̄ − Id) sont compacts. Par suite, modulo les compacts, a(f̄ḡ)^{2} − a(f̄ḡ) = a(f̄ḡ+ḡf̄−Id)(f̄ḡ) = 0. De même a(ḡf̄)^{2} −a(ḡf̄) est compact. Il en résulte d’une part que a(f̄(ḡf̄ḡ) + (ḡf̄ḡ)f̄− Id) est compact, et d’autre part que af̄(ḡ)^{2}f̄est compact, et donc que a(ḡf̄ḡ)^{2} est compact. Enfin (E, f, gfg)_{R} et (E, f, g)_{R} sont homotopes dans E_{G,N}^{ban}(A, B) par le lemme 1.2.3 et de même (E, f, g′fg′)_{R} et (E, f, g′)_{R} sont homotopes dans E_{G,N}^{ban}(A, B). L’astuce consistant à introduire ḡf̄ḡ m’a été suggérée par Georges Skandalis.

On peut énoncer un lemme analogue au précédent en intervertissant les rôles de f et g.

Voici un second résultat d’homotopie qui nous sera très utile.

Proposition 1.4.3 Soient G un groupe localement compact, N une norme sur G et A et B des G-algèbres de Banach. Soit x = (E, f, g) avec E un (G, N)-(A, B)-bimodule de Banach ℤ-gradué, f ∈ L(E) de degré 1 et g ∈ L(E) de degré −1, tels que f^{2} et Id − gf − fg soient nuls et h(f) = f pour tout h ∈ G, et tels que pour tout a ∈ A, [a, f] soit nul, [a, g] et ag^{2} soient compacts, et h ↦ a(g − h(g)) soit une application continue de G dans K(E).

Alors x appartient à E_{G,N}^{ban,com}(A, B) et x_{R} est homotope à 0 dans E_{G,N}^{ban}(A, B).

Démonstration. Notons F^{>} l’adhérence dans E^{>} de l’image de E^{>} par f^{>}, muni de la norme induite et G^{>} le quotient de E^{>} par F^{>}, muni de la norme quotient. Comme f commute aux éléments de A et de G, F^{>} et G^{>} sont des (G, N)-B-modules de Banach à droite ℤ-gradués, et des A-modules de Banach à gauche. De même notons G^{<} l’adhérence dans E^{<} de l’image de E^{<} par f^{<}, munie de la norme induite, et F^{<} le quotient de E^{<} par G^{<}, muni de la norme quotient. Comme f commute aux éléments de A et de G, G^{<} et F^{<} sont des (G, N)-B-modules de Banach à gauche ℤ-gradués, et des A-modules de Banach à droite.

Pour tout x ∈ E^{>} et pour tout ξ ∈ E^{<} on a ⟨f^{<}(ξ), f^{>}(x)⟩ = ⟨ξ, f^{2,>}(x)⟩ = 0 car f^{2} = 0. Donc, pour tout x ∈ F^{>}, pour tout ξ ∈ G^{<} on a ⟨ξ, x⟩ = 0. Par conséquent (F^{<}, F^{>}) et (G^{<}, G^{>}) sont des B-paires et en fait des (G, N)- (A, B)-bimodules ℤ-gradués. On note Ē_{0}^{>} = F^{>} ⊕ G^{>} muni de la norme somme directe et Ē_{0}^{<} = G^{<} ⊕ F^{<} muni de la norme somme directe, si bien que Ē_{0} = (Ē_{0}^{<}, Ē_{0}^{>}) est le (G, N)-(A, B)-bimodule ℤ-gradué somme directe de (F^{<}, F^{>}) et (G^{<}, G^{>}).

Soit t ∈]0, 1]. On pose Ē_{t}^{>} = E^{>} muni de la norme suivante :

si x ∈ E^{>}, ∥x∥Ē_{t}^{>} = inf_{y∈F^{>}}(∥y∥_{F^{>}} + t^{−1}∥x − y∥_{E^{>}})

et Ē_{t}^{<} = E^{<} muni de la norme suivante :

si ξ ∈ E^{<}, ∥ξ∥Ē_{t}^{<} = inf_{ν∈G^{<}}(t∥ν∥_{G^{<}} + ∥ξ − ν∥_{E^{<}}).

On définit le crochet entre Ē_{t}^{<} et Ē_{t}^{>} comme étant égal au crochet entre E^{<} et E^{>}. Alors Ē_{t} = (Ē_{t}^{<}, Ē_{t}^{>}) est une B-paire car, pour ξ ∈ E^{<} et x ∈ E^{>}, on a

∥⟨ξ, x⟩∥_{B} ≤ ( inf_{y∈F^{>}} ∥y∥_{F^{>}} + t^{−1}∥x − y∥_{E^{>}})( inf_{ν∈G^{<}} t∥ν∥_{G^{<}} + ∥ξ − ν∥_{E^{<}}).

En effet, pour ξ ∈ E^{<}, ν ∈ G^{<}, x ∈ E^{>}, y ∈ F^{>}, on a

∥⟨ξ, x⟩∥_{B} ≤ ∥⟨ξ, y⟩∥_{B} + ∥⟨ξ, x − y⟩∥_{B} ≤ ∥ξ − ν∥_{E^{<}}∥y∥_{F^{>}} + ∥ξ∥_{E^{<}}∥x − y∥_{E^{>}}

≤ (∥y∥_{F^{>}} + t^{−1}∥x − y∥_{E^{>}}) max(∥ξ − ν∥_{E^{<}}, t∥ξ∥_{E^{<}}),

et max(∥ξ − ν∥_{E^{<}}, t∥ξ∥_{E^{<}}) ≤ t∥ν∥_{G^{<}} + ∥ξ − ν∥_{E^{<}}.

Nous allons maintenant construire un (G, N)-(A, B[0, 1])-bimodule ℤ-gradué Ē = (Ē^{<}, Ē^{>}) tel que l’image directe de ce module par l’évaluation en t soit isomorphe à Ē_{t} (avec égalité des normes) pour tout t ∈ [0, 1].

Construisons d’abord un (G, N)-B[0, 1]-module de Banach à droite non dégénéré ℤ-gradué Ē^{>}: Ē^{>} est égal à l’ensemble des x dans ∏_{t∈[0,1]} Ē_{t}^{>} tels que (x(t))_{t∈]0,1]} appartienne à C(]0, 1], E^{>}) et qu’en posant x(0) = (y, z) dans F^{>} ⊕ G^{>} on ait lim_{t↦0} ∥x(t) − y∥_{E^{>}} = 0 et lim_{t↦0} ∥t^{−1}\overline{x(t)} − z∥_{G^{>}} = 0 où \overline{x(t)} désigne la classe de x(t) dans G^{>} et la norme sur Ē^{>} est donnée par ∥x∥Ē^{>} = sup_{t∈[0,1]} ∥x(t)∥Ē_{t}^{>}. On a aussi que Ē^{>} est un A-module de Banach à gauche. On vérifie que l’ensemble Λ^{>} des éléments x de Ē^{>} de la forme x(0) = (y, 0), x(t) = y pour t ∈]0, 1], où y ∈ F^{>} et de la forme x(0) = (0, ū), x(t) = tu pour t ∈]0, 1], où u ∈ E^{>}, engendre Ē^{>} comme B[0, 1]-module.

Construisons enfin un (G, N)-B[0, 1]-module de Banach à gauche non dégénéré ℤ-gradué Ē^{<}: Ē^{<} est égal à l’ensemble des ξ dans ∏_{t∈[0,1]} Ē_{t}^{<} tels que (ξ(t))_{t∈]0,1]} appartienne à C(]0, 1], E^{<}) et qu’en posant ξ(0) = (ν, η) dans G^{<} ⊕ F^{<} on ait lim_{t↦0} ∥tξ(t) − ν∥_{E^{<}} = 0 et lim_{t↦0} ∥\overline{ξ(t)} − η∥_{F^{<}} = 0, où \overline{ξ(t)} désigne la classe de ξ(t) dans F^{<}, et la norme sur Ē^{<} est donnée par ∥ξ∥Ē^{<} = sup_{t∈[0,1]} ∥ξ(t)∥Ē_{t}^{<}. On a aussi que Ē^{<} est un A-module de Banach à droite. On vérifie que l’ensemble Λ^{<} des éléments ξ de Ē^{<} de la forme ξ(0) = (ν, 0), ξ(t) = t^{−1}ν pour t ∈]0, 1], où ν ∈ G^{<}, et de la forme ξ(0) = (0, ᾱ), ξ(t) = α pour t ∈]0, 1], où α ∈ E^{<}, et où ᾱ désigne l’image de α dans F^{<}, engendre Ē^{<} comme B[0, 1]-module.

Montrons maintenant que Ē = (Ē^{<}, Ē^{>}) est un (G, N)-(A, B[0, 1])-bimodule ℤ-gradué.

Pour cela il nous reste à définir le crochet : pour x ∈ Ē^{>} et ξ ∈ Ē^{<} on pose ⟨ξ, x⟩ = (⟨ξ(t), x(t)⟩)_{t∈[0,1]} en utilisant les structures de B-paires sur Ē_{t} pour t ∈ [0, 1]. On vérifie que, pour x ∈ Λ^{>}, ξ ∈ Λ^{<}, (⟨ξ(t), x(t)⟩)_{t∈[0,1]} appartient à B[0, 1].

Ainsi nous avons construit un (G, N)-(A, B[0, 1])-bimodule ℤ-gradué Ē. Nous définissons des morphismes de B[0, 1]-paires f̄ = (f̄_{t})_{t∈[0,1]} et ḡ = (ḡ_{t})_{t∈[0,1]} de degré 1 et −1 de Ē vers Ē en posant, pour t ∈]0, 1], f̄_{t} = \frac{1}{t}f et ḡ_{t} = tg, où l’on rappelle que Ē_{t} est identifié à E à équivalence des normes près, et pour t = 0, f̄_{0}^{>}(y, z) = (f^{>}(z), 0) si (y, z) ∈ F^{>}⊕G^{>}, f̄_{0}^{<}(ν, η) = (f^{<}(η), 0) si (ν, η) ∈ G^{<}⊕F^{<}, ḡ_{0}^{>}(y, z) = (0, \overline{g^{>}(y)}) si (y, z) ∈ F^{>}⊕G^{>}, où \overline{g^{>}(y)} désigne la classe de g^{>}(y) ∈ E^{>} dans G^{>}, ḡ_{0}^{<}(ν, η) = (0, \overline{g^{<}(ν)}) si (ν, η) ∈ G^{<} ⊕ F^{<}, où \overline{g^{<}(ν)} est la classe de g^{<}(ν) ∈ E^{<} dans F^{<}. Les notations f^{>}(z) et f^{<}(η) ont un sens car f^{2} = 0. Vérifions que y = (Ē, f̄, ḡ) appartient à E_{G,N}^{ban,com}(A, B[0, 1]). D’abord f̄^{>}(Λ^{>}) ⊂ Ē^{>}, f̄^{<}(Λ^{<}) ⊂ Ē^{<}, ḡ^{>}(Λ^{>}) ⊂ Ē^{>} et ḡ^{<}(Λ^{<}) ⊂ Ē^{<} et pour tout t ∈ [0, 1], (f̄_{t}^{<}, f̄_{t}^{>}) et (ḡ_{t}^{<}, ḡ_{t}^{>}) sont des morphismes de B-paires, dont la norme est bornée indépendamment de t par la norme de f et la norme de g, donc f̄ et ḡ sont des morphismes de B[0, 1]-paires. Ensuite f̄ commute exactement à A et à l’action de G car c’est le cas de f. Soit a ∈ A. Alors [a, ḡ] est compact car il est le composé des trois morphismes de B[0, 1]-paires suivants : [a, ḡ] = m([a, g])_{t∈[0,1]}l où l : Ē → E[0, 1] est donné par l_{t}^{>}(x) = x pour t ∈]0, 1] et x ∈ Ē_{t}^{>} = E^{>} et l_{0}^{>}((y, z)) = y si (y, z) ∈ F^{>} ⊕ G^{>}, et l_{t}^{<}(ξ) = ξ ∈ E_{t}^{<} = E^{<} pour t ∈]0, 1] et l_{0}^{<}(ξ) = (0, ξ̄) ∈ G^{<} ⊕ F^{<} si ξ ∈ E^{<}, ensuite m : E[0, 1] → Ē est donné par m_{t}^{>}(x) = tx pour t ∈]0, 1] et x ∈ E^{>}, m_{0}^{>}(x) = (0, x̄) pour x ∈ E^{>}, et m_{t}^{<}(ξ) = tξ pour t ∈]0, 1] et ξ ∈ Ē_{t}^{<} = E^{<}, et m_{0}^{<}((ν, η)) = ν si (ν, η) ∈ G^{<} ⊕ F^{<} et enfin ([a, g])_{t∈[0,1]} : E[0, 1] → E[0, 1] est compact car [a, g] est compact. Le même argument prouve que (a(h(ḡ) − ḡ))_{h∈G} appartient à C(G, K(Ē)). Enfin Id − ḡf̄ − f̄ḡ = 0. Nous avons montré que y appartient à E_{G,N}^{ban,com}(A, B[0, 1]). Or σ_{1}^{∗}(y) = x dans E_{G,N}^{ban,com}(A, B) et σ_{0}^{∗}(y)_{R} est homotope à 0 dans E_{G,N}^{ban}(A, B) d’après le lemme 1.2.4 car σ_{0}^{∗}(y)_{R} est dégénéré : en effet, dans la décomposition Ē_{0} = F ⊕ G, f̄_{0} et ḡ_{0} sont de la forme f̄_{0} = (\begin{matrix}0 & f′ \\ 0 & 0 \end{matrix}) et ḡ_{0} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ g′ & 0 \end{matrix}) et f′ commute à A et est exactement

G-équivariant, et comme f′g′ − Id_{F} = 0 et g′f′ − Id_{G} = 0, g′ commute également à A et est G-équivariant.

1.5 Descente

Dans toute cette section nous considérons un groupe G localement compact muni d’une mesure de Haar à gauche dg. Nous dirons qu’une algèbre de Banach A(G) est une bonne complétion de C_{c}(G) si elle contient C_{c}(G) comme sous-algèbre dense et si quels que soient f_{1}, f_{2} ∈ C_{c}(G) tels que |f_{1}(g)| ≤ |f_{2}(g)| pour tout g ∈ G on a ∥f_{1}∥_{A(G)} ≤ ∥f_{2}∥_{A(G)}.

Fixons une bonne complétion A(G) de C_{c}(G).

Soient N une norme sur G et B une G-algèbre de Banach . On note C_{c}(G, B) l’espace des fonctions continues à support compact de G dans B et on munit cet espace de la structure d’algèbre suivante : pour f_{1}, f_{2} ∈ C_{c}(G, B), (f_{1}∗f_{2})(g) = ∫_{G} f_{1}(g_{1})g_{1}(f_{2}(g_{1}^{−1}g))dg_{1}, ce qui revient intuitivement à noter les éléments de C_{c}(G, B) sous la forme f = ∫_{G} f(g)e_{g}dg. La convention adoptée ici est celle de [Kas88].

Proposition 1.5.1 Le complété de C_{c}(G, B) pour la norme ∥f∥ = ∥g ↦

N(g)∥f(g)∥_{B}∥_{A(G)} est une algèbre de Banach, notée A_{N}(G, B).

La preuve est immédiate. Lorsque N = 1 nous omettons N et lorsque B = ℂ, nous notons A_{N}(G) au lieu de A_{N}(G, ℂ). Pour la KK-théorie le fait suivant est important : A_{N}(G) est non dégénérée et plus généralement si la G-algèbre de Banach B non dégénérée, A_{N}(G, B) est non dégénérée. Remarquons que A′(G) = A_{N}(G) est une autre bonne complétion de C_{c}(G). C’est pourquoi nous oublions momentanément N sans perte de généralité.

Si C est une autre G-algèbre de Banach et θ : B → C est un morphisme G-équivariant d’algèbres de Banac, on définit un morphisme d’algèbres de Banach A(G, θ) : A(G, B) → A(G, C) en posant (A(G, θ)f)(g) = θ(f(g)).

Soit E une B-paire. Intuitivement nous notons x ∈ C_{c}(G, E^{>}) sous la forme x = ∫_{G} x(g)e_{g}dg et ξ ∈ C_{c}(G, E^{<}) sous la forme ξ = ∫_{G} e_{g}ξ(g)dg.

Définition 1.5.2 Notons A(G, E)^{>} la complétion de C_{c}(G, E^{>}) pour la norme ∥x∥ = ∥g ↦ ∥x(g)∥_{E^{>}} ∥_{A(G)}, et A(G, E)^{<} la complétion de C_{c}(G, E^{<}) pour

la norme ∥ξ∥ = ∥g ↦ ∥ξ(g)∥_{E^{<}} ∥_{A(G)}. Pour x ∈ C_{c}(G, E^{>}), ξ ∈ C_{c}(G, E^{<}), et f ∈ C_{c}(G, B), et pour tout g ∈ G, posons

(x.f)(g) = ∫_{G} x(g_{1})g_{1}(f(g_{1}^{−1}g))dg_{1}
(f.ξ)(g) = ∫_{G} g^{−1}(f(g_{1}))ξ(g_{1}^{−1}g)dg_{1}
⟨ξ, x⟩(g) = ∫_{G} g_{1}(⟨ξ(g_{1}), x(g_{1}^{−1}g)⟩)dg_{1}.

Ceci définit une A(G, B)-paire A(G, E) = (A(G, E)^{<}, A(G, E)^{>}).

Si F est une seconde B-paire, et si T est un morphisme de B-paires de E vers F, nous définissons un morphisme A(G, T) de A(G, B)-paires de A(G, E) vers A(G, F) en posant

pour tout x ∈ C_{c}(G, E^{>}), A(G, T)^{>}(x)(g) = T^{>}(x(g))
et pour tout ξ ∈ C_{c}(G, F^{<}), A(G, T)^{<}(ξ)(g) = T^{<}(ξ(g)).

On a ∥A(G, T)∥_{L(A(G,E),A(G,F))} ≤ ∥T ∥_{L(E,F)}. Kasparov définit dans [Kas88], 3.11, un opérateur analogue à A(G, T) et le note T̃.

Supposons de plus que A est une G-algèbre de Banach, N une norme sur G et que la B-paire E est munie d’une structure de (G, N)-(A, B)-bimodule.

Proposition 1.5.3 Sous ces hypothèses A(G, E) est un (A_{N}(G, A), A(G, B))- bimodule.

La formule est la suivante : pour h ∈ C_{c}(G, A), x ∈ C_{c}(G, E^{>}), et ξ ∈ C_{c}(G, E^{<}) et pour tout g ∈ G, on pose

(h.x)(g) = ∫_{G} h(g_{1})g_{1}(x(g_{1}^{−1}g))dg_{1}
(ξ.h)(g) = ∫_{G}(g_{1}^{−1}g)^{−1}(ξ(g_{1})h(g_{1}^{−1}g))dg_{1}.

La formule devient claire si on écrit h = ∫_{G} h(g)e_{g}dg, x = ∫_{G} x(g)e_{g}dg et ξ = ∫_{G} e_{g}ξ(g)dg.

Vérifions par exemple que A(G, E)^{>} est un A_{N}(G, A)-module de Banach à gauche. Avec les notations ci-dessus, on a

∥h.x∥_{A(G,E)^{>}} = ∥g ↦ ∥ ∫ h(g_{1})g_{1}(x(g_{1}^{−1}g))dg_{1}∥_{E^{>}} ∥_{A(G)}
≤ ∥g ↦ ∫ ∥h(g_{1})∥_{A}N(g_{1})∥x(g_{1}^{−1}g)∥_{E^{>}}dg_{1}∥_{A(G)}

≤ ∥h∥_{A_{N} (G,A)}∥x∥_{A(G,E)^{>}}.

Proposition-Définition 1.5.4 Soient G un groupe localement compact, A(G) une bonne complétion de C_{c}(G) et N une norme sur G. Soient A et B des G-algèbres de Banach. Pour tout (E, T) ∈ E_{G,N}^{ban}(A, B), le couple j_{A}(E, T) = (A(G, E), A(G, T)) appartient à E^{ban}(A_{N}(G, A), A(G, B)). L’application j_{A} ainsi définie est compatible aux images directes et à l’homotopie et détermine un homomorphisme de descente

j_{A} : KK_{G,N}^{ban}(A, B) → KK^{ban}(A_{N}(G, A), A(G, B)).

De plus j_{A} est fonctorielle en A et B: si A_{1} et C sont deux G-algèbres de Banach, θ : B → C et θ_{1} : A_{1} → A des morphismes G-équivariants d’algèbres de Banach, et α ∈ KK_{G,N}^{ban}(A, B), on a A(G, θ)_{∗}(j_{A}(α)) = j_{A}(θ_{∗}(α)) dans KK^{ban}(A_{N}(G, A), A(G, C)) et A_{N}(G, θ_{1})^{∗}(j_{A}(α)) = j_{A}(θ_{1}^{∗}(α)) dans KK^{ban}(A_{N}(G, A_{1}), A(G, B))

Démonstration. Soit a ∈ C_{c}(G, A). Nous devons vérifier que [a, A(G, T)] est un morphisme compact de A(G, B)-paires. Pour x ∈ C_{c}(G, E^{>}) nous calculons

[a, A(G, T)]^{>}(x)(g) = (aA(G, T)^{>}(x))(g) − (A(G, T)^{>}(ax))(g)

= ∫_{G} a(g_{1})g_{1}(T^{>}(x(g_{1}^{−1}g)))dg_{1} − ∫_{G} T^{>}(a(g_{1})g_{1}(x(g_{1}^{−1}g)))dg_{1}

= ∫_{G} a(g_{1})(g_{1}(T^{>}) − T^{>})(g_{1}(x(g_{1}^{−1}g)))dg_{1} + ∫_{G}[a(g_{1}), T^{>}](g_{1}(x(g_{1}^{−1}g)))dg_{1}.

Le calcul analogue pour ξ ∈ C_{c}(G, E^{<}) est désagréable car T^{<} n’agit pas du côté où il devrait. Le fait que [a, A(G, T)] est compact résulte du lemme 1.5.5 ci-dessous.

Vérifions maintenant que a(Id−A(G, T)^{2}) est compact. Pour x ∈ C_{c}(G, E^{>}) nous calculons

(a(Id − T̃^{2,>}))(x)(g)
= ∫_{G} a(g_{1})g_{1}((Id − T^{2,>})x(g_{1}^{−1}g))dg_{1}
= ∫_{G} a(g_{1})g_{1}(Id − T^{2,>})g_{1}(x(g_{1}^{−1}g))dg_{1}.

La compacité de a(Id − A(G, T)^{2}) résulte du lemme 1.5.5 ci-dessous.

Lemme 1.5.5 Soient G un groupe localement compact, N une norme sur G, A(G) une bonne complétion de C_{c}(G), B une G-algèbre de Banach et E et F des (G, N)-B-paires. Soit S = (S_{g})_{g∈G} ∈ C_{c}(G, K(E, F)). Définissons un morphisme Ŝ de A(G, B)-paires de A(G, E) dans A(G, F) par la formule suivante : pour tout g ∈ G,

Ŝ^{>}(x)(g) = ∫_{G} S_{g_{1}}^{>}(g_{1}(x(g_{1}^{−1}g)))dg_{1} pour x ∈ C_{c}(G, E^{>})
et Ŝ^{<}(η)(g) = ∫_{G}(g_{1}^{−1}g)^{−1}(S_{g_{1}^{−1}g}^{<}(η(g_{1})))dg_{1} pour η ∈ C_{c}(G, F^{<}). (1.1)

Alors

– (i) Ŝ est un morphisme de A(G, B)-paires de A(G, E) dans A(G, F) et on a ∥Ŝ∥_{L(A(G,E),A(G,F))} ≤ ∥g ↦ ∥S_{g}∥_{K(E,F)}∥_{A_{N} (G)}.

– (ii) Ŝ est compact et on a même un résultat plus précis : pour tout ϵ > 0 il existe n ∈ ℕ, et pour i = 1, …, n, des éléments y_{i} ∈ C_{c}(G, F^{>})et ξ_{i} ∈ C_{c}(G, E^{<}) tels que, si on pose pour tout g ∈ G

S_{0,g} = ∫_{G} ∑_{i=1}^{n} |y_{i}(g_{1})⟩⟨g(ξ_{i}(g_{1}^{−1}g))|dg_{1},  (1.2)

alors S_{0} = (S_{0,g})_{g∈G} appartient à C_{c}(G, K(E, F)) et d’une part, si on considère y_{i} et ξ_{i} comme des éléments de A(G, F)^{>} et A(G, E)^{<}, on a Ŝ_{0} = ∑_{i=1}^{n} |y_{i}⟩⟨ξ_{i}| et d’autre part

∥g ↦ ∥S_{g} − S_{0,g}∥_{K(E,F)}∥_{A_{N} (G)} ≤ ϵ.  (1.3)

Démonstration. Pour comprendre (1.1) on peut écrire intuitivement Ŝ^{>} = ∫_{G} S_{g}^{>}e_{g}dg et Ŝ^{<} = ∫_{G} S_{g}^{<}e_{g}dg et penser que Ŝ^{<} devrait agir à droite sur η. Montrons par exemple que Ŝ est un morphisme de A(G, B)-paires. Pour x ∈ C_{c}(G, E^{>}), η ∈ C_{c}(G, F^{<}) et g ∈ G, on a

⟨η, Ŝ^{>}(x)⟩(g) = ∫_{G} g_{1}(⟨η(g_{1}), Ŝ^{>}(x)(g_{1}^{−1}g)⟩)dg_{1}
= ∫_{G×G} g_{1}(⟨η(g_{1}), S_{g_{2}}^{>}(g_{2}(x(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g)))⟩)dg_{1}dg_{2}

et

⟨Ŝ^{<}(η), x⟩(g) = ∫_{G} g_{3}(⟨Ŝ^{<}(η)(g_{3}), x(g_{3}^{−1}g)⟩)dg_{3}
= ∫_{G×G} g_{3}(⟨(g_{1}^{−1}g_{3})^{−1}(S_{g_{1}^{−1}g_{3}}^{<}(η(g_{1}))), x(g_{3}^{−1}g)⟩)dg_{1}dg_{3}
= ∫_{G×G} g_{1}(⟨S_{g_{1}^{−1}g_{3}}^{<}(η(g_{1})), (g_{1}^{−1}g_{3})(x(g_{3}^{−1}g))⟩)dg_{1}dg_{3}

et les deux expressions auxquelles nous avons abouti se trouvent être égales grâce au changement de variables suivant : g_{3} = g_{1}g_{2}. Comme la suite de (i) est claire, vérifions (ii). D’abord on a bien Ŝ_{0} = ∑_{i=1}^{n} |y_{i}⟩⟨ξ_{i}|. En effet on calcule par exemple, pour x ∈ C_{c}(G, E^{>}),

∑_{i=1}^{n} (y_{i}⟨ξ_{i}, x⟩)(g) = ∑_{i=1}^{n} ∫_{G} y_{i}(g_{1})g_{1}(⟨ξ_{i}, x⟩(g_{1}^{−1}g))dg_{1}

= ∑_{i=1}^{n} ∫_{G×G} y_{i}(g_{1})(g_{1}g_{2})(⟨ξ_{i}(g_{2})|x((g_{1}g_{2})^{−1}g)⟩)dg_{1}dg_{2}

= ∫_{G} S_{0,g′}^{>}(g′(x(g′^{−1}g)))dg′ en posant g′ = g_{1}g_{2},

d’où ∑_{i=1}^{n} y_{i}⟨ξ_{i}, x⟩ = Ŝ_{0}^{>}(x) et un calcul analogue montre que ∑_{i=1}^{n} (⟨η, y_{i}⟩ξ_{i}) = Ŝ_{0}^{<}(η) pour tout η ∈ C_{c}(G, F^{<}).

Enfin vérifions que, pour tout ϵ > 0, il existe n ∈ ℕ, et des éléments y_{i}, ξ_{i} pour i ∈ {1, …, n}, tels que si on définit S_{0} par (1.2), alors (1.3) ait lieu. Il est clair que pour tout compact K de G, il existe une constante C telle que pour toute fonction f ∈ C_{c}(G) à support dans K, on ait ∥f∥_{A_{N} (G)} ≤ C sup_{K} |f|. Par définition de K(E, F) et à l’aide d’une partition de l’unité sur G on voit qu’il suffit de démontrer l’assertion pour S de la forme S_{g} = f(g)|y⟩⟨ξ|, avec y ∈ F^{>}, ξ ∈ E^{<} et f ∈ C_{c}(G). Pour tout voisinage W de 1 dans G il existe une fonction χ ∈ C_{c}(G) positive d’intégrale 1 et à support dans W. On pose alors n = 1, y_{1}(g) = χ(g)y et ξ_{1}(g) = f(g)g^{−1}(ξ) et (1.3) a lieu si W est assez petit.

La fonctorialité en A est évidente. Vérifions la fonctorialité en B et introduisons C et θ comme dans l’énoncé et un (G, N)-(A, B)-bimodule de Banach E. On a un morphisme τ de A(G, C)-modules de Banach à droite et de norme inférieure ou égale à 1, de

A(G, θ)_{∗}(A(G, E)^{>}) = A(G, E)^{>} ⊗A(G,B)^{}A(G, C)^{}

vers

A(G, θ_{∗}(E))^{>} = A(G, E^{>} ⊗B̃ C̃).

Soit A_{θ}(G, E)^{>} le cône associé à ce morphisme, c’est-à-dire le A(G, C)[0, 1]- module de Banach à droite égal à

{(h, x) ∈ A(G, θ_{∗}(E))^{>}[0, 1] × A(G, θ)_{∗}(A(G, E)^{>}), h(0) = τ(x)}.

On introduit de même A_{θ}(G, E)^{<}, si bien que A_{θ}(G, E) = (A_{θ}(G, E)^{<}, A_{θ}(G, E)^{>}) est un (A_{N}(G, A), A(G, C)[0, 1])-bimodule de Banach. A l’opérateur T on associe un opérateur évident A_{θ}(G, T) ∈ L(A_{θ}(G, E)) dont l’évaluation en 0 est θ_{∗}(A(G, T)) et dont l’évaluation en 1 est A(G, θ_{∗}(T)). On montre que (A_{θ}(G, E), A_{θ}(G, T)) appartient à E^{ban}(A_{N}(G, A), A(G, C)[0, 1]) en répétant les arguments qui ont servi à prouver l’appartenance de (A(G, E), A(G, T)) à E^{ban}(A_{N}(G, A), A(G, B)) : plus précisément on remplace partout A(G, .) par A_{θ}(G, .) et par exemple on remplace l’élément y_{i} ∈ A(G, F) qui apparaît dans la deuxième assertion du lemme 1.5.5 par (h, x) ∈ A_{θ}(G, F) défini par h(t) = (g ↦ y_{i}(g)⊗1) et x = y_{i} ⊗1. On voit que (A_{θ}(G, E), A_{θ}(G, T)) réalise l’homotopie entre A(G, θ)_{∗}(j_{A}(α)) et j_{A}(θ_{∗}(α)).

1.6 Compatibilité avec la KK-théorie de Kasparov

Dans la suite toutes les C^{∗}-algèbres sont supposées σ-unitales. Lorsque A et B sont deux C^{∗}-algèbres on note A⊗B leur produit tensoriel minimal. Pour tout groupe localement compact G on appelle G-C^{∗}-algèbre une C^{∗}-algèbre munie d’une action continue de G par automorphismes de C^{∗}-algèbres, c’està-dire une G-algèbre au sens de [Kas88].

Soient G un groupe localement compact et A et B deux G-C^{∗}-algèbres. Kasparov définit E_{G}(A, B) comme l’ensemble des x = (E, T) où E est un G- (A, B)-bimodule ℤ/2ℤ-gradué au sens de [Kas88] et T un morphisme impair de B-modules hilbertiens tel que pour tout a ∈ A, [a, T], a(1−T^{2}), a(T −T^{∗}) soient compacts et g ↦ a(g(T) − T) soit une fonction continue de G dans K(E). D’où ι : E_{G}(A, B) → E_{G}^{ban}(A, B) et en quotientant par homotopie on obtient un homomorphisme ι : KK_{G}(A, B) → KK_{G}^{ban}(A, B).

Proposition 1.6.1 Soient G un groupe localement compact et A et B deux G-C^{∗}-algèbres. Alors l’homomorphisme

ι : KK_{G}(A, B) → KK_{G}^{ban}(A, B).  (1.4)

défini ci-dessus est fonctoriel en A et B et, si G est trivial, pour tout i ∈ {0, 1}et pour tout α ∈ KK(A, B), les applications de K_{i}(A) vers K_{i}(B) fournies par le produit de Kasparov par α d’après [Kas88], et par p(ι(α)) d’après la proposition 1.2.9, sont identiques.

Il est clair que ι est fonctoriel en A. Pour montrer la fonctorialité de ι en B, on se donne une G-C^{∗}-algèbre C, un morphisme G-équivariant de C^{∗}- algèbres θ de B dans C et x = (E, T) ∈ E_{G}(A, B). Ainsi E est G-(A, B)- bimodule au sens de [Kas88] et on lui associe un G-(A, C[0, 1])-bimodule de Banach B_{θ}(E) de la façon suivante. Comme B possède une unité approchée (v_{n})_{n∈ℕ} de norme inférieure ou égale à 1 et comme E est un Bmodule non-dégénéré, la formule u(x ⊗ c) = lim_{n→+∞} x ⊗ θ(v_{n})c définit un morphisme de C-modules de Banach u : θ_{∗}(E^{>}) = E^{>} ⊗π ; B̃ C̃ → E ⊗_{B} C où E ⊗_{B} C désigne le produit tensoriel hilbertien et on a ∥u∥ ≤ 1. On pose alors B_{θ}(E)^{>} = {(h, x), h ∈ (E ⊗_{B} C)[0, 1], x ∈ θ_{∗}(E^{>}), h(0) = u(x)}, muni de la norme ∥(h, x)∥ = max(∥x∥, sup_{t∈[0,1]} ∥h(t)∥) et on définit de manière analogue B_{θ}(E)^{<}, si bien que B_{θ}(E) = (B_{θ}(E)^{<}, B_{θ}(E)^{>}) est un G- (A, C[0, 1])-bimodule de Banach. On construit enfin B_{θ}(T) ∈ L(B_{θ}(E)) en posant B_{θ}(T)^{>}(h, x) = ((T ⊗ 1)(h), θ_{∗}(T)(x)) et avec une formule analogue pour B_{θ}(T)^{<}. Alors (B_{θ}(E), B_{θ}(T)) appartient à E_{G}^{ban}(A, C[0, 1]) et réalise une homotopie entre ι(θ_{∗}(x)) et θ_{∗}(ι(x)) dans E_{G}^{ban}(A, C) : nous utilisons l’inclusion B_{θ}(K(E)) ⊂ K(B_{θ}(E)), où K(E) désigne l’algèbre des opérateurs compacts sur le B-module hilbertien E.

Montrons maintenant que pour α ∈ KK(A, B), α et ι(α) induisent la même application de K_{0}(A) vers K_{0}(B). La démonstration a été beaucoup simplifiée grâce à une suggestion de Georges Skandalis.

D’abord l’application ι : KK(ℂ, B) → KK^{ban}(ℂ, B) est l’identité si l’on identifie KK(ℂ, B) à K_{0}(B) et KK^{ban}(ℂ, B) à K_{0}(B). En effet que, pour toute C^{∗}-algèbre B, l’isomorphisme ζ_{C^{∗}} : K_{0}(B) → KK(ℂ, B) est construit de la même manière que nous avons construit ζ : K_{0}(B) → KK^{ban}(ℂ, B), juste avant d’énoncer le théorème 1.2.8. Plus précisément soit x ∈ K_{0}(B). Comme tout idempotent d’une C^{∗}-algèbre est conjugué à un idempotent autoadjoint, il existe p, n ∈ ℕ et q ∈ L_{p,n}(B) autoadjoint représentant x.

Posons q_{0} = q, q_{1} = (\begin{matrix}1_{p} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), notons i_{0} l’injection de q_{0}B^{p+n} dans B^{p+n} et

π_{0} la projection et introduisons de même i_{1}, π_{1}. Ce sont des morphismes de B-modules hilbertiens, π_{0} est l’adjoint de i_{0} et π_{1} est l’adjoint de i_{1}. Donc

(q_{0}B^{p+n} ⇄_{π_{0}i_{1}}^{π_{1}i_{0}} q_{1}B^{p+n}) appartient à E(ℂ, B) et ζ_{C^{∗}}(x) est défini comme la classe

de cet élément dans KK(ℂ, B).

Par conséquent p(ι(α)) : KK(A, B) → Hom(K_{0}(A), K_{0}(B)) est fonctorielle en les C^{∗}-algèbres A et B et coïncide avec ζ_{C^{∗}}^{−1} si A = ℂ. Or ces conditions déterminent p ∘ ι de manière unique d’après les arguments de la fin de la preuve de la proposition 1.2.9 et en vertu de la surjectivité de l’application KK(Ã, B) → KK(A, B). Donc p ∘ ι est égal au produit de Kasparov, puisque celui-ci vérifie les mêmes conditions.

Lemme 1.6.2 Soient G un groupe localement compact et A, B, D des G-C^{∗}-algèbres. On a des morphismes d’algèbres de Banach évidents θ_{1} : A ⊗^{π} D → A ⊗ D et θ_{2} : B ⊗^{π} D → B ⊗ D. Pour tout α ∈ KK_{G}(A, B) on a θ_{1}^{∗}(ι(σ_{D}(α))) = θ_{2,∗}(σ_{D}^{ban}(ι(α))) dans KK_{G}^{ban}(A ⊗^{π} D, B ⊗ D).

On le montre à l’aide de cônes.

Proposition 1.6.3 Soient G un groupe localement compact, A(G) une bonne complétion de C_{c}(G) telle que ∥f∥_{A(G)} = ∥f^{∗}∥_{A(G)} et ∥f∥_{C_{r}^{∗}(G)} ≤ ∥f∥_{A(G)} pour tout f ∈ C_{c}(G).

Pour toute G-C^{∗}-algèbre A, pour tout f ∈ C_{c}(G, A), on a ∥f∥_{C_{r}^{∗}(G,A)} ≤ ∥f∥_{A(G,A)}, d’où un morphisme i_{A} : A(G, A) → C_{r}^{∗}(G, A) prolongeant Id_{C_{c}(G,A)}.

Soient A et B des G-C^{∗}-algèbres et α ∈ KK_{G}(A, B). Alors j_{r}(α) ∈ KK(C_{r}^{∗}(G, A), C_{r}^{∗}(G, B)) construit dans [Kas88] et j_{A}(ι(α))∈ KK^{ban}(A(G, A), A(G, B)) ont même image dans KK^{ban}(A(G, A), C_{r}^{∗}(G, B)) par i_{A}^{∗} et i_{B,∗}.

Démonstration. Les ingrédients de la preuve consistent en quatre lemmes. Dans ces lemmes, G est un groupe localement compact et A(G) une bonne complétion de C_{c}(G) telle que pour tout f ∈ C_{c}(G) on ait ∥f^{∗}∥_{A(G)} = ∥f∥_{A(G)} et ∥f∥_{C_{r}^{∗}(G)} ≤ ∥f∥_{A(G)}.

Lemme 1.6.4 Soit A une G-C^{∗}-algèbre. Alors pour tout f ∈ C_{c}(G, A), on a ∥f∥_{C_{r}^{∗}(G,A)} ≤ ∥f∥_{A(G,A)}.

Notons L^{2}(G, A) le A-module hilbertien défini dans [Kas88] et H^{2}(G, A) la

complétion de C_{c}(G, A) pour la norme ∥x∥_{H^{2}(G,A)} = ( ∫_{G} ∥x(g)∥_{A}^{2}dg)^{\frac{1}{2}} . Pour tout x ∈ C_{c}(G, A) on a ∥x∥_{L^{2}(G,A)} ≤ ∥x∥_{H^{2}(G,A)}. Soient f, x ∈ C_{c}(G, A). Nous devons montrer ∥fx∥_{L^{2}(G,A)} ≤ ∥f∥_{A(G,A)}∥x∥_{L^{2}(G,A)}. Or

∥fx∥_{L^{2}(G,A)}^{2} = ∥⟨x, f^{∗}fx⟩_{L^{2}(G,A)}∥_{A} ≤ ∥x∥_{L^{2}(G,A)}∥(f^{∗}f)x∥_{L^{2}(G,A)}.

D’où, par récurrence, pour tout n ∈ ℕ^{∗},

∥fx∥_{L^{2}(G,A)}^{2^{n}} ≤ ∥x∥_{L^{2}(G,A)}^{2^{n}−1}∥(f^{∗}f)^{2^{n−1}}x∥_{L^{2}(G,A)}.

Mais

∥(f^{∗}f)^{2^{n−1}}x∥_{L^{2}(G,A)} ≤ ∥(f^{∗}f)^{2^{n−1}}x∥_{H^{2}(G,A)} ≤ ∥(f^{∗}f)^{2^{n−1}}∥_{A(G,A)}∥x∥_{H^{2}(G,A)} ≤ ∥f∥_{A(G,A)}^{2^{n}}∥x∥_{H^{2}(G,A)}.

En faisant tendre n vers l’infini on obtient l’inégalité souhaitée.

Lemme 1.6.5 Soient B une G-C^{∗}-algèbre et E un G-B-module hilbertien. On rappelle que C_{r}^{∗}(G, E) est un C_{r}^{∗}(G, B)-module hilbertien construit comme complétion de C_{c}(G, E) dans [Kas88]. On a, pour tout f ∈ C_{c}(G, E), ∥f∥_{C_{r}^{∗}(G,E)} ≤ ∥f∥_{A(G,E)^{>}}.

On applique le lemme précédent à la G-C^{∗}-algèbre A = (\begin{matrix}B & E \\ Ē & K(E) \end{matrix}).

Maintenant on a besoin de l’analogue de l’assertion (i) du lemme 1.5.5 avec C_{r}^{∗}(G, E) au lieu de A(G, E).

Lemme 1.6.6 Soient B une G-C^{∗}-algèbre et E et F deux G-B-modules hilbertiens. Soit S = (S_{g})_{g∈G} ∈ C_{c}(G, K(E, F)). Posons, pour tout x ∈ C_{r}^{∗}(G, E) et pour tout g ∈ G,

Ŝ(x)(g) = ∫_{G} S_{g_{1}}(g_{1}(x(g_{1}^{−1}g)))dg_{1}.

Alors Ŝ est un morphisme de C_{r}^{∗}(G, B)-modules hilbertiens de C_{r}^{∗}(G, E) dans C_{r}^{∗}(G, F) et

∥Ŝ∥_{L(C_{r}^{∗}(G,E),C_{r}^{∗}(G,F))} ≤ ∥g ↦ ∥S_{g}∥_{K(E,F)}∥_{L^{1}(G)}.

La dernière assertion est contenue dans la preuve du théorème 3.11 de [Kas88]. On peut adapter la partie (ii) du lemme 1.5.5.

Lemme 1.6.7 Sous les hypothèses du lemme 1.5.5, la partie (ii) reste valable en remplaçant (1.3) par

∥g ↦ ∥S_{g} − S_{0,g}∥_{K(E,F)}∥_{A(G)} + ∥g ↦ ∥S_{g} − S_{0,g}∥_{K(E,F)}∥_{L^{1}(G)} ≤ ϵ.

On réalise l’homotopie entre les images dans KK^{ban}(A(G, A), C_{r}^{∗}(G, B)) de j_{r}(α) et de j_{A}(ι(α)) grâce à la construction suivante : si E est un G-B-module hilbertien, d’après le lemme 1.6.5 on a un morphisme de C_{r}^{∗}(G, B)- modules de Banach à droite u : i_{B,∗}(A(G, E)^{>}) → C_{r}^{∗}(G, E) et on pose B(G, E)^{>} = {(h, x) ∈ C_{r}^{∗}(G, E)[0, 1]×i_{∗}(A(G, E)^{>}), h(0) = u(x)} muni de la norme ∥(h, x)∥ = max(sup_{t∈[0,1]} ∥h(t)∥, ∥x∥). On définit de même B(G, E)^{<} et B(G, E) = (B(G, E)^{<}, B(G, E)^{>}) est un (A(G, A), C_{r}^{∗}(G, B)[0, 1])-bimodule de Banach. Si maintenant α ∈ KK_{G}(A, B) est représenté par (E, T) avec E un G-(A, B)-bimodule, (B(G, E), B(G, T)) appartient à E^{ban}(A(G, A), C_{r}^{∗}(G, B)[0, 1]) et réalise une homotopie entre les images dans E^{ban}(A(G, A), C_{r}^{∗}(G, B)) de j_{r}(E, T) et j_{A}(ι(E, T). Nous précisons que B(G, T) est défini à partir de T comme A(G, T) juste avant la proposition 1.5.4 et comme T̃ dans le paragraphe 3.11 de [Kas88], c’est-à-dire que B(G, T)^{>} est donné par la formule B(G, T)^{>}(h, x) = ((t, g) ↦ T^{>}(h(t)(g)), g ↦ T^{>}(x(g))) et B(G, T)^{<} est défini de manière analogue.

Proposition 1.6.8 Soient G un groupe localement compact, N une norme sur G et A(G) et B(G) deux bonnes complétions de C_{c}(G) telles que ∥f∥_{A(G)} ≤ ∥f∥_{B(G)} pour tout f ∈ C_{c}(G).

Pour toute G-algèbre de Banach A on a ∥f∥_{A(G,A)} ≤ ∥f∥_{B(G,A)} pour tout f ∈ C_{c}(G, A), donc Id_{C_{c}(G,A)} s’étend en un morphisme i : B(G, A) → A(G, A).

Soient A et B deux G-algèbres de Banach et α ∈ KK_{G,N}^{ban}(A, B). Alors j_{A}(α) ∈ KK^{ban}(A_{N}(G, A), A(G, B)) et j_{B}(α) ∈ KK^{ban}(B_{N}(G, A), B(G, B)) ont même image dans KK^{ban}(B_{N}(G, A), A(G, B)).

Cela se démontre à l’aide de cônes comme la proposition précédente.

Proposition 1.6.9 Soient G un groupe localement compact, A(G) une bonne complétion de C_{c}(G), A, B, C des G-C^{∗}-algèbres et α ∈ KK_{G}(A, B), β ∈ KK_{G}(B, C), et α ⊗_{B} β ∈ KK_{G}(A, C) le produit de Kasparov. Alors on a

p(j_{A}(α ⊗_{B} β)) = p(j_{A}(β)) ∘ p(j_{A}(α)) dans Hom(K_{∗}(A(G, A)), K_{∗}(A(G, C)).

La preuve ci-dessous est due à Georges Skandalis. Elle évite un argument long et pénible utilisant les éléments M et N de Kasparov.

Commençons par un lemme.

Lemme 1.6.10 Soient G un groupe localement compact, A et B deux G-C^{∗}- algèbres et α ∈ KK_{G}(A, B). Il existe une G-C^{∗}-algèbre A_{1}, des morphismes G-équivariants θ : A_{1} → A, η : A_{1} → B, et un élément α_{1} ∈ KK_{G}(A, A_{1}) tel que θ_{1}^{∗}(α_{1}) = Id_{A_{1}} dans KK_{G}(A_{1}, A_{1}), θ_{1,∗}(α_{1}) = Id_{A} dans KK_{G}(A, A), et θ_{1}^{∗}(α) = [η] dans KK_{G}(A_{1}, A_{2}).

En d’autres termes tout élément de KK-théorie est le produit d’un vrai morphisme et d’un élément de KK-théorie qui est l’inverse d’un vrai morphisme. Démonstration du lemme 1.6.10. La démonstration de ce lemme m’a été entièrement expliquée par Georges Skandalis. Nous indiquons comment construire l’algèbre A_{1}. D’abord α fournit un élément de KK_{G}^{1}(SA, B). Soit (E, T) un représentant de cet élément. On construit à partir de T un opérateur G-équivariant T̂ tel que (E ⊗ L^{2}(G), T̂) appartienne à E(SA ⊗ K(L^{2}(G)), B), G agissant sur L^{2}(G) par translation à gauche, et représente un élément Morita équivalent à α. D’où une suite exacte G-invariante 0 → K(E ⊗ L^{2}(G)) →^{j} D → SA ⊗ K(L^{2}(G)) → 0 admettant un relèvement complètement positif de norme 1. D’après le corollaire 4.2 de [Tho98], j admet une unité approchée G-invariante et d’après le lemme 3.3 de [Tho98], on en déduit un morphisme asymptotique G-équivariant et complètement positif ψ : S^{2}A ⊗ K(L^{2}(G)) → K(E ⊗ L^{2}(G)). On compose ce morphisme asymptotique avec l’inclusion évidente K(E ⊗ L^{2}(G)) ⊂ K(E ⊗ L^{2}(G) ⊕ B). On a aussi une inclusion évidente de B dans K(E ⊗ L^{2}(G) ⊕ B). D’autre part on a un morphisme asymptotique complètement positif et G-équivariant de S^{2}A ⊗ K(L^{2}(G)) vers A ⊗ K(l^{2}(ℕ)) ⊗ K(L^{2}(G)) associé à la C^{∗}-algèbre de Toeplitz et on compose ce morphisme avec l’inclusion de A⊗K(l^{2}(ℕ)⊗L^{2}(G)) dans A ⊗ K(l^{2}(ℕ) ⊗ L^{2}(G) ⊕ ℂ). Enfin on a une inclusion évidente de A dans A ⊗ K(l^{2}(ℕ) ⊗ L^{2}(G) ⊕ ℂ). On en déduit un champ continu de C^{∗}-algèbres sur [0, 2], dont la fibre en 0 est A, sur ]0, 1[ est A ⊗ K(l^{2}(ℕ) ⊗ L^{2}(G) ⊕ ℂ), en 1 est S^{2}A ⊗ K(L^{2}(G)), sur ]1, 2[ est K(E ⊗ L^{2}(G) ⊕ B) et en 2 est B. Pour tout sous-intervalle I de [0, 2] on note J_{I} l’algèbre des sections continues de ce champ sur l’intervalle I, s’annulant au bord lorsque l’intervalle I est ouvert. On a A = J_{{0}}, B = J_{{2}}, et on pose A_{1} = J_{[0,2]} et on prend pour θ et η les évaluations en 0 et 2. La suite exacte 0 → J_{]1,2]} → J_{]0,2]} → J_{]0,1]} → 0 admet un relèvement G-équivariant complètement positif de norme 1, car J_{[1,2]} → J_{{1}} → 0 en admet un, puisque ψ est un morphisme asymptotique complètement positif et G-équivariant. Comme J_{]1,2]} est KK_{G}-nul, il résulte du théorème 7.2 de [BS89] que J_{]0,2]} → J_{]0,1]} est KK_{G}-inversible. Enfin J_{]0,1]} est Morita équivalent au produit tensoriel de A par une algèbre de Toeplitz, et est donc KK_{G}-nul et par suite J_{]0,2]} est KK_{G}-nul. Enfin la suite exacte 0 → J_{]0,2]} → A_{1} → A → 0 admet un relèvement G-équivariant complètement positif de norme 1 et d’après le théorème 7.2 de [BS89], A_{1} → A est KK_{G}-inversible.

Nous démontrons maintenant la proposition après avoir appliqué le lemme à G, A, B, α et en gardant les notations du lemme. Comme θ_{1}^{∗}(α_{1}) = Id_{A_{1}} on a p(j_{A}(α_{1})) ∘ j_{A}(θ_{1})_{∗} = Id_{K_{∗}(A(G,A_{1}))} et comme θ_{1,∗}(α_{1}) = Id_{A}, on a j_{A}(θ_{1})_{∗} ∘ p(j_{A}(α_{1})) = Id_{K_{∗}(A(G,A))}. Nous avons utilisé la fonctorialité de p et de j_{A}. Donc j_{A}(θ_{1})_{∗} : K_{∗}(A(G, A_{1})) → K_{∗}(A(G, A)) est inversible. On a θ_{1}^{∗}(α ⊗_{B} β) = η^{∗}(β) dans KK_{G}(A_{1}, C). D’où p(j_{A}(α ⊗_{B} β)) ∘ j_{A}(θ_{1})_{∗} = p(j_{A}(β)) ∘ j_{A}(η)_{∗} de K_{∗}(A(G, A_{1})) dans K_{∗}(A(G, C)). Il en résulte que

p(j_{A}(α ⊗_{B} β)) = p(j_{A}(β)) ∘ j_{A}(η)_{∗} ∘ j_{A}(θ_{1})_{∗}^{−1}.

Le même argument (avec C = B et β = Id) montre que p(j_{A}(α)) = j_{A}(η)_{∗} ∘ j_{A}(θ_{1})_{∗}^{−1}. Ainsi la proposition est démontrée.

1.7 Application à la conjecture de Baum-Connes

Proposition 1.7.1 Soient G un groupe localement compact, A(G) une bonne complétion de C_{c}(G), A et B deux G-algèbres de Banach et α, β ∈ KK_{G}^{ban}(A, B). S’il existe une suite (N_{i})_{i∈ℕ^{∗}} de normes sur G qui converge uniformément vers 1 sur tout compact de G et telle que, pour tout i ∈ ℕ^{∗}, ι(α) = ι(β) dans KK_{G,N_{i}}^{ban}(A, B), alors

p(j_{A}(α)) = p(j_{A}(β)) dans Hom(K_{∗}(A(G, A)), K_{∗}(A(G, B))).

Démonstration. Soit l ∈ {0, 1}. Par hypothèse p(j_{A}(α)) et p(j_{A}(β)) coïncident sur l’image de K_{l}(A_{N_{i}}(G, A)) dans K_{l}(A(G, A)). Or K_{l}(A(G, A)) est la réunion des images des K_{l}(A_{N_{i}}(G, A)) puisque, pour tout f ∈ C_{c}(G, A), on a lim_{i↦+∞} ∥f∥_{A_{N_{i}}(G,A)} = ∥f∥_{A(G,A)} et grâce au lemme suivant.

En fait nous énonçons un lemme un peu plus général que cela ne serait nécessaire.

Lemme 1.7.2 Soient A une algèbre de Banach, C une sous-algèbre dense et (A_{i})_{i∈ℕ^{∗}} une suite de complétions de C pour des normes telles que l’on ait ∥x∥_{A} ≤ ∥x∥_{A_{i}} pour tout i ∈ ℕ^{∗} et pour tout x ∈ C et que pour tout n ∈ ℕ^{∗} et tout x ∈ M_{n}(C), la suite (ρ_{M_{n}(A_{i})}(x))_{i∈ℕ^{∗}} tende vers ρ_{M_{n}(A)}(x), en notant ρ le rayon spectral. On note τ_{i} : A_{i} → A l’unique morphisme d’algèbres de Banach prolongeant Id_{C}. Alors K_{∗}(A) est la réunion des τ_{i,∗}(K_{∗}(A_{i})).

Démonstration. D’abord K_{0}(A) est la réunion des τ_{i,∗}(K_{0}(A_{i})). En effet soient n ∈ ℕ_{∗}, r ∈ {0, ..., n} et p un idempotent de M_{n}(Ã) de la forme

p = I_{r} + x où I_{r} = (\begin{matrix}1_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) et x ∈ M_{n}(A). Pour tout ϵ > 0 on peut

trouver y ∈ M_{n}(C) tel que ∥θ(y) − x∥_{M_{n}(A)} ≤ ϵ. Si ϵ est assez petit on a ∥(I_{r} + θ(y))^{2} − (I_{r} + θ(y))∥_{M_{n}(A)} < \frac{1}{4}, et donc il existe i ∈ ℕ^{∗} tel que ρ_{M_{n}(A_{i})}((I_{r} + y)^{2} − (I_{r} + y)) < \frac{1}{4}. Par suite le spectre de I_{r} + y dans M_{n}(Ã_{i}) est inclus dans la réunion de deux disques disjoints de centres 0 et 1, et on fabrique un projecteur à partir de I_{r} + y par calcul fonctionnel holomorphe.

Montrons maintenant que K_{1}(A) est la réunion des τ_{i,∗}(K_{1}(A_{i})). Soient n ∈ ℕ^{∗} et x ∈ M_{n}(A) tel que 1 + x soit inversible dans M_{n}(A)^{}. Choisissons y, z ∈ M_{n}(C) tels que θ(y) et θ(z) soient suffisamment proches de x et de (1 + x)^{−1} − 1 dans M_{n}(A) pour que ∥(1 + θ(y))(1 + θ(z)) − 1∥_{M_{n}(A)} < 1 et ∥(1 + θ(z))(1 + θ(y)) − 1∥_{M_{n}(A)} < 1. Il existe i ∈ ℕ^{∗} tel que l’on ait ρ_{M_{n}(A_{i})}((1 + y)(1 + z) − 1) < 1 et ρ_{M_{n}(A_{i})}((1 + z)(1 + y) − 1) < 1. Par suite 1 + y est inversible à droite et à gauche dans M_{n}(A_{i})^{}.

La proposition suivante constitue l’approche naïve vers la conjecture de Baum-Connes.

Proposition 1.7.3 Soient G un groupe localement compact, A(G) une bonne complétion de C_{c}(G) telle que A(G) soit une sous-algèbre involutive et stable par calcul fonctionnel holomorphe de C_{r}^{∗}(G) et α ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ). S’il existe une suite (N_{i})_{i∈ℕ^{∗}} de normes sur G qui converge uniformément vers 1 sur tout compact de G et telle que, pour tout i, ι(α) = 1 dans KK_{G,N_{i}}^{ban}(ℂ, ℂ) alors j_{r}(α) ∈ KK(C_{r}^{∗}(G), C_{r}^{∗}(G)) induit l’identité sur K_{∗}(C_{r}^{∗}(G)).

Démonstration. Cela résulte des propositions 1.7.1, 1.6.1 et 1.6.3, ainsi que la fonctorialité de p dans la proposition 1.2.9, et du fait que, A(G) étant une sous-algèbre de Banach dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe dans C_{r}^{∗}(G), l’inclusion de A(G) dans C_{r}^{∗}(G) induit un isomorphisme K_{∗}(A(G)) → K_{∗}(C_{r}^{∗}(G)) d’après le théorème A.2.1 de [Bos90].

Il serait regrettable d’en rester là car la KK-théorie banachique nous permet de généraliser la conjecture de Baum-Connes.

Dans toute la suite G est un groupe localement compact, A(G) une bonne complétion de C_{c}(G) et B une G-C^{∗}-algèbre. On note \underline{E}G le classifiant de G pour les actions propres. Nous allons construire une application de Baum-Connes μ_{A}^{B} : K_{∗}^{top}(G, B) → K_{∗}(A(G, B)) et étudier ses propriétés. On rappelle que K_{∗}^{top}(G, B) = lim_{⟶} KK_{G}^{∗}(C_{0}(Y), B), Y décrivant les parties G-compactes de \underline{E}G. Ce groupe a été défini dans [BCH94] avec une notation différente.

Soit Y une partie G-compacte de \underline{E}G. D’après [Tu96](Appendice A) il existe c ∈ C_{c}(Y, ℝ_{+}) tel que ∫_{G} c(g^{−1}y)dg = 1 pour tout y ∈ Y. La fonction (gy ←^{g} y) ↦ \sqrt{c(y)}\sqrt{c(gy)} est un projecteur de C_{c}(G, C_{0}(Y)) et on note λ_{Y,G,A} l’élément de K_{0}(A(G, C_{0}(Y))) qu’il détermine. D’où une suite d’homomorphismes

KK_{G}(C_{0}(Y), B) →^{ι} KK_{G}^{ban}(C_{0}(Y), B) →^{j_{A}} KK^{ban}(A(G, C_{0}(Y)), A(G, B))

→^{p(.)(λ_{Y,G,A})} K_{0}(A(G, B)).

Comme A(G, C_{0}(ℝ, B)) est une sous-algèbre dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe de C_{0}(ℝ, A(G, B)), on a aussi la suite d’homorphismes

KK_{G}^{1}(C_{0}(Y), B) = KK_{G}(C_{0}(Y), C_{0}(ℝ, B)) → K_{0}(A(G, C_{0}(ℝ, B))) = K_{1}(A(G, B)).

En passant à la limite inductive on définit ainsi μ_{A}^{B} : K_{∗}^{top}(G, B) → K_{∗}(A(G, B)).

Proposition 1.7.4 Soient C une autre G-C^{∗}-algèbre et α ∈ KK_{G}(B, C), induisant α_{∗}^{top} : K_{∗}^{top}(G, B) → K_{∗}^{top}(G, C). Alors p(j_{A}(α)) ∘ μ_{A}^{B} = μ_{A}^{C} ∘ α_{∗}^{top} de K_{∗}^{top}(G, B) dans K_{∗}(A(G, C)).

On applique la proposition 1.6.9 aux G-C^{∗}-algèbres C_{0}(Y), B et C et à α ∈ KK_{G}(B, C) et à un élément arbitraire de KK_{G}(C_{0}(Y), B).

Proposition 1.7.5 Soit B(G) une autre bonne complétion de C_{c}(G) telle que ∥f∥_{A(G)} ≤ ∥f∥_{B(G)} pour tout f ∈ C_{c}(G). Notons i : B(G, B) → A(G, B) le morphisme introduit dans la proposition 1.6.8. Alors on a μ_{A}^{B} = i_{∗} ∘ μ_{B}^{B}.

Cela résulte de la proposition 1.6.8 et de la fonctorialité de p.

Proposition 1.7.6 Supposons que l’on ait ∥f∥_{A(G)} = ∥f^{∗}∥_{A(G)} et ∥f∥_{C_{r}^{∗}(G)} ≤ ∥f∥_{A(G)} pour toute fonction f ∈ C_{c}(G). Notons i : A(G, B) → C_{r}^{∗}(G, B) l’unique morphisme prolongeant Id_{C_{c}(G,B)}. Alors on a μ_{r}^{B} = i_{∗} ∘ μ_{A}^{B}, où μ_{r}^{B} est l’application de Baum-Connes usuelle.

Cela est une conséquence de la proposition 1.6.3 et de la fonctorialité de p.

Nous rappelons que B est dite propre si B est une C_{0}(Z)-G-C^{∗}-algèbre au sens de [Kas88], 1.5, avec Z un G-espace propre.

Proposition 1.7.7 Si B est propre, et si μ_{r}^{B} est un isomorphisme (resp. une surjection), pour toute bonne complétion A(G), μ_{A}^{B} est un isomorphisme (resp. une surjection).

Notons B(G) = A(G) ∩ A(G)^{∗} ∩ L^{1}(G), en notant A(G)^{∗} l’image de A(G) par la convolution, de sorte que l’on possède deux morphismes naturels de B(G, B) vers A(G, B) et C_{r}^{∗}(G, B). La proposition découle du lemme suivant et des propositions 1.7.5 et 1.7.6.

Lemme 1.7.8 Dans les notations ci-dessus les morphismes de B(G, B) dans A(G, B) et dans C_{r}^{∗}(G, B) induisent des isomorphismes en K-théorie.

En effet B est un champ continu de C^{∗}-algèbres sur Z: B = (B_{z})_{z∈Z}. Il existe une fonction continue c : Z →]0, 1] telle que

sup_{z∈Z} ∫_{G} c(gz)^{2}dg ≤ 1, ∥g ↦ sup_{z∈Z} c(z)c(gz)∥_{B(G)} ≤ 1

et sup_{z∈Z} ∫_{G^{2}} |f(g_{1})|c(g_{2}z)c(g_{1}g_{2}z)dg_{1}dg_{2} ≤ ∥f∥_{A(G)} pour tout f ∈ A(G).

Notons D la complétion de C_{c}(G, B) pour la norme

∥f∥ = sup_{g∈G,z∈Z} (c(z)c(gz))^{−1}∥f(g, z)∥_{B_{z}}.

D’après les inégalités ci-dessus, on a

∥f_{1}f_{2}∥_{D} ≤ ∥f_{1}∥_{D}∥f_{2}∥_{D}, ∥f∥_{B(G,B)} ≤ ∥f∥_{D},

∥f_{1}f_{2}f_{3}∥_{D} ≤ ∥f_{1}∥_{D}∥f_{2}∥_{A(G,B)}∥f_{3}∥_{D} et ∥f_{1}f_{2}f_{3}∥_{D} ≤ ∥f_{1}∥_{D}∥f_{2}∥_{C_{r}^{∗}(G,B)}∥f_{3}∥_{D}

pour tous f, f_{1}, f_{2}, f_{3} ∈ C. Ceci implique que les morphismes de D dans B(G, B), A(G, B) et C_{r}^{∗}(G, B) sont denses et pleins et donc induisent des isomorphismes en K-théorie, d’après le théorème A.2.1 et la preuve de la proposition A.2.8 de l’appendice de [Bos90].

Nous commençons par un rappel sur l’injectivité de l’application de Baum-Connes usuelle. La proposition suivante découle du théorème 5.26 de [Tu96] (avec μ_{r} au lieu de μ et à coefficients dans une G-C^{∗}-algèbre) et de la proposition 5.7 de [KS] (voir aussi [GHT97]).

Proposition 1.7.9 Soit G un groupe localement compact. On suppose que G est discret ou que pour toute partie G-compacte Y de \underline{E}G il existe une G-C^{∗}-algèbre propre A, et η ∈ KK_{G}(ℂ, A) et d ∈ KK_{G}(A, ℂ) tels que γ = η ⊗_{A} d ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) vérifie q^{∗}(γ) = 1 dans KK_{G⋉Y} (C_{0}(Y), C_{0}(Y)) où q est la projection de Y vers le point. Alors pour toute G-C^{∗}-algèbre propre B, μ_{r}^{B} est une bijection.

Nous rappelons aussi un résultat de surjectivité prouvé dans [KS] (voir la preuve de la proposition 5.7 dans [KS]).

Proposition 1.7.10 Soit G un groupe localement compact. Pour toute G-C^{∗}-algèbre propre B μ_{r}^{B} est une surjection.

Dans les deux propositions suivantes nous étudions l’injectivité de μ_{A} lorsque A(G) est une bonne complétion de G et G est comme dans [Tu96] ou dans [KS]. Ces deux propositions n’offrent guère d’intérêt car elles découlent du théorème 5.26 de [Tu96] (avec μ_{r} au lieu de μ) et de la proposition 5.10 de [KS] et de la proposition 1.7.6, dès que A(G) est une sous-algèbre involutive de C_{r}^{∗}(G).

Proposition 1.7.11 Supposons que pour toute partie G-compacte Y de \underline{E}G il existe une G-C^{∗}-algèbre propre A, et η ∈ KK_{G}(ℂ, A) et d ∈ KK_{G}(A, ℂ) tels que γ = η ⊗_{A} d ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) vérifie q^{∗}(γ) = 1 dans KK_{G⋉Y} (C_{0}(Y), C_{0}(Y)) où q est la projection de Y vers le point. Alors pour toute bonne complétion A(G) et pour toute G-C^{∗}-algèbre B, μ_{A}^{B} est une injection.

En effet soit x ∈ K_{∗}^{top}(G, B) tel que μ_{A}^{B}(x) = 0. Montrons que pour tout γ ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) tel qu’il existe une G-C^{∗}-algèbre propre A, et η ∈ KK_{G}(ℂ, A) et d ∈ KK_{G}(A, ℂ) avec γ = η ⊗_{A} d, on a σ_{B}(γ)_{∗}(x) = 0 dans K_{∗}^{top}(G, B). En effet on a μ_{A}^{B⊗A}(σ_{B}(η)_{∗}(x)) = p(j_{A}(ι(σ_{B}(η)))(μ_{A}^{B}(x)) = 0 d’après la proposition 1.7.4. Or μ_{A}^{B⊗A} : K_{∗}^{top}(G, B ⊗ A) → K_{∗}(A(G, B ⊗ A)) est un isomorphisme : cela résulte de la proposition 1.7.7 parce que B⊗A est propre et que, d’après le résultat de [Tu96], rappelé dans la proposition 1.7.9, vu les hypothèses du théorème, μ_{r}^{B⊗A} est un isomorphisme. Donc σ_{B}(η)_{∗}(x) = 0. Mais σ_{B}(γ) = σ_{B}(η)⊗_{B⊗A}σ_{B}(d), d’où σ_{B}(γ)_{∗}(x) = 0. Ainsi, d’après les hypothèses du théorème, pour toute partie G-compacte Y de \underline{E}G il existe γ ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) tel que σ_{B}(γ)_{∗}(x) = 0 et q^{∗}(γ) = 1 dans KK_{G⋉Y} (C_{0}(Y), C_{0}(Y)). Mais cette dernière égalité implique que le produit de Kasparov à droite par σ_{B}(γ), de KK_{G}(C_{0}(Y), B) vers KK_{G}(C_{0}(Y), B), qui est aussi égal au produit de Kasparov à gauche par σ_{C_{0}(Y)}(γ), est l’identité. Par suite x = 0.

Proposition 1.7.12 Soit G un groupe discret. Supposons que pour toute partie G-compacte Y de \underline{E}G il existe une G-C^{∗}-algèbre A, un idéal G-invariant J de A qui est KK_{G}-contractile et tel que A/J soit propre, et η ∈ KK_{G}(ℂ, A) et d ∈ KK_{G}(A, ℂ) tels que γ = η ⊗_{A} d ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) vérifie q^{∗}(γ) = 1 dans KK_{G⋉Y} (C_{0}(Y), C_{0}(Y)) où q est la projection de Y vers le point. Alors pour toute bonne complétion A(G) et pour toute G-C^{∗}-algèbre B, μ_{A}^{B} est une injection.

En effet on a une suite exacte d’algèbres de Banach 0 → A(G, J ⊗_{max} B) → A(G, A ⊗_{max} B) → A(G, A/J ⊗_{max} B) → 0 qui donne lieu à une suite exacte longue en K-théorie. Or J ⊗_{max}B est KK_{G}-contractile, donc K_{∗}(A(G, J ⊗_{max} B)) = 0. Grâce aux propositions 1.7.8 et 1.7.9, μ_{A}^{A/J⊗_{max}B} est une bijection. D’après la preuve du lemme 5.8 de [KS], K_{∗}^{top}(G, A) → K_{∗}^{top}(G, A/J) est un isomorphisme et donc μ_{A}^{A⊗_{max}B} est une bijection. On conclut alors comme dans la proposition précédente.

Notre résultat principal est contenu dans les deux théorèmes suivants qui correspondent aux situations envisagées dans [Tu96] et [KS].

Théorème 1.7.13 Supposons qu’il existe une G-C^{∗}-algèbre propre A, et η ∈ KK_{G}(ℂ, A) et d ∈ KK_{G}(A, ℂ) tels que γ = η ⊗_{A} d ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) vérifie la condition suivante : il existe une suite (N_{i})_{i∈ℕ^{∗}} de normes sur G qui converge uniformément vers 1 sur tout compact de G et telle que, pour tout i ∈ ℕ^{∗}, ι(γ) = 1 dans KK_{G,N_{i}}^{ban}(ℂ, ℂ). Alors pour toute bonne complétion A(G) et pour toute G-C^{∗}-algèbre B, μ_{A}^{B} est une surjection.

D’après le lemme 1.6.2, j_{A}(ι(σ_{B}(γ))) = j_{A}(σ_{B}^{ban}(ι(γ))) et d’après la proposition 1.7.1, p(j_{A}(σ_{B}^{ban}(ι(γ)))) = Id_{K_{∗}(A(G,B))}, car σ_{B}^{ban}(ι(γ)) = 1 dans KK_{G,N_{i}}^{ban}(B, B) pour tout i ∈ ℕ^{∗}. Comme σ_{B}(γ) = σ_{B}(η) ⊗_{A} σ_{B}(d) et d’après la proposition 1.6.9, p(j_{A}(ι(σ_{B}(d)))) : K_{0}(A(G, A ⊗ B)) → K_{0}(A(G, B)) est surjective et le théorème résulte alors de la proposition 1.7.4 appliqué à σ_{B}(d) et du fait que, comme A ⊗ B est une G-C^{∗}-algèbre propre, μ_{r}^{A⊗B} est surjective (voir la proposition 1.7.10), et donc μ_{A}^{A⊗B} aussi, en vertu de la proposition 1.7.7.

Théorème 1.7.14 Supposons que G est discret et qu’il existe une G-C^{∗}- algèbre A, un idéal G-invariant J de D qui est KK_{G}-contractile et tel que A/J soit propre, et η ∈ KK_{G}(ℂ, A) et d ∈ KK_{G}(A, ℂ) tels que γ = η ⊗_{A} d ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) vérifie la propriété suivante : il existe une suite (N_{i})_{i∈ℕ^{∗}} de normes sur G qui converge uniformément vers 1 sur tout compact de G et telle que, pour tout i ∈ ℕ^{∗}, ι(γ) = 1 dans KK_{G,N_{i}}^{ban}(ℂ, ℂ). Alors pour toute bonne complétion A(G) et pour toute G-C^{∗}-algèbre B, μ_{A}^{B} est une surjection.

En effet par la proposition 1.7.10, μ_{A}^{A/J⊗_{max}B} est surjective. D’après la preuve du lemme 5.8 de [KS], K_{∗}^{top}(G, A) → K_{∗}^{top}(G, A/J) est un isomorphisme et J ⊗_{max} B est KK_{G}-contractile, donc K_{∗}(A(G, J ⊗_{max} B)) = 0. Il résulte de suite exacte longue en K-théorie associée à la suite exacte d’algèbres de Banach 0 → A(G, J ⊗_{max} B) → A(G, A ⊗_{max} B) → A(G, A/J ⊗_{max} B) → 0 que μ_{A}^{A⊗_{max}B} est une surjection. Le reste de la preuve est identique à la preuve du théorème précédent.

54

Homotopie entre γ et 1 pour les groupes agissant sur des espaces boliques

Dans [KS], Kasparov et Skandalis construisent, pour tout groupe localement compact G agissant continûment, proprement et par isométries sur un espace métrique (X, d) localement fini, faiblement géodésique, faiblement bolique et de géométrie grossière bornée, et pour tout k ∈ ℝ_{+} assez grand, un élément γ_{k} ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ), de sorte que les conditions énumérées dans le corollaire 5.11 de [KS] soient satisfaites. Lorsque G est discret ils montrent ainsi la conjecture de Novikov pour G.

Nous montrons que si G et (X, d) sont comme ci-dessus, et si de plus (X, d) est uniformément localement fini (ce qui est plus fort que d’être localement fini et de géométrie grossière bornée) et si la première condition de bolicité, notée (B1) dans [KS], est vraie pour tout δ ∈ ℝ_{+}^{∗}, alors il existe une suite (N_{i})_{i∈ℕ^{∗}} de normes sur G convergeant uniformément vers 1 sur tout compact de G et telle que, pour tout i ∈ ℕ^{∗} et pour tout k, γ_{k} et 1 aient même image dans KK_{G,N_{i}}^{ban}(ℂ, ℂ).

L’homotopie que nous réalisons généralise celle de [JV84] mais nous devons sortir du cadre hilbertien car certains des groupes que nous considérons possèdent la propriété (T). Il y a aussi un lien avec l’homotopie qui apparaît dans [JV86].

2.1 Rappels de la construction de Kasparov et Skandalis

Les définitions qui suivent proviennent de [KS] et de [KS94]. Dans toute la suite on se donne un espace métrique (X, d). Lorsque x ∈ X et r ∈ ℝ_{+}, on note B(x, r) = {y ∈ X, d(x, y) < r} et B̄(x, r) = {y ∈ X, d(x, y) ≤ r}.

Définition 2.1.1 On dit que (X, d) est uniformément localement fini si pour tout r ∈ ℝ_{+} il existe K ∈ ℕ tel que pour tout x ∈ X, B̄(x, r) contienne au plus K points.

Définition 2.1.2 Soit δ ∈ ℝ_{+}^{∗}. On dit que (X, d) est faiblement δ-géodésique si quels que soient x, y ∈ X et t ∈ [0, d(x, y)], il existe a ∈ X tel que d(a, x) ≤ t + δ et d(a, y) ≤ d(x, y) − t + δ.

Si x, y ∈ X et δ ∈ ℝ_{+}^{∗} on appelle δ-milieu de x et y un point a ∈ X tel que d(a, x) ≤ \frac{1}{2}d(x, y) + δ et d(a, y) ≤ \frac{1}{2}d(x, y) + δ.

Définition 2.1.3 Soit δ ∈ ℝ_{+}^{∗}. On dit que (X, d) est faiblement δ-bolique si les conditions suivantes sont réalisées :

– (B1) pour tout r > 0 il existe R > 0 tel que pour tout quadruplet x, y, z, t de points de X vérifiant d(x, y) + d(z, t) ≤ r et d(x, z) + d(y, t) ≥ R, on ait d(x, t) + d(y, z) ≤ d(x, z) + d(y, t) + 2δ,

– (B2’) il existe une application m : X ×X → X telle que pour x, y ∈ X, m(x, y) soit un δ-milieu de x et y, que pour x, y, z ∈ X, d(m(x, y), z) ≤ max(d(x, z), d(y, z)) + 2δ, et que pour tout p ∈ ℝ_{+} il existe N(p) ∈ ℝ_{+} tel que pour tout N ∈ ℝ_{+} avec N ≥ N(p), pour x, y, z ∈ X vérifiant d(x, z) ≤ N, d(y, z) ≤ N, et d(x, y) > N on ait d(m(x, y), z) < N − p.

Nous fixons maintenant δ ∈ ℝ_{+}^{∗}, et nous supposons (X, d) faiblement δgéodésique, faiblement δ-bolique et uniformément localement fini (on peut remplacer cette dernière condition par localement fini et de géométrie grossière bornée d’après [KS]). Soit G un groupe localement compact agissant continûment, proprement et par isométries sur X. Dans [KS], pour tout k ∈ [δ, +∞[, Kasparov et Skandalis construisent γ_{k} ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) de la manière que nous allons rappeler, à ceci près que nous remplaçons k par tk, où t ∈ [1, +∞[, dans certains lemmes.

Pour tout N ∈ ℝ_{+}^{∗} on note Δ^{N} l’ensemble des parties de X dont le diamètre est inférieur ou égal à N et pour S ∈ Δ^{N}, on pose U_{S} = ∩_{y∈S}B̄(y, N) = {z ∈ X, {z} ∪ S ∈ Δ^{N}}. Contrairement à [KS], nous avons inclus la partie vide dans Δ^{N} car cela sera plus commode dans les paragraphes suivants.

Fixons t ∈ [1, +∞[, et posons N_{t} = max(8tk + 22δ, N(4tk + 10δ)) ∈ ℝ_{+}^{∗} où N(4tk +10δ) est la notation de la condition (B2′). Ainsi la condition (C2) de [KS] est réalisée avec 4tk au lieu de 4k.

Pour simplifier, dans ce paragraphe nous notons N au lieu de N_{t} et Δ au lieu de Δ^{N_{t}}.

Nous réécrivons les lemmes 6.2 et 6.3 de [KS] en remplaçant k par tk.

Lemme 2.1.4 (LEMME 6.2 de [KS]) Soient x ∈ X et S ∈ Δ. Le diamètre de {z ∈ U_{S}, d(x, z) ≤ d(x, U_{S}) + (4tk + 6δ)} est inférieur ou égal à N.

Lemme 2.1.5 (LEMME 6.3 de [KS]) Soient x ∈ X et S, T ∈ Δ. Supposons que tout point a dans la différence symétrique de S et T vérifie d(x, a) ≤ d(x, U_{S}) + (4tk + 6δ). Alors d(x, U_{T}) = d(x, U_{S}) et pour tout b dans la différence symétrique de U_{S} et U_{T}, d(x, b) ≥ d(x, U_{S}) + (4tk + 6δ).

Pour R ∈ ℝ_{+}^{∗}, Kasparov et Skandalis définissent I(R) comme l’ensemble des r ∈ ℝ_{+} tels que pour tout quadruplet x, y, a, b de points de X vérifiant d(x, a)+d(y, b) ≥ 2R−r, d(x, y) ≤ r et d(a, b) ≤ 2N, on ait d(y, a)+d(x, b) ≤ d(x, a)+d(y, b)+2k. Pour tout R ∈ ℝ_{+}^{∗}, I(R) est un intervalle de ℝ_{+} contenant 0. Grâce à (B1) et comme k ≥ δ, on a lim_{R↦+∞} sup(I(R)) = +∞.

Enfin pour x ∈ X et S ∈ Δ, Kasparov et Skandalis définissent A_{S,x} = {a ∈ U_{S}, d(x, a) ≤ d(x, U_{S}) + 2δ} et pour r ∈ ℝ_{+}, Y_{S,x,r} = ∪_{y∈B̄(x,r)}A_{S,y}.

Lemme 2.1.6 (partie du LEMME 6.6 de [KS]) Soit r ∈ I(d(x, U_{S})). Alors

– a) pour tout a ∈ Y_{S,x,r} on a d(x, a) ≤ d(x, U_{S}) + (2k + 2δ),

– b) le diamètre de Y_{S,x,r} est inférieur ou égal à N.

La proposition suivante est la proposition 6.7 de [KS] sauf l’assertion b) qui est en fait une étape pour c) et qui a été ajoutée pour nos besoins.

Proposition 2.1.7 (variante de la PROPOSITION 6.7 de [KS]) Soient x ∈ X, S ∈ Δ et r ∈ I(d(x, U_{S})). Alors

– a) (S ∪ Y_{S,x,r}) appartient à Δ,

– b) si T ∈ Δ est tel que pour tout a dans la différence symétrique de S et T on ait d(x, a) ≤ d(x, U_{S}) + ((4t − 2)k + 6δ) alors pour tout y ∈ B̄(x, r), A_{S,y} = A_{T,y} et on a Y_{S,x,r} = Y_{T,x,r},

– c) si T ∈ Δ est tel que S − Y_{S,x,r} ⊂ T ⊂ S ∪ Y_{S,x,r}, alors pour tout y ∈ B̄(x, r), A_{S,y} = A_{T,y} et on a Y_{S,x,r} = Y_{T,x,r}.

La preuve de b) est décalquée des preuves de 6.6.c) et 6.7.b) dans [KS]. Soient y ∈ B̄(x, r) et a′′ ∈ U_{S} tel que d(y, a′′) = d(y, U_{S}). Par hypothèse, pour tout a dans la différence symétrique de S et T on a d(x, a) ≤ d(x, U_{S}) + ((4t − 2)k + 6δ) ≤ d(x, a′′) + ((4t − 2)k + 6δ). Comme r ∈ I(d(x, U_{S})) et y ∈ B̄(x, r), on a d(y, a) + d(x, a′′) ≤ d(y, a′′) + d(x, a) + 2k, d’où d(y, a) ≤ d(y, a′′) + (4tk + 6δ) et on applique le lemme 2.1.5 à y, S et T, pour conclure que A_{S,y} = A_{t,y}.

La proposition suivante résulte de la proposition 6.9 de [KS], à un détail près que nous justifions ensuite.

Proposition 2.1.8 (variante du a) de la PROPOSITION 6.9 de [KS]) Pour tout x ∈ X et tout S ∈ Δ il existe une mesure ψ_{S,x} positive de masse 1 sur X de sorte que les propriétés suivantes soient vraies : ψ_{S,x} dépend de (S, x) de façon G-équivariante, ψ_{S,x} ne dépend pas de (S, x) mais seulement de x, de d(x, U_{S}), de {z ∈ U_{S}, d(x, z) ≤ d(x, U_{S})+(2k+4δ)} et des A_{S,y} pour y ∈ X tel que d(x, y) ∈ I(d(x, U_{S})), de plus ψ_{S,x} est à support dans ⋃_{r∈I(d(x,U_{S}))} Y_{S,x,r−k} et pour x, y ∈ X, la fonction ∥ψ_{S,x} − ψ_{S,y}∥_{1} tend vers 0 en dehors des parties finies de Δ.

En effet pour x ∈ X et S, T ∈ Δ, si d(x, U_{S}) = d(x, U_{T}), {z ∈ U_{S}, d(x, z) ≤ d(x, U_{S})+(2k+4δ)} = {z ∈ U_{T} , d(x, z) ≤ d(x, U_{T})+(2k+4δ)} et A_{S,y} = A_{T,y} pour tout y ∈ X tel que d(x, y) ∈ I(d(x, U_{S})), alors, dans les notations de la preuve de la proposition 6.9 de [KS] on a f_{S,x,t} = f_{T,x,t} pour tout t ≤ r_{S,x} et μ_{U_{S}} et μ_{U_{T}} coïncident sur {z ∈ X, d(x, z) ≤ d(x, U_{S}) + (2k + 2δ)} d’après le lemme 6.8 de [KS] et cet ensemble contient le support des f_{S,x,t} pour t ≤ r_{S,x}, d’après le lemme 6.6.a) de [KS]. Les autres assertions figurent explicitement dans la proposition 6.9 de [KS].

Le corollaire suivant est une variante du b) de la proposition 6.9 de [KS]. Il découle de la proposition précédente, du lemme 2.1.5 et du b) de la proposition 2.1.7.

Corollaire 2.1.9 (variante du b) de la PROPOSITION 6.9 de [KS]) Pour x ∈ X et S, T ∈ Δ on a ψ_{S,x} = ψ_{T,x} lorsque la différence symétrique de S et T est contenue dans {a ∈ X, d(x, a) ≤ d(x, U_{S}) + ((4t − 2)k + 6δ)}, et donc en particulier lorsque la différence symétrique de S et T est incluse dans le support de ψ_{S,x}.

Rappelons maintenant la construction de γ_{k} ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ). Nous avons seulement besoin de F_{x} pour x ∈ X et non de tous les opérateurs F_{λ} de [KS]. Fixons x ∈ X. On note (e_{y})_{y∈X} la base canonique de l^{2}(X) et H le sousespace de Hilbert de Λ(l^{2}(X)) engendré par les e_{x_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{x_{n}} où {x_{1}, …, x_{n}} parcourt Δ − ∅. Pour tout S ∈ Δ − ∅ notons e_{S} = ±e_{x_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{x_{n}} si S = {x_{1}, …, x_{n}}, le choix du signe n’ayant aucune incidence dans la suite.

Notons e_{∅} l’état du vide dans Λ(l^{2}(X)) et ψ_{∅,x} = ψ_{{x},x}. Pour x ∈ X et S ∈ Δ notons ϕ_{S,x} = \sqrt{ψ_{S,x}}, si bien que ∥ϕ_{S,x}∥_{l^{2}} = 1.

Notons R la relation d’équivalence suivante sur Δ (introduite dans [KS]): SRT si la différence symétrique de S et T est incluse dans le support de ψ_{S,x}, ce qui implique ψ_{S,x} = ψ_{T,x} . Notons cl(R) l’ensemble des classes d’équivalence pour R et notons R_{0} la classe qui contient ∅. Pour tout R ∈ cl(R) notons ϕ_{R} la valeur commune des ϕ_{S,x} pour S ∈ R, et H_{R} = ⨁_{S∈R} ℂe_{S} ⊂ H ⊕ ℂe_{∅}, si bien que H = (⨁_{R∈cl(R),R≠R_{0}} H_{R}) ⊕ (H_{R_{0}} ∩ H). Kasparov et Skandalis définissent alors F_{x} : H → H par F_{x}|_{H_{R}}= c(ϕ_{R}) pour R ≠ R_{0} et F_{x}|_{H_{R_{0}}}= P c(ϕ_{R_{0}}) où P désigne le projecteur orthogonal de H ⊕ ℂe_{∅} sur H.

Proposition 2.1.10 (partie de la PROPOSITION 6.10 de [KS])

– a) Pour tout x ∈ X, F_{x}^{∗} = F_{x} et 1 − F_{x}^{2} est la projection orthogonale sur ℂϕ_{∅,x}.

– b) Pour x, y ∈ X, F_{x} − F_{y} appartient à K(H).

On rappelle que Kasparov et Skandalis graduent H par ∂(e_{x_{1}} ∧⋯∧e_{x_{n}}) = n−1 [2] si bien que pour tout x ∈ X, F_{x} est impair. Ainsi (H, F_{x}) appartient à E_{G}(ℂ, ℂ). Comme toute la construction ci-dessus dépend de k ∈ [δ, +∞[ et de t ∈ [1, +∞[ et que k est fixé pour toujours mais t variable nous noterons parfois (H^{t}, F_{x}^{t}) au lieu de (H, F_{x}). La classe γ_{k} ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) définie par (H^{1}, F_{x}^{1}) est indépendante de x.

2.2 Enoncé du résultat

Définition 2.2.1 On dit qu’un espace métrique (X, d) satisfait à la condition (B1) forte s’il vérifie la condition (B1) pour tout δ ∈ ℝ_{+}^{∗}.

Soient δ ∈ ℝ_{+}^{∗}, (X, d) un espace métrique uniformément localement fini, faiblement δ-géodésique et faiblement δ-bolique et vérifiant la condition (B1) forte et G un groupe localement compact agissant continûment, proprement et par isométries sur X. Dans toute la suite nous fixons x ∈ X. Pour tout g ∈ G notons l(g) = d(x, gx) ∈ ℝ_{+}. On a l(1) = 0, l(g) = l(g^{−1}) et l(g_{1}g_{2}) ≤ l(g_{1}) + l(g_{2}) pour g, g_{1}, g_{2} ∈ G. Pour tout s ∈ ℝ_{+} définissons la norme N_{s} : G → [1, +∞[ par N_{s}(g) = exp(sl(g)). Nous remarquons que la suite de normes (N_{\frac{1}{i}})_{i∈ℕ^{∗}} converge uniformément vers 1 sur tout compact de G.

Théorème 2.2.2 Pour tout k ∈ [δ, +∞[, pour tout s ∈ ℝ_{+}^{∗}, γ_{k} ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) et 1 ont même image dans KK_{G,N_{s}}^{ban}(ℂ, ℂ).

La démonstration occupe toute le paragraphe suivant.

2.3 Construction de l’homotopie

Dans toute ce paragraphe (X, d) et G sont comme dans le paragraphe précédent et nous fixons une fois pour toutes k ∈ [δ, +∞[, s ∈ ℝ_{+}^{∗} et x ∈ X. Sous ces hypothèses nous montrons que γ_{k} ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) et 1 ont même image dans KK_{G,N_{s}}^{ban}(ℂ, ℂ).

2.3.1 Principales notations et dépliage de γ_{k}

a) Notations dépendant de N ∈ ℝ_{+}^{∗}. Soit N ∈ ℝ_{+}^{∗}. Comme dans le paragraphe 2.1 on note Δ^{N} l’ensemble des parties de X de diamètre inférieur ou égal à N. Comme (X, d) est uniformément localement fini, sup_{S∈Δ^{N}} #(S) est fini et on note p_{max}^{N} = sup_{S∈Δ^{N}} #(S). Pour tout p ∈ {0, …, p_{max}^{N}} on note Δ_{p}^{N} = {S ∈ Δ^{N}, #(S) = p}.

Notons ℂ^{(X)} le ℂ-espace vectoriel formé des fonctions à support fini de X dans ℂ, dont la base canonique est notée (e_{y})_{y∈X}. Pour tout p ∈ {1, …, p_{max}^{N}} notons L_{p}^{N} le sous-espace vectoriel de Λ(ℂ^{(X)}) engendré par les e_{S} quand S parcourt Δ_{p}^{N} (on rappelle que e_{S} = ∓e_{x_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{x_{p}} quand S = {x_{1}, …, x_{p}}). Notons également L_{0}^{N} = ℂe_{∅}. Notons ℂ^{X} l’espace des fonctions de X dans ℂ, qui est le dual algébrique de ℂ^{(X)}. Pour tout p ∈ {0, …, p_{max}^{N} − 1} notons ∂_{p} : L_{p+1}^{N} → L_{p}^{N} la contraction à gauche par (…, 1, 1, …) ∈ ℂ^{X}. En d’autres

termes ∂_{0} : L_{1}^{N} → L_{0}^{N} est défini par ∂_{0}(∑_{y∈X} a_{y}e_{y}) = ∑_{y∈X} a_{y} et (L_{1}^{N} ←^{∂_{1}}

L_{2}^{N} … ←^{∂_{p{N \atop max}−1}} L_{p_{max}^{N}}^{N}) est le complexe d’homologie simpliciale. Enfin on note

L^{N} = ⨁_{p=0}^{p_{max}^{N}} L_{p}^{N} et ∂ l’opérateur de degré −1 de L^{N} dans lui-même associé aux ∂_{p}.

b) Notations dépendant de t ∈ [1, +∞[. Soit t ∈ [1, +∞[. On rappelle que N_{t} a été introduit au paragraphe 2.1. Les notations U_{S}, R, ϕ_{S,x}, ψ_{S,x} du paragraphe 2.1 dépendent de t sans que t apparaisse explicitement. Pour simplifier nous écrivons L_{p}^{t},L^{t} au lieu de L_{p}^{N_{t}},L^{N_{t}} et p_{max}^{t} au lieu de p_{max}^{N_{t}}.

Pour p ∈ {1, …, p_{max}^{t} − 1} définissons h_{p}^{t} : L_{p}^{t} → L_{p+1}^{t} par h_{p}^{t}(e_{S}) = ψ_{S,x} ∧ e_{S} et définissons h_{0}^{t} : L_{0}^{t} → L_{1}^{t} par h_{0}^{t}(e_{∅}) = ψ_{∅,x}. Comme h_{p}^{t}(e_{S}) ∈ ⨁_{T RS} ℂe_{T} et ψ_{T,x} = ψ_{S,x} si T RS il est immédiat que h_{p+1}^{t}h_{p}^{t} = 0 pour tout p ∈ {0, …, p_{max}^{t} − 2}. De même que pour ∂ on note h^{t} l’opérateur de degré 1 de L^{t} dans lui-même associé aux h_{p}^{t}.

c) Notations pour t = 1 et dépliage de γ_{k}. Lorsque t = 1 on pose N = N_{1} et on omet systématiquement t et N dans les notations ci-dessus : Δ = Δ^{N}, p_{max} = p_{max}^{1}, Δ_{p} = Δ_{p}^{N} pour p ∈ {0, …, p_{max}}, h_{p} = h_{p}^{1} et h = h^{1}.

De plus on introduit les notations supplémentaires suivantes. Pour tout p ∈ {1, …, p_{max}} on note H_{p} le sous-espace de Hilbert de H engendré par les e_{S} quand S parcourt Δ_{p}, de sorte que H = ⨁_{p=1}^{p_{max}} H_{p} gradué par p − 1 modulo 2. Pour p ∈ {1, …, p_{max} − 1} on note f_{p} : H_{p} → H_{p+1} et g_{p} : H_{p+1} → H_{p} les opérateurs définis par f_{p}(e_{S}) = ϕ_{S,x} ∧ e_{S} et g_{p}(e_{S}) = ϕ_{S,x}⌟e_{S}. A l’espace de Hilbert H_{p} on associe la ℂ-paire (\overline{H_{p}}, H_{p}) notée H_{p} par abus. Il est

clair que (H_{1} ⇄_{g_{1}}^{f_{1}} H_{2} … H_{p_{max}}) appartient à E_{G}^{ban,com}(ℂ, ℂ) et que le complexe

replié associé à ce complexe est égal à l’image de (H, F_{x}) ∈ E_{G}(ℂ, ℂ) dans E_{G}^{ban}(ℂ, ℂ). Donc la classe de ce complexe est l’image de γ_{k} dans KK_{G}^{ban}(ℂ, ℂ).

d) Définitions des normes. Soient t ∈ [1, +∞[ et w ∈ ℝ_{+}^{∗}. Pour S ∈ Δ^{N_{t}} on pose d_{moy}(x, S) = \frac{1}{#(S)} ∑_{a∈S} d(x, a) si S ≠ ∅ et d_{moy}(x, ∅) = 0. Pour tout p ∈ {0, …, p_{max}^{t}} on note E_{p,w}^{t,>} le complété de L_{p}^{t} pour la norme

∥ ∑_{S∈Δ_{p}^{N_{t}}} x(S)e_{S}∥_{E_{p,w}^{t,>}} = ∑_{S∈Δ_{p}^{N_{t}}} |x(S)| exp(wd_{moy}(x, S))

et E_{p,w}^{t,<} le complété de L_{p}^{t} pour la norme

∥ ∑_{S∈Δ_{p}^{N_{t}}} ξ(S)e_{S}∥_{E_{p,w}^{t,<}} = sup_{S∈Δ_{p}^{N_{t}}} |ξ(S)| exp(−wd_{moy}(x, S)).

Munie du crochet évident défini par

⟨ξ, x⟩ = ∑_{S∈Δ_{p}^{N_{t}}} ξ(S)x(S),

(E_{p,w}^{t,<}, E_{p,w}^{t,>}) est une (G, N_{w})-ℂ-paire, notée E_{p,w}^{t}. On note aussi E_{w}^{t} = ⨁_{p=0}^{p_{max}^{t}} E_{p,w}^{t}. Lorsque t = 1 on omet t dans toutes ces notations. Toute la construction échouerait si on avait choisi des normes de type l^{2} au lieu de l^{1} et l^{∞}.

2.3.2 Préliminaires

a) Un lemme général. Le lemme suivant nous permet de construire des morphismes de ℂ-paires entre les E_{p,w}^{t}.

Lemme 2.3.1 Soient t ∈ [1, +∞[, w ∈ ℝ_{+}^{∗} et T : L^{t} → L^{t} une application linéaire telle qu’il existe r ∈ ℝ_{+} avec, pour tout S ∈ Δ^{N_{t}},

T (e_{S}) ∈ ⨁_{T tel que d_{moy}(x,T)≤d_{moy}(x,S)+r} ℂe_{T} .

Si sup_{S∈Δ^{N_{t}}} ∥T (e_{S})∥_{l^{1}} ≤ +∞, (^{t}T, T) définit un élément de L(E_{w}^{t}), noté T par abus. Si de plus ∥T (e_{S})∥_{l^{1}} tend vers 0 quand S sort des parties finies de Δ^{N_{t}}, T appartient à K(E_{w}^{t}).

La démonstration est immmédiate, et il résulte du lemme que, pour w ∈ ℝ_{+}^{∗} et t ∈ [1, +∞[, h^{t} et ∂ sont des morphismes de ℂ-paires de E_{w}^{t} dans lui-même et que g ↦ g(h^{t})−h^{t} est une application continue de G dans K(E_{w}^{t}). En effet par la proposition 2.1.8 on a ψ_{gS,x} = g(ψ_{S,g^{−1}x}) et, pour tout compact K de G, sup_{g∈K} ∥ψ_{S,g^{−1}x} − ψ_{S,x}∥_{1} tend vers 0 en dehors des parties finies de Δ^{N_{t}}.

b) Deux résultats techniques. Les deux propositions suivantes sont démontrées en appendice. On suppose désormais t = 1 partout, sauf dans l’appendice et on rappelle que E_{w} = E_{w}^{1}.

Proposition 2.3.2 Pour tout w ∈ ℝ_{+}^{∗}, le rayon spectral de (Id − ∂h − h∂) dans L(E_{w}) est inférieur ou égal à (2p_{max} + 2) exp(−w\frac{4δ}{p_{max}} ).

Proposition 2.3.3 Il existe un morphisme de ℂ-paires J : E_{s} → E_{s} de degré 1 tel que

– g ↦ g(J) − J est une application continue de G dans K(E_{s}),

– on a Id_{E_{s}} = ∂J + J∂ et J^{2}=0,

– il existe r ∈ ℝ_{+} tel que pour tout S ∈ Δ, on ait

J(e_{S}) ∈ ⨁_{T tel que d_{moy}(x,T)≤d_{moy}(x,S)+r} ℂe_{T} .

2.3.3 Description de l’homotopie

Dans toute ce paragraphe t = 1.

a) Représentation de 1 dans E_{G,N_{s}}^{ban}(ℂ, ℂ). La proposition 2.3.3 implique le corollaire suivant, grâce à la proposition 1.4.3.

Corollaire 2.3.4 Le complexe (E_{1,s} ⇄_{∂_{1}}^{J_{1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s}) appartient à E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ)

et le complexe replié associé est homotope à 1 dans E_{G,N_{s}}^{ban}(ℂ, ℂ). b) Conjugaison par d_{moy}. Nous avons supposé que (X, d) vérifiait la condition (B1) forte. Il en résulte que le lemme suivant est vrai.

Lemme 2.3.5 Pour tout R ∈ ℝ_{+}^{∗}, pour tout compact K de G,

sup_{g∈K} |(d_{moy}(x, gS) − d_{moy}(x, gT)) − (d_{moy}(x, S) − d_{moy}(x, T))|

tend vers 0 en dehors des parties finies de {(S, T) ∈ Δ×Δ, diam(S∪T) ≤ R}.

Définition 2.3.6 Pour w ∈ ℝ_{+} on définit l’isomorphisme de ℂ-paires θ_{w} : E_{s+w} → E_{s} en posant

θ_{w}^{>}(e_{S}) = exp(wd_{moy}(x, S))e_{S} et θ_{w}^{<}(e_{S}) = exp(wd_{moy}(x, S))e_{S} pour S ∈ Δ.

Lemme 2.3.7 Pour tout w ∈ ℝ_{+} et pour tout T comme dans la première partie du lemme 2.3.1, g ↦ g(θ_{w})T g(θ_{w}^{−1})−θ_{w}T θ_{w}^{−1} est une application continue de G dans K(E_{s}).

Cela résulte des lemmes 2.3.1 et 2.3.5.

Lemme 2.3.8 Pour w ∈ ℝ_{+} assez grand Id − (∂h + h∂) ∈ L(E_{s+w}) est de rayon spectral strictement inférieur à 1.

En effet, par la proposition 2.3.2, Id − (∂h + h∂) ∈ L(E_{s+w}) est de rayon spectral inférieur ou égal à (2p_{max} +2) exp(−(s+w)\frac{4δ}{p_{max}} ), qui est strictement inférieur à 1 lorsque w est assez grand.

Nous fixons désormais w ∈ ℝ_{+} tel que la conclusion du lemme 2.3.8 soit vraie.

On note alors H = h(∂h + h∂)^{−1} = (∂h + h∂)^{−1}h ∈ L(E_{s+w}) : l’égalité a lieu car (∂h + h∂)h = h∂h = h(∂h + h∂) puisque h^{2} = 0. De même, en utilisant ∂^{2} = 0, on vérifie que ∂(∂h + h∂)^{−1} = (∂h + h∂)^{−1}∂.

On a H^{2} = (∂h+h∂)^{−1}hh(∂h+h∂)^{−1} = 0 puisque h^{2} = 0 et ∂H +H∂ = 1 car ∂ et h commutent à (∂h + h∂)^{−1}. Par le lemme 2.3.1 g ↦ g(h) − h est une application continue de G dans K(E_{s+w}) et ∂ est G-équivariant. On en déduit que ↦ g(H) − H est une application continue de G dans K(E_{s+w}).

L’idée d’introduire l’opérateur H, qui joue un rôle essentiel, m’a été suggérée par Georges Skandalis.

Proposition 2.3.9 Le complexe (E_{1,s} ⇄_{θ_{w}∂_{1}(θ_{w})^{−1}}^{θ_{w}H_{1}(θ_{w})^{−1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s}) appartient à

E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ) et le complexe replié associé est homotope à (E_{1,s} ⇄_{∂_{1}}^{J_{1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s})_{R}

dans E_{G,N_{s}}^{ban}(ℂ, ℂ).

La démonstration de la proposition occupe la fin de ce paragraphe. D’après le lemme 2.3.7, et les remarques après le lemme 2.3.8,

g ↦ g(θ_{w}∂(θ_{w})^{−1}) − (θ_{w}∂(θ_{w})^{−1}) et g ↦ g(θ_{w}H(θ_{w})^{−1}) − (θ_{w}H(θ_{w})^{−1})

sont des applications continues de G dans K(E_{s}) et donc

(E_{1,s} ⇄_{θ_{w}∂_{1}(θ_{w})^{−1}}^{θ_{w}H_{1}(θ_{w})^{−1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s})

appartient à E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ).

La dernière condition satisfaite par J dans la proposition 2.3.3 permet de définir J ∈ L(E_{s+v}) possédant les mêmes propriétés que J ∈ L(E_{s}) pour tout v ∈ ℝ_{+}. Le complexe

(E_{1,s}[0, 1] _{⇄ ; (θ_{αw}∂_{1}(θ_{αw})^{−1})_{α∈[0,1]}^{(θ_{αw}J_{1}(θ_{αw})^{−1})_{α∈[0,1]}}} E_{2,s}[0, 1] … E_{p_{max},s}[0, 1])

appartient à E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ[0, 1]) et réalise une homotopie entre

(E_{1,s} ⇄_{∂_{1}}^{J_{1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s}) et (E_{1,s} ⇄_{θ_{w}∂_{1}(θ_{w})^{−1}}^{θ_{w}J_{1}(θ_{w})^{−1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s})

dans E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ). Enfin

(E_{1,s} ⇄_{θ_{w}∂_{1}(θ_{w})^{−1}}^{θ_{w}J_{1}(θ_{w})^{−1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s})_{R} et (E_{1,s} ⇄_{θ_{w}∂_{1}(θ_{w})^{−1}}^{θ_{w}H_{1}(θ_{w})^{−1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s})_{R}

sont homotopes dans E_{G,N_{s}}^{ban}(ℂ, ℂ) d’après le lemme 1.4.2.

c) Fin de l’homotopie. On garde la valeur de w qui a été fixée après le lemme 2.3.8. Le but de ce paragraphe est de démontrer la proposition suivante, qui achève l’homotopie.

Proposition 2.3.10 Les complexes (E_{1,s} ⇄_{θ_{w}∂_{1}(θ_{w})^{−1}}^{θ_{w}H_{1}(θ_{w})^{−1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s})_{R} et (H_{1} ⇄_{g_{1}}^{f_{1}}

H_{2} … H_{p_{max}})_{R} sont homotopes dans E_{G,N_{s}}^{ban}(ℂ, ℂ).

Cette homotopie est réalisée en plusieurs étapes.

Lemme 2.3.11 Soit D = ∂(∂h + h∂)^{−1} = (∂h + h∂)^{−1}∂ ∈ L(E_{s+w}). Le

complexe (E_{1,s} ⇄_{θ_{w}D_{1}(θ_{w})^{−1}}^{θ_{w}h_{1}(θ_{w})^{−1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s}) appartient à E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ) et est

homotope à (E_{1,s} ⇄_{θ_{w}∂_{1}(θ_{w})^{−1}}^{θ_{w}H_{1}(θ_{w})^{−1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s}) dans E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ).

Comme Id − (∂h + h∂) ∈ L(E_{s+w}) est de rayon spectral strictement inférieur à 1, à l’aide de la détermination principale du logarithme on peut définir (∂h + h∂)^{−α} ∈ L(E_{s+w}) pour tout α ∈ [0, 1]. Posons

H^{α} = h(∂h + h∂)^{−α} = (∂h + h∂)^{−α}h ∈ L(E_{s+w})

et

D^{α} = ∂(∂h + h∂)^{−α} = (∂h + h∂)^{−α}∂ ∈ L(E_{s+w}).

Alors le complexe

(E_{1,s}[0, 1] ⇄_{(θ_{w}D_{1}^{1−α}(θ_{w})^{−1})_{α∈[0,1]}}^{(θ_{w}H_{1}^{α}(θ_{w})^{−1})_{α∈[0,1]}} E_{2,s}[0, 1] … E_{p_{max},s}[0, 1])

appartient à E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ[0, 1]) et réalise l’homotopie pour le lemme.

Pour tout p ∈ {0, …, p_{max} − 1}, définissons h′_{p} : L_{p} → L_{p+1} par h′_{p}(e_{S}) = \frac{1}{∥ϕ_{S,x}^{3}∥_{1}} ψ_{S,x} ∧ e_{S} et g′_{p} : L_{p+1} → L_{p} par g′_{p}(e_{S}) = \frac{1}{∥ϕ_{S,x}^{3}∥_{l^{1}}} ϕ_{S,x}⌟e_{S}. Comme (X, d) est uniformément localement fini, (∥ϕ_{S,x}^{3}∥_{l^{1}})^{−1} = (⟨ϕ_{S,x}, ψ_{S,x}⟩)^{−1} est borné indépendamment de S.

Lemme 2.3.12 Le complexe (E_{1,s} ⇄_{g′_{1}}^{h_{1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s}) appartient à E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ)

et le complexe replié associé est homotope à (E_{1,s} ⇄_{θ_{w}D_{1}(θ_{w})^{−1}}^{θ_{w}h_{1}(θ_{w})^{−1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s})_{R}

dans E_{G,N_{s}}^{ban}(ℂ, ℂ).

Cela résulte du lemme 1.4.2 et de l’homotopie fournie par le complexe

(E_{1,s}[0, 1] ⇄_{(θ_{αw}g′_{1}(θ_{αw})^{−1})_{α∈[0,1]}}^{(θ_{αw}h_{1}(θ_{αw})^{−1})_{α∈[0,1]}} E_{2,s}[0, 1] … E_{p_{max},s}[0, 1]) ∈ E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ[0, 1]).

Lemme 2.3.13 Le complexe (E_{1,s} ⇄_{g_{1}}^{h′_{1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s}) appartient à E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ)

et est homotope à (E_{1,s} ⇄_{g′_{1}}^{h_{1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s}) dans E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ).

Pour réaliser l’homotopie, définissons, pour α ∈ [0, 1], h_{p,α} : L_{p} → L_{p+1} et g_{p,α} : L_{p+1} → L_{p} par h_{p,α}(e_{S}) = (∥ϕ_{S,x}^{3}∥_{1})^{−α}ψ_{S,x} ∧ e_{S} et g_{p,α}(e_{S}) = (∥ϕ_{S,x}^{3}∥_{1})^{−α}ϕ_{S,x}⌟e_{S} de sorte h_{p,0} = h_{p}, h_{p,1} = h′_{p}, g_{p,0} = g_{p} et g_{p,1} = g′_{p}.

L’homotopie est réalisée par (E_{1,s}[0, 1] ⇄_{(g_{1,(1−α)})_{α∈[0,1]}}^{(h_{1,α})_{α∈[0,1]}} E_{2,s}[0, 1] … E_{p_{max},s}[0, 1])

qui appartient à E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ[0, 1]).

Lemme 2.3.14 Le complexe (E_{1,s} ⇄_{g_{1}}^{f_{1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s}) appartient à E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ)

et le complexe replié associé est homotope à (E_{1,s} ⇄_{g_{1}}^{h′_{1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s})_{R} dans

E_{G,N_{s}}^{ban}(ℂ, ℂ).

Cela résulte du lemme 1.4.2.

Lemme 2.3.15 Le complexe (E_{1,0} ⇄_{g_{1}}^{f_{1}} E_{2,0} … E_{p_{max},0}) appartient à E_{G}^{ban,com}(ℂ, ℂ)

et son image dans E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ) est homotope à (E_{1,s} ⇄_{g_{1}}^{f_{1}} E_{2,s} … E_{p_{max},s}).

Pour tout p ∈ {1, ..., p_{max}} notons Ē_{p}^{>} la complétion de L_{p} ⊗^{alg} ℂ[0, 1] pour la norme ∥x∥ = sup_{α∈[0,1]} ∥x(α)∥_{E_{p,(1−α)s}^{>}}, définissons de même Ē_{p}^{<} et notons par abus f_{p} ⊗ 1 et g_{p} ⊗ 1 les prolongements continus de f_{p} ⊗ 1 et g_{p} ⊗ 1.

Alors Ē_{p} = (Ē_{p}^{<}, Ē_{p}^{>}) est une (G, N_{s})-ℂ[0, 1]-paire et le complexe (Ē_{1} ⇄_{g_{1}⊗1}^{f_{1}⊗1}

Ē_{2} … Ē_{p_{max}} appartient à E_{G,N_{s}}^{ban,com}(ℂ, ℂ[0, 1]) et réalise l’homotopie pour le lemme.

On note que E_{p,0} = (c_{0}(Δ_{p}), l^{1}(Δ_{p})).

Lemme 2.3.16 Les complexes (E_{1,0} ⇄_{g_{1}}^{f_{1}} E_{2,0} … E_{p_{max},0}) et (H_{1} ⇄_{g_{1}}^{f_{1}} H_{2} … H_{p_{max}})

sont homotopes dans E_{G}^{ban,com}(ℂ, ℂ).

Notons q et q′ deux fonctions continues de [0, 1] dans [1, +∞] telles que q(0) = q′(0) = 2, q(1) = 1, q′(1) = +∞ et q(α)^{−1} + q′(α)^{−1} = 1 pour tout α ∈ [0, 1]. Pour tout p ∈ {1, ..., p_{max}} notons Ē_{p}^{>} la complétion de L_{p} ⊗^{alg} ℂ[0, 1] pour la norme ∥x∥ = sup_{α∈[0,1]} ∥x(α)∥_{l^{q(α)}(Δ_{p})}, et Ē_{p}^{<} la complétion de L_{p} ⊗^{alg} ℂ[0, 1] pour la norme ∥ξ∥ = sup_{α∈[0,1]} ∥ξ(α)∥_{l^{q′(α)}(Δ_{p})},et notons par abus f_{p} ⊗ 1 et g_{p} ⊗ 1 les prolongements continus de f_{p} ⊗ 1 et g_{p} ⊗ 1. Alors

Ē_{p} = (Ē_{p}^{<}, Ē_{p}^{>}) est une G-ℂ[0, 1]-paire et le complexe (Ē_{1} ⇄_{g_{1}⊗1}^{f_{1}⊗1} Ē_{2} … Ē_{p_{max}}

appartient à E_{G}^{ban,com}(ℂ, ℂ[0, 1]) et réalise l’homotopie pour le lemme.

2.4 Appendice technique

2.4.1 Démonstration de la proposition 2.3.2 et d’un

résultat algébrique

Nous allons montrer un résultat plus général que la proposition 2.3.2. Proposition 2.4.1 Soient t ∈ [1, +∞[ et w ∈ ℝ_{+}^{∗}. Pour tout q ∈ {1, …, p_{max}^{t}}, pour tout p ∈ {0, …, q}, (Id − ∂_{p}h_{p}^{t} − h_{p−1}^{t}∂_{p−1}) ∈ L(E_{p,w}^{t}) est de rayon spectral inférieur ou égal à (2q + 2) exp(−w\frac{(4t−4)k+4δ}{q}). Nous fixons t et w comme dans la proposition.

Pour tout q ∈ {1, …, p_{max}^{t}} notons Δ_{(≤q)}^{N_{t}} = ⋃_{p=0}^{q} Δ_{p}^{N_{t}} et pour tout S ∈ Δ_{(≤q)}^{N_{t}} posons

ζ_{q,x}^{t}(S) = \frac{1}{q}(∑_{a∈S} max(d(x, U_{S}), d(x, a) − (2k + 2δ)) + (q − #(S))d(x, U_{S}))

si S ≠ ∅ et ζ_{q,x}^{t}(∅) = 0.

Le lemme suivant est immédiat. Lemme 2.4.2 Soit q ∈ {1, …, p_{max}^{t}}.

– a) Pour tout S ∈ Δ_{(≤q)}^{N_{t}} on a d(x, U_{S}) ≤ ζ_{q,x}^{t}(S) ≤ d(x, U_{S}) + N_{t}.

– b) Pour x, y ∈ X et S ∈ Δ_{(≤q)}^{N_{t}} on a |ζ_{q,x}^{t}(S) − ζ_{q,y}^{t}(S)| ≤ d(x, y) et

ζ_{q,x}^{t}(S) dépend de (x, S) de façon G-équivariante. Lemme 2.4.3 Pour tout q ∈ {1, …, p_{max}^{t}}, pour tout p ∈ {0, …, q}, pour tout S ∈ Δ_{p}^{N_{t}} on a

(Id − ∂_{p}h_{p}^{t} − h_{p−1}^{t}∂_{p−1})e_{S} ∈ ⨁_{T tel que ζ_{q,x}^{t}(T)≤ζ_{q,x}^{t}(S)− \frac{(4t−4)k+4δ}{q}} ℂe_{T} .

La preuve du lemme 2.4.3 repose sur le lemme suivant. Lemme 2.4.4 Soit q ∈ {1, …, p_{max}^{t}}.

– a) Pour S, T ∈ Δ_{(≤q)}^{N_{t}} tels que SRT on a ζ_{q,x}^{t}(S) = ζ_{q,x}^{t}(T)

– b) Pour S, T ∈ Δ_{(≤q)}^{N_{t}} tels que T ⊂ S, #(T) = #(S) − 1, et ψ_{S,x} ≠ ψ_{T,x} on a ζ_{q,x}^{t}(T) ≤ ζ_{q,x}^{t}(S) − \frac{(4t−4)k+4δ}{q}.

L’assertion a) du lemme résulte du a) du lemme 2.1.6 : comme SRT la différence symétrique de S et T est incluse dans le support de ψ_{S,x} donc a fortiori dans ⋃_{r∈I(d(x,U_{S}))} Y_{S,x,r}. Montrons l’assertion b). D’après le corollaire 2.1.9, si ψ_{S,x} ≠ ψ_{T,x} il existe a ∈ S − T tel que d(x, a) > d(x, U_{S}) + (4t − 2)k + 6δ. D’où

\frac{1}{q}( ∑_{a∈T} max (d(x, U_{T}), d(x, a) − (2k + 2δ)) + (q − #(T))d(x, U_{T}))

≤ \frac{1}{q}( ∑_{a∈T} max (d(x, U_{S}), d(x, a) − (2k + 2δ)) + (q − #(T))d(x, U_{S}))

≤ ζ_{q,x}^{t}(S) − \frac{(4t − 4)k + 4δ}{q} .

La preuve du lemme 2.4.4 est achevée.

Démontrons maintenant le lemme 2.4.3. Il résulte de l’assertion b) du lemme 2.4.4 que pour tout p ∈ {1, …, q} et pour tout S ∈ Δ_{p}^{N_{t}} on a

∂_{p−1}(e_{S}) ∈ (  ⨁_{T tel que ψ_{S,x}=ψ_{T,x}} ℂe_{T} ) ⊕ (  ⨁_{T tel que ζ_{q,x}^{t}(T)≤ζ_{q,x}^{t}(S)− \frac{(4t−4)k+4δ}{q}} ℂe_{T} ).

D’où, grâce à l’assertion a) du lemme 2.4.4,

h_{p−1}^{t}(∂_{p−1}(e_{S})) = ψ_{S,x} ∧ (∂_{p−1}(e_{S})) modulo ⨁_{T tel que ζ_{q,x}^{t}(T)≤ζ_{q,x}^{t}(S)− \frac{(4t−4)k+4δ}{q}} ℂe_{T} .

Le lemme 2.4.3 est démontré puisque ⟨(…, 1, 1, …), ψ_{S,x}⟩ = 1.

Or h_{p}^{t} : L_{p}^{t} → L_{p+1}^{t} est de norme inférieure ou égale à 1 et ∂_{p} : L_{p+1}^{t} → L_{p}^{t} est de norme inférieure ou égale à p+1 si on munit les espaces L_{p}^{t} de la norme l^{1}. Par suite, si on met sur E_{p,w}^{t} la norme équivalente obtenue en remplaçant d_{moy}(x, S) par ζ_{q,x}^{t}(S), pour tout p ∈ {0, ..., q}, (Id − ∂_{p}h_{p}^{t} − h_{p−1}^{t}∂_{p−1}) ∈ L(E_{p,w}^{t}) est de norme inférieure ou égale à (2q + 2) exp(−w\frac{(4t−4)k+4δ}{q}). La proposition 2.4.1 est démontrée.

Nous établissons un résultat algébrique qui est intéressant en soi.

Proposition 2.4.5 Soit t ∈ [1, +∞[. L’application linéaire ∂h^{t} +h^{t}∂ : L^{t} → L^{t} est inversible et si on note H^{t} = h^{t}(∂h^{t} + h^{t}∂)^{−1} on a H^{t,2} = 0 et ∂H^{t} + H^{t}∂ = Id_{L^{t}}.

Il résulte du lemme 2.4.3 appliqué à q = p_{max}^{t} que ∂h^{t} + h^{t}∂ : L^{t} → L^{t} est inversible. Comme h^{t,2} = 0 on a h^{t}(∂h^{t} + h^{t}∂) = h^{t}∂h^{t} = (∂h^{t} + h^{t}∂)h^{t} d’où H^{t} = h^{t}(∂h^{t} + h^{t}∂)^{−1} = (∂h^{t} + h^{t}∂)^{−1}h^{t}. Par le même argument, en utilisant que ∂^{2} = 0, on montre que ∂ commute à (∂h^{t} + h^{t}∂)^{−1}. On a H^{t,2} = (∂h^{t} + h^{t}∂)^{−1}h^{t}h^{t}(∂h^{t} + h^{t}∂)^{−1} = 0 puisque h^{t,2} = 0. Enfin ∂H^{t} + H^{t}∂ = ∂h^{t}(∂h^{t} + h^{t}∂)^{−1} + (∂h^{t} + h^{t}∂)^{−1}h^{t}∂ = Id_{L^{t}} car ∂ et h^{t} commutent à (∂h^{t} + h^{t}∂)^{−1}.

Il résulte de la proposition 2.4.1 que H_{p}^{t} est bien défini dans L(E_{p,w}^{t}, E_{p+1,w}^{t}) dès que p ≤ q avec (2q + 2) exp(−w\frac{(4t−4)k+4δ}{q}) < 1.

2.4.2 Démonstration de la proposition 2.3.3

Lorsque p ∈ {0, …, p_{max}} et f = ∑_{S∈Δ_{p}} f(S)e_{S} ∈ L_{p}, on pose supp(f) = ⋃_{f(S)≠0} S.

Lemme 2.4.6 Pour tout R ∈ ℝ_{+}^{∗}, il existe R′ ∈ ℝ_{+}^{∗} et une constante C ∈ ℝ_{+} tels que pour tout p ∈ {1, …, p_{max}}, il existe une application non-linéaire Géquivariante Φ_{p} : {f ∈ L_{p}, ∂_{p−1}(f) = 0, diam(supp(f)) ≤ R} → L_{p+1} avec, pour tout f dans l’ensemble de départ de Φ_{p},

– ∂_{p}(Φ_{p}(f)) = f,

– le diamètre de supp(f) ∪ supp(Φ_{p}(f)) est inférieur ou égal à R′,

– ∥Φ_{p}(f)∥_{l^{1}} ≤ C∥f∥_{l^{1}}.

En effet on pose Φ_{p}(f) = \frac{1}{#(supp(f))} ∑_{z∈supp(f)} H_{p,z}^{1}(f) où z dans H_{p,z}^{1} indique que l’on remplace x par z dans la construction de H à la proposition 2.4.5.

On rappelle que N = N_{1}.

Lemme 2.4.7 Pour tout N′ ∈ [N, +∞[ il existe une famille d’applications linéaires (Ψ_{p} : L_{p}^{N′} → L_{p}^{N})_{p∈{0,...,p_{max}}} de sorte que, en posant Ψ_{p} = 0 pour p > p_{max}, les conditions suivantes soient réalisées :

– Ψ_{p} est G-équivariant pour tout p,

– ∂_{p−1} ∘ Ψ_{p} = Ψ_{p−1} ∘ ∂_{p−1} pour tout p ∈ {1, …, p_{max}},

– Ψ_{p} est borné en norme l^{1} pour tout p,

– pour tout p, sup_{S∈Δ_{p}^{N′}} diam(supp(Ψ_{p}(e_{S})) ∪ S) est fini,

– en notant i_{p} : L_{p}^{N} → L_{p}^{N′} l’inclusion évidente on a Ψ_{p} ∘ i_{p} = Id_{L_{p}^{N}} pour tout p ∈ {0, …, p_{max}}.

Démontrons le lemme 2.4.7. On pose Ψ_{0} = Id et Ψ_{1} = Id. Ensuite on construit Ψ_{p} par récurrence sur p: si Ψ_{p−1} est construit, et la constante R choisie de façon adéquate et Φ_{p−1} l’application associée à R par le lemme 2.4.6, pour S ∈ Δ_{p}^{N′} on pose Ψ_{p}(e_{S}) = e_{S} si diam(S) ≤ N et sinon Ψ_{p}(e_{S}) = Φ_{p−1}(Ψ_{p−1}(∂_{p−1}(e_{S}))). Ceci a un sens car ∂_{p−2}(Ψ_{p−1}(∂_{p−1}(e_{S}))) = Ψ_{p−2}(∂_{p−2}(∂_{p−1}(e_{S}))) = 0. Par construction Ψ_{p} est G-équivariant car Ψ_{p−1} est G-équivariant.

Démontrons maintenant la proposition 2.3.3. Fixons t tel que

(2p_{max} + 2) exp(−s\frac{(4t − 4)k + 4δ}{p_{max}} ) < 1.

Appliquons le lemme 2.4.7 à N′ = N_{t}. Pour tout p ∈ {0, …, p_{max} −1} posons K_{p} = Ψ_{p+1}H_{p}^{t}i_{p} : L_{p} → L_{p+1}. Il résulte de la proposition 2.4.1 appliquée à q = p_{max} et de l’hypothèse faite sur t que pour tout p ∈ {0, …, p_{max}} (Id − ∂_{p}h_{p}^{t} − h_{p−1}^{t}∂_{p−1}) ∈ L(E_{p,s}^{t}) est de rayon spectral strictement inférieur à

1. Il est important de remarquer que p_{max} < p_{max}^{t} en général. Par conséquent (∂_{p}h_{p}^{t} + h_{p−1}^{t}∂_{p−1})^{−1} ∈ L(E_{p,s}^{t}) est bien défini pour tout p ∈ {0, …, p_{max}} et donc H_{p}^{t} ∈ L(E_{p,s}^{t}, E_{p+1,s}^{t}) et K_{p} ∈ L(E_{p,s}, E_{p+1,s}) sont bien définis pour tout p ∈ {0, …, p_{max}−1}. On sait que, pour tout p ∈ {0, …, p_{max}}, g ↦ g(h_{p}^{t})−h_{p}^{t} est une application continue de G dans K(E_{p,s}^{t}, E_{p+1,s}^{t}) et donc g ↦ g((∂_{p}h_{p}^{t} + h_{p−1}^{t}∂_{p−1})^{−1}) − (∂_{p}h_{p}^{t} + h_{p−1}^{t}∂_{p−1})^{−1} est une application continue de G dans K(E_{p,s}^{t}) pour tout p ∈ {0, …, p_{max}}. Donc, pour tout p ∈ {0, …, p_{max} − 1}, g ↦ g(H_{p}^{t})−H_{p}^{t} est une application continue de G dans K(E_{p,s}^{t}, E_{p+1,s}^{t}) et g ↦ g(K_{p}) − K_{p} est une application continue de G dans K(E_{p,s}, E_{p+1,s}) puisque Ψ_{p} et i_{p} sont exactement G-équivariants. Enfin pour tout p ∈ {0, …, p_{max}},

∂_{p}K_{p} + K_{p−1}∂_{p−1} = ∂_{p}Ψ_{p+1}H_{p}^{t}i_{p} + Ψ_{p}H_{p−1}^{t}i_{p−1}∂_{p−1}
= Ψ_{p}(∂_{p}H_{p}^{t} + H_{p−1}^{t}∂_{p−1})i_{p} = Ψ_{p}i_{p} = Id_{E_{p,s}}.

On pose maintenant J = K∂K ∈ L(E_{s}). On a vu que K est de degré 1 et vérifie K∂ + ∂K = Id_{E_{s}}, et que g ↦ g(K) − K est une application continue de G dans K(E_{s}). Un calcul analogue à celui de la preuve du lemme 1.4.2 montre que J convient : comme ∂^{2} = 0, (K∂)^{2} = (K∂)(K∂ + ∂K) = K∂ et (∂K)^{2} = (K∂ + ∂K)(∂K) = ∂K. D’où ∂K^{2}∂ = 0. On en déduit que J^{2} = K∂K^{2}∂K = 0 et ∂J + J∂ = (K∂)^{2} + (∂K)^{2} = K∂ + ∂K = Id_{E_{s}}.

Homotopie entre γ et 1 pour les groupes agissant proprement sur des variétés de courbure négative ou nulle

Soient G un groupe localement compact et X une variété riemannienne complète simplement connexe de courbure sectionnelle négative ou nulle et bornée inférieurement munie d’une action de G continue isométrique et propre. On note C_{τ}(X) l’algèbre des sections continues tendant vers 0 à l’infini du fibré en algèbres de Clifford associé à l’espace cotangent complexifié de X (voir [Kas88] 4.1). Kasparov construit un élément de Dirac [d] ∈ KK_{G}(C_{τ}(X), ℂ) et un élément dual-Dirac η ∈ KK_{G}(ℂ, C_{τ}(X)) et note γ = η ⊗_{C_{τ} (X)} [d] ∈ KK_{G}(ℂ, ℂ) leur produit (voir [Kas88] 4.2, 5.1 et 5.4).

Nous montrons le résultat suivant : il existe une suite (N_{i})_{i∈ℕ^{∗}} de normes sur G, convergeant uniformément vers 1 sur tout compact de G et telle que pour tout i ∈ ℕ^{∗}, γ et 1 aient même image dans KK_{G,N_{i}}^{ban}(ℂ, ℂ).

Je remercie Alain Connes et Georges Skandalis pour m’avoir expliqué comment on peut réaliser l’élément γ de Kasparov en conjuguant le complexe de de Rham sur G/K par e^{−ρ^{2}}. Pour des raisons techniques nous conjuguons en fait le complexe de de Rham par e^{−\sqrt{ρ^{2}+1}}. Une autre réalisation de l’élément γ intervient alors et j’ai profité d’une discussion avec Guennadi Kasparov à ce sujet.

3.1 Rappels sur l’élément γ

Soient G un groupe localement compact et X une variété riemannienne complète simplemement connexe de courbure négative ou nulle et bornée inférieurement munie d’une action de G continue isométrique et propre. On va donner une réalisation explicite de l’élément γ.

Pour x, y ∈ X on note d(x, y) la distance géodésique de x à y. Dans toute la suite on fixe un point x_{0} dans X et pour tout y ∈ X on pose ρ(y) = d(x_{0}, y).

On considère l’espace de Hilbert L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)) des formes complexes L^{2} sur X, gradué par le degré des formes modulo 2. Pour tout champ θ de 1-formes sur X on note λ_{θ} la multiplication extérieure (à gauche) par θ sur les formes à support compact et λ_{θ}^{∗} l’opérateur de contraction formellement adjoint de λ_{θ}. D’autre part on note d la différentielle extérieure sur les formes C^{∞} à support compact, d^{∗} son adjoint formel et △ = dd^{∗} + d^{∗}d = (d + d^{∗})^{2} le laplacien. Enfin on note ρ′ = \sqrt{ρ^{2} + 1} et ξ = d(ρ′).

Nous rappelons que [d] ∈ KK_{G}(C_{τ}(X), ℂ) est représenté par

(L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)), (d + d^{∗})(1 + △)^{− \frac{1}{2}} )

et η ∈ KK_{G}(ℂ, C_{τ}(X)) par (C_{τ}(X), ξ) en notant par abus ξ la multiplication de Clifford associée à ξ (voir [Kas88], 4.2 et 5.3).

Posons D_{t} = d + d^{∗} + t(λ_{ξ} + λ_{ξ}^{∗}) pour tout t ∈ ℝ_{+}. L’opérateur D_{t} est formellement auto-adjoint et comme il est de degré 1 il est essentiellement autoadjoint sur L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)). Le supercommutateur A = [d+d^{∗}, λ_{ξ}+λ_{ξ}^{∗}] est un opérateur différentiel de degré 0, et un opérateur borné sur L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)), du fait que la courbure sectionnelle de X est négative ou nulle et bornée inférieurement. On note ∥A∥ la norme de A sur L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)).

Lemme 3.1.1 Pour tout t ∈]∥A∥, +∞[, KerD_{t} est de dimension finie et si on note p_{KerD_{t}} le projecteur orthogonal sur KerD_{t}, l’opérateur D_{t}^{2} +p_{KerD_{t}} est inversible d’inverse bornée.

En effet D_{t}^{2} = △ + t^{2}∥ξ∥^{2} + tA. D’après [Wol73] △ est essentiellement autoadjoint et comme t^{2}∥ξ∥^{2} + tA est borné auto-adjoint, D_{t}^{2} est essentiellement auto-adjoint et le domaine de D_{t}^{2} est égal au domaine de △. Comme ∥ξ∥^{2} tend vers 1 à l’infini, pour tout t > ∥A∥ il existe ϵ > 0 et une fonction f à support compact sur X telle que l’on ait D_{t}^{2} ≥ △ + ϵ − f. Or (ϵ + △)^{− \frac{1}{2}} f(ϵ + △)^{− \frac{1}{2}} est compact car (ϵ + △)^{− \frac{1}{2}} est continu de L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)) vers l’espace des fonctions dont la restriction à un certain voisinage compact du support de f appartient à H^{1} et f est compact de cet espace vers L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)) et enfin (ϵ + △)^{− \frac{1}{2}} est continu de L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)) dans lui-même.

Proposition 3.1.2 Pour tout t ∈]∥A∥, +∞[ l’élément

(L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)), D_{t}(D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}})^{− \frac{1}{2}} )

appartient à E_{G}(ℂ, ℂ) et la classe de cet élément dans KK_{G}(ℂ, ℂ) est égale à γ.

Pour t ∈]∥A∥, +∞[ le lemme 3.1.1 s’applique et l’opérateur F_{t} = D_{t}(D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}})^{− \frac{1}{2}} est bien défini. Comme F_{t}^{2} − 1 est de rang fini, pour s’assurer que (L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)), F_{t}) appartient à E_{G}(ℂ, ℂ) on doit montrer que (g ↦ g(F_{t})−F_{t}) est une application continue de G dans K(L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X))). Pour cela on utilise la formule donnée dans [Kas88], 4.2, avec D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}} au lieu de D^{2} + 1. On a ainsi F_{t} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{∞} D_{t}(λ^{2} + D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}})^{−1}dλ, où l’intégrale converge au sens de la topologie forte. D’où

g(F_{t}) − F_{t} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{∞} (λ^{2} + D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}})^{−1}

(λ^{2}(g(D_{t}) − D_{t}) + D_{t}(D_{t} − g(D_{t}))g(D_{t}) + p_{KerD_{t}}g(D_{t}) − D_{t}g(p_{KerD_{t}}))

(λ^{2} + g(D_{t}^{2}) + g(p_{KerD_{t}}))^{−1}dλ.

La dernière intégrale converge non seulement au sens de la topologie forte mais aussi en norme d’opérateur car, si ϵ > 0 est tel que D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}} ≥ ϵId on a

∥(λ^{2} + D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}})^{−1}∥ ≤ (λ^{2} + ϵ)^{−1}
et ∥D_{t}(λ^{2} + D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}})^{−1}∥ ≤ (λ^{2} + ϵ)^{− \frac{1}{2}}  (3.1)

et g(D_{t}) − D_{t} est borné uniformément en g lorsque g parcourt un compact de G. Plus précisément g(D_{t}) − D_{t} = g(λ_{ξ} + λ_{ξ}^{∗}) − (λ_{ξ} + λ_{ξ}^{∗}) et d’après le lemme 5.3 de [Kas88] g(λ_{ξ} +λ_{ξ}^{∗})−(λ_{ξ} +λ_{ξ}^{∗}) est une section de End(Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)) tendant vers 0 à l’infini, uniformément en g lorsque g parcourt un compact de G et par suite (g(D_{t})−D_{t})(λ^{2}+g(D_{t}^{2})+g(p_{KerD_{t}}))^{−1} et (D_{t}−g(D_{t}))g(D_{t})(λ^{2}+g(D_{t}^{2})+ g(p_{KerD_{t}}))^{−1} sont des opérateurs compacts dépendant continûment de g et de t. Donc g(F_{t}) − F_{t} est une intégrale, convergeant pour la norme d’opérateur de façon uniforme en g lorsque g parcourt un compact de G, d’opérateurs compacts dépendant continûment de g. Par conséquent g ↦ g(F_{t}) − F_{t} est une application continue de G dans K(L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X))).

Montrons enfin que (L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)), F_{t}) représente γ. Pour cela nous devons vérifier les conditions a), b) et c) de la définition 2.10 de [Kas88], puisque γ est défini comme le produit de [d] et η. Nous savons dejà que (L^{2}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)), F_{t}) appartient à E_{G}(ℂ, ℂ) et la condition b) est vérifiée puisque F_{t} est une connexion pour (d + d^{∗})(1 + △)^{− \frac{1}{2}} du fait que F_{t} est aussi un opérateur pseudo-différentiel d’ordre 0 et possède le même symbole principal. Il reste la condition c). Nous devons montrer que le supercommutateur [F_{t}, λ_{ξ} + λ_{ξ}^{∗}] est positif modulo les opérateurs compacts. En utilisant la formule donnée dans [Kas88], 4.2, avec D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}} au lieu de D^{2} + 1 et c = λ_{ξ} + λ_{ξ}^{∗} au lieu de a on obtient

[F_{t}, λ_{ξ} + λ_{ξ}^{∗}] = \frac{2}{π} ∫_{0}^{∞} (λ^{2} + D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}})^{−1}

(λ^{2}[c, D_{t}] + D_{t}[c, D_{t}]D_{t} + p_{KerD_{t}}cD_{t} + D_{t}cp_{KerD_{t}})
(λ^{2} + D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}})^{−1}dλ.

L’intégrale converge en norme d’opérateur à cause de (3.1). Comme t > ∥A∥ et comme ∥ξ∥ tend vers 1 à l’infini, [c, D_{t}] = A + t∥ξ∥^{2} est positif modulo la multiplication par une fonction à support compact sur X. Or pour toute fonction f sur X à support compact, f(λ^{2} + D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}})^{−1} et fD_{t}(λ^{2} + D_{t}^{2} + p_{KerD_{t}})^{−1} sont compacts. Donc [F_{t}, λ_{ξ} + λ_{ξ}^{∗}] est une intégrale, convergeant en norme d’opérateur, d’opérateurs positifs modulo les compacts et par conséquent [F_{t}, λ_{ξ} + λ_{ξ}^{∗}] est positif modulo les compacts.

3.2 Enoncé du résultat

Pour tout g ∈ G on note l(g) = ρ(gx_{0}) = d(x_{0}, gx_{0}). Il est immédiat que la fonction l : G → ℝ_{+} est continue et vérifie l(g_{1}g_{2}) ≤ l(g_{1}) + l(g_{2}) quels que soient g_{1}, g_{2} ∈ G. Par suite pour tout κ ∈ ℝ_{+} on définit une norme N_{κ} sur G en posant N_{κ}(g) = exp(κl(g)).

Proposition 3.2.1 Pour tout κ ∈ ℝ_{+}^{∗}, γ et 1 ont même image dans KK_{G,N_{κ}}^{ban}(ℂ, ℂ).

On remarque que la suite de normes (N_{\frac{1}{i}})_{i∈ℕ^{∗}} converge uniformément vers 1 sur tout compact de G.

3.3 Construction préliminaire

Nous construisons d’abord quelques espaces de Sobolev sur X.

Notons n la dimension de X. Pour tout x ∈ X on note exp_{x} : T_{x}X → X l’exponentielle. On identifie exp_{x}^{∗}(Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)) au fibré trivial sur T_{x}X de fibre Λ^{∗}(T_{ℂ,x}^{∗}X). De plus on choisit un système de coordonnées orthonormé (t_{1}, …, t_{n}) sur T_{x}X. Pour toute forme ω de classe C^{∞} sur X, pour tout x ∈ X et pour tout entier s ∈ ℕ on note

Reg_{s,x}(ω) = ( ∑_{l∈{0,...,s},i_{1},...,i_{l}∈{1,...,n}} ∥∂_{i_{1}}...∂_{i_{l}} exp_{x}^{∗}(ω)∥_{Λ^{∗}(T_{ℂ,x}^{∗}X)}^{2})^{1/2}.

Pour tout g ∈ G et pour tout x ∈ X on a Reg_{s,x}(g^{∗}(ω)) = Reg_{s,gx}(ω).

Définition 3.3.1 Pour tous p ∈ [1, +∞], s ∈ ℕ, δ ∈ ℝ_{+} et k ∈ {0, ..., n} on note W_{δ,k}^{p,s} la complétion de C_{c}^{∞}(X, Λ^{k}(T ∗_{ℂ}X)) pour la norme

∥ω∥_{W_{δ,k}^{p,s}} = ∥x ↦ e^{−δρ(x)}Reg_{s,x}(ω)∥_{L^{p}(X)}.

Nous avons besoin d’un lemme préliminaire.

Lemme 3.3.2 Soient p ∈ [1, +∞], δ ∈ ℝ_{+}, s_{1}, s_{2} ∈ ℕ, k_{1}, k_{2} ∈ {0, ..., n}, et r, R ∈ ℝ_{+}^{∗}. Il existe une constante C telle que l’assertion suivante soit vraie : pour tout opérateur T : C_{c}^{∞}(X, Λ^{k_{1}}T ∗_{ℂ}X) → C_{c}^{∞}(X, Λ^{k_{2}}T ∗_{ℂ}X) tel que pour tout ω ∈ C_{c}^{∞}(X, Λ^{k_{1}}T ∗_{ℂ}X) avec diam(supp(ω)) ≤ r on ait diam(supp(ω) ∪ supp(T (ω))) ≤ R et ∥T (ω)∥_{W_{δ,k_{2}}^{p,s_{2}}} ≤ ∥ω∥_{W_{δ,k_{1}}^{p,s_{1}}}, T est continu de norme inférieure ou égale à C de W_{δ,k_{1}}^{p,s_{1}} dans W_{δ,k_{2}}^{p,s_{2}}. De plus la constante C reste bornée lorsque s_{1}, s_{2} restent fixes, p est quelconque et δ parcourt un compact.

En effet choisissons une suite de points (x_{n})_{n∈ℕ^{∗}} dans X telle que les boules fermées de rayon 1 et de centre les x_{n} recouvrent X et que pour p, q distincts on ait d(x_{p}, x_{q}) ≥ 1. Comme X est à courbure sectionnelle négative ou nulle et bornée inférieurement, pour tout K ∈ ℝ_{+} il existe s ∈ ℝ_{+}^{∗} tel que pour tout x ∈ X et pour tous p, q tels que d(x, x_{p}) ≤ K et d(x, x_{q}) ≤ K, on ait d(exp_{x}^{−1}(x_{p}), exp_{x}^{−1}(x_{q})) ≥ s dans T_{x}X. On en déduit que, pour tout K ∈ ℝ_{+}, on a sup_{x∈X} #{n, d(x, x_{n}) ≤ K} < +∞. On conlut par un argument analogue à la preuve du résultat classique suivant : une matrice infinie telle que la somme des modules des coefficients sur une ligne ou sur une colonne soit bornée indépendamment de la ligne ou de la colonne agit de façon bornée sur l^{p} pour tout p ∈ [1, +∞].

Pour tous p ∈ [1, +∞], s ∈ ℕ, δ ∈ ℝ_{+} et k ∈ {0, ..., n} on note E_{δ,k}^{p,s} = ((W_{δ,k}^{p,s})^{∗}, W_{δ,k}^{p,s}) la (G, N_{δ})-ℂ-paire formée par W_{δ,k}^{p,s} et son dual topologique.

Dans la suite de ce paragraphe nous supposons que p appartient à ]^{\frac{(n−1)\sqrt{B}}{δ}} , +∞[, où B ∈ ℝ_{+} est tel que la courbure sectionnelle de X soit minorée par −B. Cette condition implique en particulier que e^{−δρ} appartient à L^{p}(X). On pose de plus E_{−1} = (ℂ, ℂ). On note d^{>} : ℂ → E_{δ,0}^{p,n,>} l’application qui à λ ∈ ℂ associe la fonction constante sur X égale à λ et d^{<} sa transposée. De même pour tout k ∈ {0, ..., n − 1} on note d^{>} : E_{δ,k}^{p,n−k,>} → E_{δ,k+1}^{p,n−(k+1),>} la différentielle extérieure et d^{<} sa transposée.

Ainsi (E_{−1} →^{d} E_{δ,0}^{p,n} →^{d} … E_{δ,n}^{p,0}) est un complexe de morphismes de ℂ-paires, d est exactement équivariant et vérifie d^{2} = 0.

Construisons une homotopie pour ce complexe. Il existe un opérateur G-équivariant K^{loc} sur C_{c}^{∞}(X, Λ^{∗}(T ∗_{ℂ}X)), diminuant le degré des formes de 1 et vérifiant les propriétés suivantes : K^{loc} est associé à un noyau k(x, y) (singulier le long de la diagonale) tel que k(x, y) = 0 si d(x, y) ≥ 1, et pour tout p ∈]1, +∞[, k ∈ {1, ..., n}, δ ∈ ℝ_{+} et s ∈ ℕ, K^{loc} est continu de W_{δ,k}^{p,s} vers W_{δ,k−1}^{p,s+1}, et dK^{loc} + K^{loc}d − Id est G-équivariant et continu de W_{δ,k}^{p,s} vers W_{δ,k}^{p,s+2}, pour k ∈ {0, ..., n} et les normes de ces deux opérateurs restent bornées si p, δ parcourent des compacts et k et s restent fixes. L’existence de K^{loc} résulte de la théorie des opérateurs pseudo-différentiels, du fait que la courbure sectionnelle de X est négative ou nulle et bornée inférieurement, et du lemme 3.3.2.

D’après le lemme de Poincaré le complexe

(ℂ →^{1} C^{∞}(X, ℂ) →^{d} … C^{∞}(X, Λ^{n}(T ∗_{ℂ}X)))

est exact. Pour construire une homotopie on adopte la formule traditionnelle en moyennant sur le point base. Soit x ∈ X. Pour f ∈ C^{∞}(X), on pose I_{x}(f) = f(x). Pour tout t ∈ [0, 1] on note ϕ_{x,t} : X → X la contraction de rapport t suivant les géodésiques issues de x, et pour tout k ≥ 1, pour tout

ω ∈ C^{∞}(X, Λ^{k}(T ∗_{ℂ}X)), on pose

I_{x}(ω) = ∫_{0}^{1} ϕ_{x,t}^{∗}((\frac{dϕ_{x,t}}{dt} ∘ ϕ_{x,t}^{−1})⌟ω)dt.

Enfin on choisit une fonction ψ : X → ℝ_{+} de classe C^{∞}, à support compact et d’intégrale 1, et on pose I = ∫_{X} ψ(x)I_{x}dx. Il est clair que Id + dI = Id.

Lemme 3.3.3 Pour tout s ∈ ℕ, I est continu de W_{δ,k+1}^{p,s} vers W_{δ,k}^{p,s} et de W_{δ,0}^{p,s} vers ℂ.

On peut supposer s = 0. On démontre alors le lemme pour p = +∞ et δ > 0 et pour p = 1 et δ > (n − 1)\sqrt{B}, et on en déduit le cas général par interpolation, grâce à l’hypothèse que nous avons faite sur p et δ (on peut utiliser l’inégalité de Hölder au lieu d’interpoler).

On voit que I(dK^{loc} + K^{loc}d − Id) est continu de W_{δ,k}^{p,s} vers W_{δ,k−1}^{p,s+2} pour tout k ∈ {1, ..., n} et de W_{δ,0}^{p,s} vers ℂ.

Lorsque s = n − k on pose K^{>} = K^{loc} + I(Id − (dK^{loc} + K^{loc}d)) et on note K^{<} le transposé de K^{>} et K = (K^{<}, K^{>}) de sorte que K est un morphisme de ℂ-paires de degré −1 de E_{−1} ⊕ ⨁_{k=0}^{n} E_{δ,k}^{p,n−k} dans lui-même. On a Kd+dK = Id et g ↦ g(K)−K est une application continue de G dans K(E_{−1} ⊕ ⨁_{k=0}^{n} E_{δ,k}^{p,n−k}). En effet Id − (dK^{loc} + K^{loc}d) est continu de W_{δ,k}^{p,n−k} dans W_{δ,k}^{p,n−k+2} et G-équivariant et g ↦ g(I) − I est une application continue de G dans K(E_{δ,k}^{p,n−k+2}, E_{δ,k−1}^{p,n−k+1}).

Posons L = KdK. On a Ld + dL = Id, L^{2} = 0 et g ↦ g(L) − L est une application continue de G dans K(E_{−1} ⊕ ⨁_{k=0}^{n} E_{δ,k}^{p,n−k}).

Proposition 3.3.4 Le complexe (E_{−1} ⇄_{L}^{d} E_{δ,0}^{p,n} ⇄_{L}^{d} … E_{δ,n}^{p,0}) appartient à E_{G,N_{δ}}^{ban,com}(ℂ, ℂ)

et le complexe replié associé à ce complexe est homotope à 0 dans E_{G,N_{δ}}^{ban}(ℂ, ℂ).

Cela résulte de la proposition 1.4.3.

3.4 Description de l’homotopie

Dans toute la suite on fixe κ > 0 et on construit une homotopie entre 1 et γ dans KK_{G,N_{κ}}^{ban}(ℂ, ℂ). Cette homotopie est réalisée en plusieurs étapes, en partant de 1 et en aboutissant à γ.

3.4.1 Résolution de la représentation triviale par le complexe de de Rham

On fixe p_{κ} ∈]^{\frac{(n−1)\sqrt{B}}{κ}} , +∞[. Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la proposition 3.3.4.

Proposition 3.4.1 Le complexe (E_{κ,0}^{p_{κ},n} ⇄_{L}^{d} … E_{κ,n}^{p_{κ},0}) appartient à E_{G,N_{κ}}^{ban,com}(ℂ, ℂ)

et le complexe replié associé à ce complexe est homotope à 1 dans E_{G,N_{κ}}^{ban}(ℂ, ℂ).

3.4.2 Conjugaison par exp(−αρ′)

Pour tous p ∈]1, +∞[, s ∈ ℕ, δ ∈ ℝ_{+}, α ∈ ℝ_{+} et k ∈ {0, ..., n} on note Θ_{α} l’opérateur de W_{δ+α,k}^{p,s} vers W_{δ,k}^{p,s} défini par

Θ_{α}(ω)(x) = e^{−αρ′(x)}ω(x).

Il est immédiat que Θ_{α} est un isomorphisme (non isométrique) d’espaces de Banach. On note encore Θ_{α} le morphisme de ℂ-paires de E_{δ+α,k}^{p,s} dans E_{δ,k}^{p,s} constitué de Θ_{α} défini ci-dessus et de l’opérateur qui lui est transposé.

Nous choisissons β ∈ ℝ_{+}^{∗} tel que 2β > (n − 1)\sqrt{B} et β > ∥A∥, où ∥A∥ est comme dans la proposition 3.1.2.

Proposition 3.4.2 Le complexe (E_{κ,0}^{p_{κ},n}[0, 1] ⇄_{(Θ_{tβ}LΘ_{tβ}^{−1})_{t∈[0,1]}}^{(Θ_{tβ}dΘ_{tβ}^{−1})_{t∈[0,1]}} … E_{κ,n}^{p_{κ},0}[0, 1]) ap-

partient à E_{G,N_{κ}}^{ban,com}(ℂ, ℂ[0, 1]).

En effet Θ_{tβ}dΘ_{tβ}^{−1} = d + tβλ_{ξ} et le champ de 1-formes g(ξ) − ξ tend vers 0 en l’infini, uniformément en g lorsque g demeure dans un compact de G. De plus les dérivées de ξ tendent vers 0 à l’infini. Donc g ↦ (g(Θ_{tβ}dΘ_{tβ}^{−1}) − Θ_{tβ}dΘ_{tβ}^{−1})_{t∈[0,1]} est une application continue de G dans l’espace des opérateurs

compacts de ℂ[0, 1]-paires de E_{κ,k}^{p_{κ},n−k}[0, 1] vers E_{κ,k+1}^{p_{κ}n−(k+1)}[0, 1]. Pour x, y ∈ X et g ∈ G, (ρ′(gx) − ρ′(x)) − (ρ′(gy) − ρ′(y)) tend vers 0 si x tend vers l’infini et d(x, y) reste borné et g reste dans un compact de G. Il en résulte que g ↦ (g(Θ_{tβ}K^{loc}Θ_{tβ}^{−1}) − (Θ_{tβ}K^{loc}Θ_{tβ}^{−1}))_{t∈[0,1]} est une application continue de

G dans l’espace des opérateurs compacts de ℂ[0, 1]-paires de E_{κ,k}^{p_{κ},n−k}[0, 1] vers E_{κ,k−1}^{p_{κ},n−k+1}[0, 1]. De même g ↦ (g(Θ_{tβ}I(Id−(dK^{loc}+K^{loc}d))Θ_{tβ}^{−1})−(Θ_{tβ}I(Id− (dK^{loc} + K^{loc}d))Θ_{tβ}^{−1}))_{t∈[0,1]} est une application continue de G dans l’espace

des opérateurs compacts de ℂ[0, 1]-paires de E_{κ,k}^{p_{κ},n−k}[0, 1] vers E_{κ,k−1}^{p_{κ},n−k+1}[0, 1].

3.4.3 Homotopie entre L^{p_{κ}} et L^{2}

Proposition 3.4.3 Le complexe ((E_{(1−t)κ,0}^{p_{κ},n})_{t∈[0,1]} ⇄_{Θ_{β}LΘ_{β}^{−1}}^{Θ_{β}dΘ_{β}^{−1}} … (E_{(1−t)κ,n}^{p_{κ},0})_{t∈[0,1]})

appartient à E_{G,N_{κ}}^{ban,com}(ℂ, ℂ[0, 1]).

Proposition 3.4.4 Si on note p(t) l’unique fonction affine de [0, 1] dans

]1, +∞[ telle que p(0) = p_{κ} et p(1) = 2, le complexe ((E_{0,0}^{p(t),n})_{t∈[0,1]} ⇄_{Θ_{β}LΘ_{β}^{−1}}^{Θ_{β}dΘ_{β}^{−1}}

… (E_{0,n}^{p(t),0})_{t∈[0,1]}) appartient à E_{G,N_{κ}}^{ban,com}(ℂ, ℂ[0, 1]).

Les propositions 3.4.3 et 3.4.4 se justifient comme la proposition 3.4.2. Nous avons donc réalisé une homotopie dans E_{G,N_{κ}}^{ban}(ℂ, ℂ) entre 1 et le

complexe replié associé au complexe (E_{0,0}^{2,n} ⇄_{Θ_{β}LΘ_{β}^{−1}}^{Θ_{β}dΘ_{β}^{−1}} … E_{0,n}^{2,0}), qui ne fait plus

intervenir que des espaces de Hilbert.

3.4.4 Fin de l’homotopie

On a vu que Θ_{β}dΘ_{β}^{−1} = d + βλ_{ξ}.

Proposition 3.4.5 Le complexe replié associé au complexe (E_{0,0}^{2,n} ⇄_{(d^{∗}+βλ_{ξ}^{∗})(D_{β}^{2}+p_{KerD_{β}})^{−1}}^{d+βλ_{ξ}}

… E_{0,n}^{2,0}) appartient à E_{G}^{ban}(ℂ, ℂ) et est homotope au complexe replié associé

au complexe (E_{0,0}^{2,n} ⇄_{Θ_{β}LΘ_{β}^{−1}}^{Θ_{β}dΘ_{β}^{−1}} … E_{0,n}^{2,0}) dans E_{G}^{ban}(ℂ, ℂ).

L’appartenance du premier complexe à E_{G}^{ban}(ℂ, ℂ) se justifie de la même manière que la première assertion de la proposition 3.1.2 et le fait que les deux complexes repliés soient homotopes résulte du lemme 1.4.2.

Pour s ∈ ℝ_{+} et k ∈ {0, ..., n} on note H_{k}^{s} la complétion de C_{c}^{∞}(X, Λ^{k}(T ∗_{ℂ}X)) pour la norme ∥ω∥ = ∥(1 + △)^{\frac{s}{2}} ω∥_{L^{2}(X)}. Si s est entier H_{k}^{s} est égal à W_{0,k}^{2,s} à équivalence de norme près.

Proposition 3.4.6 Le complexe replié associé au complexe (H_{0}^{n} ⇄_{(d^{∗}+βλ_{ξ}^{∗})(D_{β}^{2}+p_{KerD_{β}})^{−1}}^{d+βλ_{ξ}}

… H_{n}^{0}) représente γ.

En effet ce complexe est homotope à celui décrit dans la proposition 3.1 au moyen de l’élément de E_{G}^{ban}(ℂ, ℂ[0, 1]) égal à

((H_{0}^{tn})_{t∈[0,1]} ((d+βλ_{ξ})(D_{β}^{2}+p_{KerD_{β}})^{\frac{−1+t}{2}} )_{t∈[0,1]} ; ⇄ ; ((d^{∗}+βλ_{ξ}^{∗})(D_{β}^{2}+p_{KerD_{β}})^{\frac{−1−t}{2}} )_{t∈[0,1]} … (H_{n}^{0})_{t∈[0,1]}).

Nous sommes parvenu à l’élément γ décrit au paragraphe 3.1.

80

Espaces de Schwartz

Dans tout ce chapitre nous appelons groupe de Lie semi-simple un groupe de Lie dont l’algèbre de Lie est semi-simple et dont le morphisme adjoint a un noyau fini. Soit G un groupe de Lie semi-simple ou un groupe réductif sur un corps p-adique. On note C_{c}(G) l’algèbre des fonctions continues à support compact de G dans ℂ, avec pour produit la convolution des fonctions. L’espace de Schwartz, introduit par Harish-Chandra, est une bonne algèbre de Fréchet (au sens de l’appendice A de [Bos90]) dans le cas réel et une limite inductive de bonnes algèbres de Fréchet dans le cas p-adique, d’après [Vig90]. De plus l’espace de Schwartz est une sous-algèbre de C_{r}^{∗}(G) dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe : ce résultat (que nous ne montrons pas ici) est démontré par M.-F. Vignéras dans [Vig90] lorsque G est un groupe p-adique.

Nous avons besoin d’un résultat voisin du résultat ci-dessus. Au début du paragraphe 1.5 nous avons défini une bonne complétion de C_{c}(G) comme une algèbre de Banach A(G) contenant C_{c}(G) comme sous-algèbre dense et telle que, pour tout f ∈ C_{c}(G), ∥f∥_{A(G)} ne dépend que de (g ↦ |f(g)|) et en dépend de manière croissante. Le but de ce chapitre est de définir une variante de l’espace de Schwartz usuel sur G, qui contient l’espace de Schwartz usuel et qui vérifie les propriétés suivantes : c’est une bonne complétion de C_{c}(G) et une sous-algèbre de C_{r}^{∗}(G) stable par calcul fonctionnel holomorphe.

Nous introduisons d’autres bonnes complétions de C_{c}(G) qui sont des variantes des espaces de Schwartz généralisés apparaissant dans le livre [GV88], qui m’a été signalé par M.Duflo. Nous appelons encore ces bonnes complétions espaces de Schwartz généralisés par abus. Nous montrons que l’algèbre L^{1}(G) et les algèbres L^{1} à poids contiennent chacune un espace de Schwartz généralisé comme sous-algèbre dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe. Nous possédons aussi des énoncés à coefficients dans une G-algèbre de Banach arbitraire.

Dans cet article, pour simplifier, et en contradiction avec les autres chapitres, nous appelons algèbre de Banach un espace de Banach B muni d’un produit tel qu’il existe une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} avec ∥ab∥_{B} ≤ C∥a∥_{B}∥b∥_{B} pour a, b ∈ B. Muni de la norme C∥.∥_{B}, B devient une algèbre de Banach au sens habituel, et le changement de norme ne modifie pas les questions de spectre et de stabilité par calcul fonctionnel holomorphe.

4.1 Enoncé du résultat de base

Rappelons la définition 1.2.1. Une norme sur un groupe topologique G est une fonction continue N : G → [1, +∞[ telle que N(gg′) ≤ N(g)N(g′) pour tous g, g′ ∈ G.

Nous dirons qu’un quadruplet (G, K, d, ϕ) satisfait (HC) si on a

– (HC1) G est un groupe localement compact unimodulaire muni d’une mesure de Haar dg et K est un sous-groupe compact de G muni de son unique mesure de Haar dk de masse 1,

– (HC2) d est une fonction continue de G dans [0, +∞[, telle que d(1) = 0, d(kgk′) = d(g) pour tous k, k′ ∈ K et g ∈ G, et d(gg′) ≤ d(g) + d(g′) pour tous g, g′ ∈ G, en d’autres termes il existe une norme N_{0} sur G telle que N_{0}(k) = 1 pour tout k ∈ K et d(g) = log(N_{0}(g)) pour tout g ∈ G,

– (HC3) ϕ : G →]0, 1] est continue et vérifie les propriétés suivantes

– (HC3a) ϕ(1) = 1,

– (HC3b) pour tout g ∈ G, ϕ(g^{−1}) = ϕ(g),

– (HC3c) pour tout g ∈ G, et pour tous k, k′ ∈ K on a ϕ(kgk′) = ϕ(g),

– (HC3d) pour tous g, g′ ∈ G, on a ∫_{K} ϕ(gkg′)dk = ϕ(g)ϕ(g′),

– (HC3e) pour t ∈ ℝ_{+} assez grand, ∫_{G} ϕ^{2}(g)(1+d(g))^{−t}dg converge.

Nous définissons maintenant un avatar de l’espace de Schwartz sur G.

Définition 4.1.1 Soit (G, K, d, ϕ) un quadruplet satisfaisant (HC). Soit t ∈ ℝ. On note C_{c}(G) l’espace des fonctions continues à support compact de G dans ℂ et S_{t}(G) l’espace de Banach qui est le complété de C_{c}(G) pour la norme

||f||_{S_{t}(G)} = sup_{g∈G} |f(g)|ϕ(g)^{−1}(1 + d(g))^{t}

Le résultat est le suivant (voir la proposition 4.8.1).

Proposition 4.1.2 Soit (G, K, d, ϕ) un quadruplet satisfaisant (HC). Pour t ∈ ℝ_{+} assez grand S_{t}(G) est une bonne complétion de C_{c}(G) et une sousalgèbre de C_{r}^{∗}(G) dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe. En particulier ces deux algèbres ont la même K-théorie.

4.2 Cas des groupes de Lie

Nous montrons que pour tout groupe de Lie semi-simple G il existe K, d, ϕ tels que (G, K, d, ϕ) satisfasse (HC).

Le lemme suivant montre qu’il suffit de le démontrer pour G semi-simple linéaire.

Lemme 4.2.1 Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fini et distingué de G et G_{0} = G/H, en notant π : G → G_{0} la projection. Soient K_{0}, d_{0}, ϕ_{0} tels que (G_{0}, K_{0}, d_{0}, ϕ_{0}) satisfasse à (HC). On pose K = π^{−1}(K_{0}), d = d_{0} ∘ π et ϕ = ϕ_{0} ∘ π. Alors (G, K, d, ϕ) vérifie (HC).

La preuve est immédiate.

Commençons par montrer l’existence de K, d, ϕ tels que (G, K, d, ϕ) vérifie (HC), pour tout groupe de Lie semi-simple linéaire connexe G.

Nous considérons donc un groupe de Lie semi-simple linéaire connexe G, et nous reprenons les notations du chapitre 5 de [Kna86]. On suppose G muni d’une involution de Cartan Θ, et on note 𝔤 = 𝔨 ⊕ 𝔭 la décomposition de l’algèbre de Lie de G induite par la différentielle de Θ en 1. On sait que K = {g ∈ G, Θ(g) = g} est un sous-groupe compact maximal de G d’algèbre de Lie 𝔨. Soit 𝔞 un sous-espace abélien maximal de 𝔭 et A = exp(𝔞) comme dans le chapitre 5 de [Kna86], Σ l’ensemble des racines restreintes, Σ^{+} un système de racines positives, 𝔞^{+} la chambre de Weyl associée, \overline{𝔞^{+}} son adhérence dans 𝔞, A^{+} = exp(𝔞^{+}) et \overline{A^{+}} = exp(\overline{𝔞^{+}}). On note ρ = \frac{1}{2} ∑_{λ∈Σ^{+}}(dim𝔤_{λ})λ, où 𝔤_{λ} est l’espace associé à λ. Par ailleurs soit P l’ensemble des poids dominants. On note C_{c}(G) l’ensemble des fonctions continues à support compact de G dans ℂ. Nous utiliserons le résultat suivant, qui est la proposition 5.28 de [Kna86] :

Proposition 4.2.2 Si les normalisations des mesures de Haar sont compatibles entre elles, on a, pour toute fonction f ∈ C_{c}(G),

∫_{G} f(g)dg = ∫_{K×𝔞^{+}×K}( ∏_{λ∈Σ^{+}}(sinh λ(H))^{dim𝔤_{λ}})f(k_{1}(exp H)k_{2})dk_{1}dHdk_{2}.

Tout élément de G peut être écrit sous la forme k_{1}(exp H)k_{2}, avec k_{1}, k_{2} ∈ K, et H ∈ \overline{𝔞^{+}}, et l’élément H est déterminé de manière unique dans \overline{𝔞^{+}}. Pour tout λ ∈ P, et pour H ∈ \overline{𝔞^{+}} et g ∈ K(exp H)K on pose N_{λ}(g) = exp(λ(H)).

Proposition 4.2.3 Soit λ ∈ P. Alors l’application N_{λ} : G → [1, +∞[ est continue et vérifie

1. N_{λ}(1) = 1,

2. pour g ∈ G et k_{1}, k_{2} ∈ K, on a N_{λ}(k_{1}gk_{2}) = N_{λ}(g),

3. pour g_{1}, g_{2} ∈ G, on a N_{λ}(g_{1}g_{2}) ≤ N_{λ}(g_{1})N_{λ}(g_{2}).

Les deux premières assertions sont évidentes. La preuve de la dernière assertion m’a été expliquée par M.Duflo : elle est claire lorsque λ est le plus haut poids de la restriction à A d’une représentation irréductible π de dimension finie de G, car alors N_{λ}(g) est la norme de π(g), si on munit l’espace de la representation d’une norme hermitienne telle que π(Θ(g)) soit l’inverse de l’adjoint de π(g) pour tout g ∈ G. Une telle norme existe, et est unique à une constante près, car on peut associer à π une représentation irréductible de la forme compacte de G, et celle-ci admet une unique structure hermitienne invariante, à constante près. Le cas général découle de la remarque suivante : tout poids dominant est combinaison à coefficients positifs ou nuls des plus hauts poids des restrictions à A d’un nombre fini de représentations irréductibles de dimension finie de G: en effet la forme compacte de G admet une sous-algèbre de Cartan contenant i𝔞 et les éléments de Σ sont les restrictions à i𝔞 des racines de cette sous-algèbre de Cartan, à condition qu’elles soient non nulles.

Pour tout g ∈ G, notons d(g) = log(N_{ρ}(g)) : on peut considérer d(g) comme la distance de gK à l’origine dans G/K. Il résulte de la proposition ci-dessus que d est une application continue de G dans ℝ_{+} nulle sur K et que pour tous g, g′ ∈ G, d(gg′) ≤ d(g) + d(g′).

Appelons ϕ la fonction sphérique élémentaire sur G, encore appelée fonction de Harish-Chandra, qui est notée φ_{0}^{G} dans le chapitre 7 de [Kna86]. Nous rappelons les propriétés de cette fonction.

Proposition 4.2.4 L’application ϕ est continue de G dans ]0, 1] et vérifie

1. ϕ(1) = 1,

2. ∀g ∈ G, ∀k, k′ ∈ K, ϕ(kgk′) = ϕ(g),

3. ∀g, g′ ∈ G, ∫_{K} ϕ(gkg′)dk = ϕ(g)ϕ(g′), 4. ∀g ∈ G, ϕ(g^{−1}) = ϕ(g),

5. il existe s ∈ ℝ_{+} et une constante C ∈ ℝ_{+} tels que pour tout g ∈ G, on ait ϕ(g) ≤ CN_{ρ}(g)^{−1}(1 + d(g))^{s},

6. pour tout g ∈ G, on a ϕ(g) ≥ N_{ρ}(g)^{−1}.

Les 3 premières assertions sont (7.42),(7.43) et (7.45) de [Kna86] et l’assertion 4 résulte de la définition de ϕ comme coefficient de matrice en (7.40) et (7.41) de [Kna86]. D’après l’assertion 2, il suffit de montrer les deux dernières pour g ∈ exp(\overline{𝔞^{+}}). L’avant-dernière est 7.15.c dans [Kna86], et la dernière découle de 7.15.b et du fait que φ_{ρ}^{G} = 1 dans les notations de Knapp.

Il résulte des propositions 4.2.2 et 4.2.4 que pour t ∈ ℝ_{+} assez grand on a

(g ↦ ϕ(g)(1 + d(g))^{−t}) ∈ L^{2}(G).

Par suite (G, K, d, ϕ) vérifie (HC).

En général, lorsque G est un groupe de Lie semi-simple linéaire, si on note Θ l’involution de Cartan, K = {g ∈ G, Θ(g) = g} et G_{0} la composante connexe de l’identité dans G, et K_{0} = G_{0} ∩ K, on sait par ce qui précède que l’on peut construire d_{0} et ϕ_{0} tels que (G_{0}, K_{0}, d_{0}, ϕ_{0}) vérifie (HC). On étend de façon unique d_{0} et ϕ_{0} en d et ϕ par K-biinvariance et alors (G, K, d, ϕ) vérifie (HC). Ce dernier point m’a été suggéré par Michel Duflo.

4.3 Cas des groupes p-adiques

Je remercie L.Clozel qui m’a beaucoup aidé pour la redaction de ce paragraphe.

Soit G un groupe réductif sur un corps p-adique F ([Sil79], 0.1 et 0.4). Soit (P_{0}, A_{0}) une paire parabolique minimale et P_{0} = M_{0}N_{0} la décomposition de Levi de P_{0} déterminée par A_{0} ([Sil79], 0.3). Une telle paire existe toujours et A_{0} est un tore déployé maximal. Soit enfin K un sous-groupe compact maximal de G bon pour A_{0} ([Sil79], 0.6). Bruhat et Tits ont montré qu’un tel sous-groupe K existe toujours. Il existe un plongement G ↪ GL(n, F) tel que l’image de K soit incluse dans GL(n, O), où O est l’anneau des entiers de F et on note σ(x) = log_{q} ∥x∥ comme dans [Sil79], 4.1. Enfin on note Ξ la fonction sphérique définie dans [Sil79], 4.2 et associée à (P_{0}, A_{0}) et K. D’après les remarques au début de 4.2 et le lemme 4.2.5 de [Sil79], le quadruplet (G, K, σ, Ξ) satisfait (HC).

Soit 𝔞_{0} l’algèbre de Lie réelle associée à A_{0} et 𝔞_{0}^{+} une chambre de Weyl fermée ([Sil79], 0.5). Par définition 𝔞_{0} = Hom(X(M_{0}), ℤ) ⊗ ℝ, d’où un homomorphisme H_{M_{0}} : M_{0} → 𝔞_{0}. On définit ^{0}M_{0} comme le noyau de cet homomorphisme et on en déduit un plongement, encore noté H_{M_{0}} de M_{0}/^{0}M_{0} dont l’image est un réseau de 𝔞_{0} ([Sil79], 0.5). Comme K est bon pour A_{0}, d’après [Sil79], 0.6, on a la décomposition de Cartan G = K(M_{0}^{+}/^{0}M_{0})K où M_{0}^{+} = H_{M_{0}}^{−1}(𝔞_{0}^{+}) et pour tout λ ∈ 𝔞_{0}^{+} on définit une fonction N_{λ} : G → [1, +∞[ en posant N_{λ}(kmk′) = q^{⟨λ,H_{M_{0}}(m)⟩} pour k, k′ ∈ K et m ∈ M_{0}^{+}. D’après l’assertion (iii) de la proposition 4.4.4 de [BT72] (cette référence m’a été indiquée par L.Clozel), si l’on suppose de plus que K contient B̂ dans les notations de [BT72], ce que je crois être possible, pour tout λ ∈ 𝔞_{0}^{+}, N_{λ} est une norme sur G. D’après le théorème 4.2.1 de [Sil79] il existe r_{0} ∈ ℕ et c_{1}, c_{2} ∈ ℝ_{+}^{∗} tels que c_{1} ≤ δ_{P_{0}}(m)^{\frac{1}{2}} Ξ(m) ≤ c_{2}(1 + σ(m))^{r_{0}} pour tout m ∈ M_{0}^{+}. Or d’après le lemme 1.2.1.1 de [Sil79] on a δ_{P_{0}}(m) = q^{2⟨ρ,H_{M_{0}}(m)⟩} où ρ est la demi-somme des éléments de Σ(P_{0}, A_{0}), c’est-à-dire des racines positives de Σ(G, A_{0}), comptées avec multiplicité. D’où c_{1}N_{ρ}(g)^{−1} ≤ Ξ(g) ≤ c_{2}(1 + σ(g))^{r_{0}}N_{ρ}(g)^{−1} pour tout g ∈ G, en utilisant la décomposition de Cartan.

4.4 Espaces de Schwartz généralisés

Dans la suite (G, K, d, ϕ) est un quadruplet satisfaisant à (HC) et A désigne une algèbre de Banach sur laquelle G agit de façon continue par automorphismes préservant la norme.

4.4.1 Définition

Nous allons construire des espaces qui généralisent l’espace de Schwartz introduit par Harish-Chandra. Ce dernier est égal à ∩_{p∈ℝ}S_{p}^{0}(G, ℂ) dans la définition suivante, si on oublie les conditions de régularité. Il est essentiel pour nous de construire des algèbres de Banach et non des algèbres de Fréchet.

Définition 4.4.1 Soient N une norme sur G et t ∈ ℝ. On définit S_{t}^{N}(G, A) comme la complétion de l’espace C_{c}(G, A) des fonctions continues à support compact de G dans A, pour la norme

||f||_{S_{t}^{N} (G,A)} = sup_{g∈G} ||f(g)||_{A}ϕ(g)^{−1}N(g)(1 + d(g))^{t}.

Lorsque G est un groupe de Lie semi-simple linéaire connexe, λ un multiple de ρ, N = N_{λ} et A = ℂ, des espaces analogues aux espaces ci-dessus apparaissent dans [GV88]. Le lemme suivant énonce deux propriétés évidentes vérifées par ces normes.

Lemme 4.4.2 Soient N une norme sur G et s, t ∈ ℝ tels que t ≥ s. Alors S_{t}^{N}(G, A) ⊂ S_{s}^{N}(G, A) et pour tout f ∈ S_{t}^{N}(G, A) on a ||f||_{S_{t}^{N} (G,A)} ≥ ||f||_{S_{s}^{N} (G,A)}. Soit de plus θ ∈ [0, 1] et r = θs + (1 − θ)t. Alors pour tout f ∈ S_{t}^{N}(G, A) on a

||f||_{S_{r}^{N} (G,A)} ≤ ||f||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{θ}||f||_{S_{t}^{N} (G,A)}^{1−θ}.

4.4.2 Structure d’algèbre de Banach

On munit C_{c}(G, A) du produit suivant : lorsque f_{1}, f_{2} ∈ C_{c}(G, A), on pose (f_{1} ∗ f_{2})(g) = ∫_{G} f_{1}(g_{1})(g_{1}(f_{2}(g_{1}^{−1}g)))dg_{1}. Intuitivement on peut noter les éléments de C_{c}(G, A) sous la forme f = ∫_{G} f(g)e_{g}dg.

Proposition 4.4.3 Soit t ∈ ℝ_{+} tel que ∫_{G} ϕ^{2}(g)(1 + d(g))^{−t}dg converge. Alors pour toute norme N sur G le produit ci-dessus munit S_{t}^{N}(G, A) d’une structure d’algèbre de Banach et en notant C = ∫_{G} ϕ^{2}(g)(1 + d(g))^{−t}dg on a ||f_{1} ∗ f_{2}||_{S_{t}^{N} (G,A)} ≤ 2C||f_{1}||_{S_{t}^{N} (G,A)}||f_{2}||_{S_{t}^{N} (G,A)} pour tous f_{1}, f_{2} ∈ C_{c}(G, A).

Démonstration. On a

||(f_{1} ∗ f_{2})(g)||_{A} ≤ ∫_{G} ||f_{1}(g_{1})||_{A}||f_{2}(g_{1}^{−1}g)||_{A}dg_{1}
≤ ||f_{1}||_{S_{t}^{N} (G,A)}||f_{2}||_{S_{t}^{N} (G,A)} ∫_{G} ϕ(g_{1})N(g_{1})^{−1}(1 + d(g_{1}))^{−t}
ϕ(g_{1}^{−1}g)N(g_{1}^{−1}g)^{−1}(1 + d(g_{1}^{−1}g))^{−t}dg_{1},

à supposer que la dernière intégrale converge. Or N(g_{1})^{−1}N(g_{1}^{−1}g)^{−1} ≤ N(g)^{−1}. Donc il nous suffit de montrer que dans l’inégalité suivante le membre de gauche converge et que l’inégalité a lieu :

∫_{G} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)(1 + d(g_{1}^{−1}g))^{−t}dg_{1} ≤ 2Cϕ(g)(1 + d(g))^{−t}.(4.1)

Si d(g_{1}) ≤ d(g)/2 on a d(g_{1}^{−1}g) ≥ d(g)/2. D’où

∫_{g_{1}∈G,d(g_{1})≤d(g)/2} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)(1 + d(g_{1}^{−1}g))^{−t}dg_{1}
≤ 2^{t}(1 + d(g))^{−t} ∫_{G} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)dg_{1}.

Or

∫_{G} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)dg_{1} = ∫_{G×K} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}kg)dg_{1}dk

= ( ∫_{G} ϕ^{2}(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}dg_{1})ϕ(g) = Cϕ(g).(4.2)

Il reste à estimer la deuxième partie de l’intégrale :

∫_{g_{1}∈G,d(g_{1})≥d(g)/2} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)(1 + d(g_{1}^{−1}g))^{−t}dg_{1}
≤ 2^{t}(1 + d(g))^{−t} ∫_{G} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}^{−1}g))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)dg_{1}.

Le changement de variable g_{2} = g_{1}^{−1}g montre que cette dernière intégrale est égale à

∫_{G} ϕ(gg_{2}^{−1})(1 + d(g_{2}))^{−t}ϕ(g_{2})dg_{2} = ∫_{G×K} ϕ(gkg_{2}^{−1})(1 + d(g_{2}))^{−t}ϕ(g_{2})dg_{2}dk

= ( ∫_{G} ϕ^{2}(g_{2})(1 + d(g_{2}))^{−t}dg_{2})ϕ(g) = Cϕ(g).

4.4.3 Relations de plénitude

Rappelons la définition de la plénitude.

Définition 4.4.4 Soient A et B deux algèbres de Banach et θ : A → B un morphisme d’algèbres de Banach. On dit que θ est d’image dense si θ(A) est dense dans B et que θ est plein si pour tout x ∈ A le rayon spectral de x dans A est égal au rayon spectral de θ(x) dans B. Lorsque θ est injectif, on dit que A est une sous-algèbre dense et pleine de B si θ est d’image dense et plein.

L’intérêt de cette notion est qu’un morphisme d’image dense et plein induit un isomorphisme en K-théorie. Cela résulte du théorème A.2.1 de [Bos90] car on vérifie aisément que pour tout morphisme θ : A → B d’image dense et plein on a θ̃^{−1}(B̃^{−1}) = Ã^{−1}, c’est-à-dire que, pour tout x ∈ A, le spectre de x dans A est égal au spectre de θ(x) dans B.

Proposition 4.4.5 Soient s ∈ ℝ_{+} tel que ∫_{G} ϕ^{2}(g)(1 + d(g))^{−s}dg converge et t ∈ ℝ_{+} tel que t ≥ s. Soit N une norme sur G. Alors S_{t}^{N}(G, A) est une sous-algèbre dense et pleine de S_{s}^{N}(G, A).

Démonstration. Soit f ∈ S_{t}^{N}(G, A). Nous devons montrer

lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)}^{1/m} = lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{1/m}.

On a

||f^{m}(g)||_{A} ≤ ∫_{g_{1}...g_{m}=g} ||f(g_{1})||_{A} … ||f(g_{m−1})||_{A}||f(g_{m})||_{A}dg_{1} … dg_{m−1}

≤ ∑_{i=1}^{m} ∫_{g_{1}...g_{m}=g,d(g_{i})≥d(g)/m} ||f(g_{1})||_{A} … ||f(g_{m−1})||_{A}||f(g_{m})||_{A}dg_{1} … dg_{m−1}

≤ ∑_{i=1}^{m} ||f||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{m−1}||f||_{S_{t}^{N} (G,A)} ∫_{g_{1}...g_{m}=g,d(g_{i})≥d(g)/m} \frac{ϕ(g_{1})}{N(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{s}} …

\frac{ϕ(g_{i})}{N(g_{i})(1 + d(g_{i}))^{t}} … \frac{ϕ(g_{m})}{N(g_{m})(1 + d(g_{m}))^{s}} dg_{1} … dg_{m−1}

≤ ∑_{i=1}^{m} ||f||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{m−1}||f||_{S_{t}^{N} (G,A)} \frac{m^{t−s}}{(1 + d(g))^{t−s}} ∫_{g_{1}...g_{m}=g} \frac{ϕ(g_{1})}{N(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{s}} …

\frac{ϕ(g_{i})}{N(g_{i})(1 + d(g_{i}))^{s}} … \frac{ϕ(g_{m})}{N(g_{m})(1 + d(g_{m}))^{s}} dg_{1} … dg_{m−1}

≤ ||f||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{m−1}||f||_{S_{t}^{N} (G,A)} \frac{m^{t−s+1}}{(1 + d(g))^{t−s}} (2C)^{m−1} \frac{ϕ(g)}{N(g)(1 + d(g))^{s}} ,

où C = ∫_{G} ϕ^{2}(g)(1 + d(g))^{−t}dg d’après la proposition 4.4.3 et l’hypothèse faite sur s. D’où

||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)} ≤ m^{t−s+1}(2C)^{m−1}||f||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{m−1}||f||_{S_{t}^{N} (G,A)}.

En faisant tendre m vers l’infini on obtient l’inégalité

lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)}^{1/m} ≤ 2C||f||_{S_{s}^{N} (G,A)}.

En remplaçant f par f^{n} puis en faisant tendre n vers l’infini on en déduit l’inégalité

lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)}^{1/m} ≤ lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{1/m}

et l’inégalité dans l’autre sens est immédiate.

4.4.4 Un raffinement

Proposition 4.4.6 Soit t_{0} ∈ ℝ_{+} tel que ∫_{G} ϕ^{2}(g)(1 + d(g))^{−t_{0}}dg converge. Soient t ∈ ℝ_{+} tel que t > t_{0}, s ∈ ℝ tel que s ≤ t, et N une norme sur G. Alors

pour tout f ∈ S_{t}^{N}(G, A), lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{1/m} existe et

lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{1/m} = lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)}^{1/m}.

On remarque que S_{s}^{N}(G, A) n’est pas en général une algèbre. Démonstration. Si s = t il n’y a rien à dire. Sinon soit r tel que t > r > max(t_{0}, s). Ecrivons r = θs+(1−θ)t, avec θ ∈]0, 1[. On a, pour tout m ∈ ℕ^{∗},

||f^{m}||_{S_{r}^{N} (G,A)} ≤ ||f^{m}||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{θ}||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)}^{1−θ}.

D’où, si ||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)} est non nul,

||f^{m}||_{S_{s}^{N} (G,A)} ≥ ||f^{m}||_{S_{r}^{N} (G,A)}^{1/θ}||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)}^{1−1/θ}.  (4.3)

Distinguons deux cas : si lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)}^{1/m} = 0, comme ||f^{m}||_{S_{s}^{N} (G,A)} ≤

||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)}, la limite lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{1/m} existe et vaut 0. Si lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)}^{1/m}

est non nulle, elle est égale à lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{r}^{N} (G,A)}^{1/m} d’après la proposition 4.4.5,

et donc lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{s}^{N} (G,A)}^{1/m} existe et lui est égale d’après (4.3) et grâce à l’inégalité ||f^{m}||_{S_{s}^{N} (G,A)} ≤ ||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)}.

4.5 Action des espaces de Schwartz sur des espaces L^{p}

Dans toute cette section nous considérons un quadruplet (G, K, d, ϕ) satisfaisant (HC) et une algèbre de Banach A sur laquelle G agit de façon continue par automorphismes préservant la norme.

Définition 4.5.1 Soient N une norme sur G et p ∈ [1, +∞]. On note C_{c}(G, A) l’espace des fonctions continues à support compact de G dans A et L_{norm}^{p,N}(G, A) la complétion de C_{c}(G, A) pour la norme

∥f∥_{L_{norm}^{p,N}(G,A)} = (∫_{G} (∥f(g)∥_{A}ϕ(g)^{\frac{2}{p} −1}N(g))^{p}dg)^{1/p} si p < +∞

et ∥f∥_{L_{norm}^{∞,N}(G,A)} = sup_{g∈G} ∥f(g)∥_{A}ϕ(g)^{−1}N(g) si p = +∞.

Lorsque N = 1, ces espaces sont des espaces L^{p} normalisés par ϕ de sorte que l’on impose aux fonctions K-biinvariantes en gros la même décroissance à l’infini, à savoir celle de ϕ, pour toute valeur de p.

Proposition 4.5.2 Si t ∈ ℝ_{+} est assez grand pour que ∫ ϕ(g)^{2}(1+d(g))^{−t}dg converge, et en notant C la valeur de cette intégrale, pour toute norme N sur G, pour tout p ∈ [1, +∞] et pour tous f_{1}, f_{2} ∈ C_{c}(G, A), on a

∥f_{1} ∗ f_{2}∥_{L_{norm}^{p,N}(G,A)} ≤ C∥f_{1}∥_{S_{t}^{N} (G,A)}∥f_{2}∥_{L_{norm}^{p,N}(G,A)},

et donc on a une inclusion

S_{t}^{N}(G, A) ∗ L_{norm}^{p,N}(G, A) ⊂ L_{norm}^{p,N}(G, A).

Démonstration de la proposition. L’idée de cette preuve m’a été suggérée par Kroum Tzanev. Soit t ∈ ℝ_{+} tel que ∫ ϕ(g)^{2}(1+d(g))^{−t}dg converge. On pose C = ∫ ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{−t}dg.

On doit montrer que, pour tout p ∈ [1, +∞], pour toute norme N sur G et pour toute fonction h ∈ C_{c}(G, ℝ_{+}), on a

∥g ↦ N(g)ϕ(g)^{\frac{2}{p} −1} ∫_{G} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}N(g_{1})^{−1}ϕ(g_{1}^{−1}g)^{− \frac{2}{p} +1}
N(g_{1}^{−1}g)^{−1}h(g_{1}^{−1}g)dg_{1}∥_{L^{p}(G,ℝ_{+})} ≤ C∥h∥_{L^{p}(G,ℝ_{+})}

en notant ∥.∥_{L^{p}(G,ℝ_{+})} la norme L^{p} usuelle, non normalisée.

Comme N(g) ≤ N(g_{1})N(g_{1}^{−1}g), il suffit de montrer que pour tout p ∈ [1, +∞] et pour toute fonction h ∈ C_{c}(G, ℝ_{+}),

∥g ↦ ϕ(g)^{\frac{2}{p} −1} ∫_{G} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)^{− \frac{2}{p} +1}h(g_{1}^{−1}g)dg_{1}∥_{L^{p}(G,ℝ_{+})}

≤ C∥h∥_{L^{p}(G,ℝ_{+})}.

Pour rédiger la preuve nous supposons p ∈]1, +∞[, mais la preuve s’étend aux cas p = 1 et p = +∞. Introduisons q ∈]1, +∞[ tel que 1/p + 1/q = 1. D’après l’inégalité de Hölder, comme −\frac{2}{p} + 1 = \frac{1}{q} − \frac{1}{p}, on a

∫_{G} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)^{− \frac{2}{p} +1}h(g_{1}^{−1}g)dg_{1}
= ∫_{G}(ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)^{−1}h(g_{1}^{−1}g)^{p})^{\frac{1}{p}}
(ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g))^{\frac{1}{q}} dg_{1}
≤ (∫_{G} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)^{−1}h(g_{1}^{−1}g)^{p}dg_{1})^{\frac{1}{p}}

(∫_{G} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)dg_{1})^{\frac{1}{q}} .  (4.4)

D’après (4.2),

∫_{G} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)dg_{1} = Cϕ(g).  (4.5)

D’après (4.4) et (4.5), comme p(\frac{2}{p} − 1) = 1 − \frac{p}{q},

∥g ↦ ϕ(g)^{\frac{2}{p} −1} ∫_{G} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)^{− \frac{2}{p} +1}h(g_{1}^{−1}g)dg_{1}∥_{L^{p}(G,ℝ_{+})}^{p}

≤ ∫_{G×G} ϕ(g)^{1− \frac{p}{q}} ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)^{−1}h(g_{1}^{−1}g)^{p}(Cϕ(g))^{\frac{p}{q}} dg_{1}dg

= ∫_{G×G} ϕ(g)ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{1}^{−1}g)^{−1}h(g_{1}^{−1}g)^{p}C^{\frac{p}{q}} dg_{1}dg
= ∫_{G×G} ϕ(g_{1}g_{2})ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{2})^{−1}h(g_{2})^{p}C^{\frac{p}{q}} dg_{1}dg_{2}

en faisant le changement de variables g = g_{1}g_{2} et enfin

∫_{G×G} ϕ(g_{1}g_{2})ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}ϕ(g_{2})^{−1}h(g_{2})^{p}C^{\frac{p}{q}} dg_{1}dg_{2}
= C^{1+ \frac{p}{q}} ∫_{G} h(g_{2})^{p}dg_{2},

car, par un calcul analogue à (4.5), on a

∫_{G} ϕ(g_{1}g_{2})ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}dg_{1} = Cϕ(g_{2}).

Ceci clôt la démonstration de la proposition car (C^{1+ \frac{p}{q}})^{\frac{1}{p}} = C.

4.6 Questions de plénitude liées à l’action sur les espaces L^{p}

Lorsque E est un espace de Banach, notons L(E) l’algèbre des endomorphismes continus de E, munie de la norme d’opérateur. Sous les hypothèses de la proposition 4.5.2, il existe un morphisme continu d’algèbres de Banach ι : S_{t}^{N}(G, A) → L(L_{norm}^{p,N}(G, A)).

Proposition 4.6.1 Si t ∈ ℝ_{+}^{∗} est assez grand pour que l’intégrale ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{− \frac{t}{2}} dg converge, pour toute norme N sur G et pour tout p ∈ [1, +∞] le morphisme d’algèbres de Banach

ι : S_{t}^{N}(G, A) → L(L_{norm}^{p,N}(G, A))

défini à la proposition 4.5.2 est plein.

Nous commençons par un lemme.

Lemme 4.6.2 Si t ∈ ℝ_{+} est assez grand pour que l’intégrale ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{− \frac{t}{2}} dg converge, pour toute norme N sur G et tout p ∈ [1, +∞], on a une inclusion continue

S_{t}^{N}(G, A) ∗ L_{norm}^{p,N}(G, A) ∗ S_{t}^{N}(G, A) ⊂ S_{−t}^{N}(G, A),

ou, plus précisément, en notant C la valeur de l’intégrale ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{− \frac{t}{2}} dg, pour tous f_{1}, f_{2}, f_{3} ∈ C_{c}(G, A) on a

∥f_{1} ∗ f_{2} ∗ f_{3}∥_{S_{−t}^{N}(G,A)} ≤ C^{2− \frac{1}{p}} ∥f_{1}∥_{S_{t}^{N} (G,A)}∥f_{2}∥_{L_{norm}^{p,N}(G,A)}∥f_{3}∥_{S_{t}^{N} (G,A)}.

Démonstration du lemme. Soit t ∈ ℝ_{+} tel que l’intégrale ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{− \frac{t}{2}} dg

converge. Posons C = ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{− \frac{t}{2}} dg. Nous allons montrer que pour toute norme N sur G, pour tout p ∈ [1, +∞], pour tout h ∈ C_{c}(G, ℝ_{+}) et pour tout g ∈ G

∫_{G×G} (ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t}N(g_{1})^{−1})(h(g_{2})ϕ(g_{2})^{− \frac{2}{p} +1}N(g_{2})^{−1})
(ϕ(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g)(1 + d(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g))^{−t}N(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g)^{−1})dg_{1}dg_{2}
≤ C^{2− \frac{1}{p}} ∥h∥_{L^{p}(G,ℝ_{+})}ϕ(g)(1 + d(g))^{t}N(g)^{−1}.

Comme N(g) ≤ N(g_{1})N(g_{2})N(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g), il suffit de montrer que pour tout p ∈ [1, +∞], pour tout h ∈ C_{c}(G, ℝ_{+}) et pour tout g ∈ G

∫_{G×G} (ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t})(h(g_{2})ϕ(g_{2})^{− \frac{2}{p} +1})

(ϕ(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g)(1 + d(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g))^{−t})dg_{1}dg_{2} ≤ C^{2− \frac{1}{p}} ∥h∥_{L^{p}(G,ℝ_{+})}ϕ(g)(1 + d(g))^{t}.

Pour rédiger la preuve nous supposons p ∈]1, +∞[, mais la preuve s’étend aux cas p = 1 et p = +∞. Introduisons q ∈]1, +∞[ tel que 1/p+1/q = 1. Par dualité entre L^{p}(G, ℝ_{+}) et L^{q}(G, ℝ_{+}) cela revient à montrer que pour tout p ∈ [1, +∞] et pour tout g ∈ G

∥g_{2} ↦ ∫_{G} (ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t})(ϕ(g_{2})^{− \frac{2}{p} +1})

(ϕ(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g)(1 + d(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g))^{−t})dg_{1}∥_{L^{q}(G,ℝ_{+})} ≤ C^{2− \frac{1}{p}} ϕ(g)(1 + d(g))^{t}.

Or comme t ≥ 0, on a (1 + d(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g))^{−t} ≤ (1 + d(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g))^{− \frac{t}{2}}

≤ (1 + d(g_{2}))^{− \frac{t}{2}} (1 + d(g_{1}))^{\frac{t}{2}} (1 + d(g))^{\frac{t}{2}} .

D’où ∫_{G} (ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{−t})(ϕ(g_{2})^{− \frac{2}{p} +1})(ϕ(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g)(1 + d(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g))^{−t})dg_{1}

≤ (1 + d(g))^{\frac{t}{2}} ϕ(g_{2})^{− \frac{2}{p} +1}(1 + d(g_{2}))^{− \frac{t}{2}}

∫_{G} (ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{− \frac{t}{2}} )(ϕ(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g))dg_{1}.(4.6)

Mais

∫_{G} (ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{− \frac{t}{2}} )(ϕ(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g))dg_{1}
= ∫_{G×K×K} (ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{− \frac{t}{2}} )(ϕ(g_{2}^{−1}kg_{1}^{−1}k′g))dg_{1}dkdk′
= (∫_{G} ϕ(g_{1})^{2}(1 + d(g_{1}))^{− \frac{t}{2}} dg_{1})ϕ(g_{2})ϕ(g) = Cϕ(g_{2})ϕ(g).  (4.7)

En reportant (4.7) dans (4.6) il vient (1 + d(g))^{\frac{t}{2}} ϕ(g_{2})^{− \frac{2}{p} +1}(1 + d(g_{2}))^{− \frac{t}{2}} ∫_{G} (ϕ(g_{1})(1 + d(g_{1}))^{− \frac{t}{2}} )(ϕ(g_{2}^{−1}g_{1}^{−1}g))dg_{1}

≤ C(ϕ(g)(1 + d(g))^{\frac{t}{2}} )(ϕ(g_{2})^{− \frac{2}{p} +2}(1 + d(g_{2}))^{− \frac{t}{2}} ),

et comme −\frac{2}{p} + 2 = \frac{2}{q}, on a ∥g_{2} ↦ ϕ(g_{2})^{− \frac{2}{p} +2}(1 + d(g_{2}))^{− \frac{t}{2}} ∥_{L^{q}(G,ℝ_{+})} ≤ C^{\frac{1}{q}}, d’où

∥g_{2} ↦ C(ϕ(g)(1 + d(g))^{\frac{t}{2}} )(ϕ(g_{2})^{− \frac{2}{p} +2}(1 + d(g_{2}))^{− \frac{t}{2}} )∥_{L^{q}(G,ℝ_{+})}
≤ C^{2− \frac{1}{p}} ϕ(g)(1 + d(g))^{\frac{t}{2}} ≤ C^{2− \frac{1}{p}} ϕ(g)(1 + d(g))^{t}

ce qu’il fallait démontrer.

Démonstration de la proposition. Soit t ∈ ℝ_{+}^{∗} tel que l’intégrale ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{− \frac{t}{2}} dg converge. Comme l’intégrale ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{−t}dg converge on a S_{t}^{N}(G, A) ⊂ L_{norm}^{p,N}(G, A) et comme ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{− \frac{t}{2}} dg converge on peut appliquer le lemme 4.6.2. Il existe donc des constantes C et C′ telles que pour tout f ∈ S_{t}^{N}(G, A) on ait

∥f^{m}∥_{S_{−t}^{N}(G,A)} ≤ C∥f∥_{S_{t}^{N} (G,A)}∥f^{m−2}∥_{L_{norm}^{p,N}(G,A)}∥f∥_{S_{t}^{N} (G,A)}
≤ C′∥f∥_{S_{t}^{N} (G,A)}^{3}∥ι(f)^{m−3}∥_{L(L_{norm}^{p,N}(G,A))}.

D’où, pour tout f ∈ S_{t}^{N}(G, A),

lim sup_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{−t}^{N}(G,A)}^{1/m} ≤ lim_{m→∞} ||ι(f)^{m}||_{L(L_{norm}^{p,N}(G,A))}^{1/m}.

Comme t/2 < t on peut appliquer la proposition 4.4.6 à t et à s = −t et on obtient

lim sup_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{−t}^{N}(G,A)}^{1/m} = lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{t}^{N} (G,A)}^{1/m}.

Ainsi la proposition est démontrée.

4.7 Lien avec les algèbres L^{1}(G, A)

Dans toute cette section nous considérons un quadruplet (G, K, d, ϕ) satisfaisant (HC) et une algèbre de Banach A sur laquelle G agit de façon continue par automorphismes préservant la norme.

Définition 4.7.1 Soit N une norme sur G et t ∈ ℝ_{+}. On note L_{t}^{1,N}(G, A) la complétion de C_{c}(G, A) pour la norme

∥f∥_{L_{t}^{1,N} (G,A)} = ∫_{G} ∥f(g)∥_{A}N(g)(1 + d(g))^{t}dg.

Il est immédiat que L_{t}^{1,N}(G, A) est une algèbre de Banach pour le produit de convolution.

Proposition 4.7.2 Soit N une norme sur G et s, t ∈ ℝ_{+} avec s ≤ t. Alors L_{t}^{1,N}(G, A) est une sous-algèbre dense et pleine de L_{s}^{1,N}(G, A).

La preuve de cette proposition est analogue à celle de la proposition 4.4.5.

Pour trouver des espaces de Schwartz généralisés pleins dans ces algèbres nous avons besoin d’une donnée supplémentaire.

Nous dirons qu’une norme N_{ϕ} sur G vérifie la propriété (N) si les conditions suivantes sont satisfaites :

– (N1) N_{ϕ}(1) = 1 et pour tout g ∈ G, N_{ϕ}(g^{−1}) = N_{ϕ}(g), – (N2) pour tous g ∈ G et k, k′ ∈ K, N_{ϕ}(kgk′) = N_{ϕ}(g),

– (N3) il existe s ∈ ℝ_{+} et deux constantes C_{1} et C_{2} dans ℝ_{+}^{∗} tels que, pour tout g ∈ G,

C_{1}N_{ϕ}(g)^{−1} ≤ ϕ(g) ≤ C_{2}N_{ϕ}(g)^{−1}(1 + d(g))^{s}.

Notons que si G est un groupe de Lie semi-simple linéaire connexe, et K, d, ϕ sont comme dans le paragraphe 2, N_{ϕ} = N_{ρ} convient. Dans le cas d’un groupe de Lie semi-simple général on peut prendre les images inverses de K, d, ϕ et N_{ϕ} associés au groupe adjoint.

De même, si G est un groupe réductif sur un corps p-adique et K, σ et Ξ sont comme dans le paragraphe 4.3, N_{ϕ} = N_{ρ} convient.

Proposition 4.7.3 Soit N_{ϕ} une norme sur G vérifiant (N). Alors pour t ∈ ℝ_{+} assez grand, pour tout s ∈ ℝ_{+} et pour toute norme N sur G, S_{s+t}^{N_{ϕ}N}(G, A) est une sous-algèbre dense et pleine de L_{s}^{1,N}(G, A).

Démonstration. Soit t_{1} ∈ ℝ_{+} tel que

(g ↦ ϕ(g)N_{ϕ}(g)^{−1}(1 + d(g))^{−t_{1}}) appartienne à L^{1}(G, ℝ_{+}).

Si t ≥ t_{1}, pour tout s ∈ ℝ_{+} et pour toute norme N, S_{s+t}^{N_{ϕ}N}(G, A) est une sous-algèbre de L_{s}^{1,N}(G, A), et elle est évidemment dense.

Soit t_{2} ∈ ℝ_{+} tel qu’il existe une constante C_{2} ∈ ℝ_{+} avec C_{2}(1 + d(g))^{t_{2}} ≥ N_{ϕ}(g)ϕ(g) pour tout g ∈ G. On a

L_{t_{2}}^{1,N}(G, A) ⊂ L_{norm}^{1,N_{ϕ}N}(G, A).  (4.8)

Soient enfin t_{0} comme dans la proposition 4.4.6 et t_{3} tel que pour t ≥ t_{3} la conclusion du lemme 4.6.2 soit vraie.

Alors pour tout t > max(t_{0}, t_{1}+t_{2}, t_{3}), pour tout s ∈ ℝ_{+}, pour toute norme N sur G, S_{s+t}^{N_{ϕ}N}(G, A) est une sous-algèbre dense et pleine de L_{s}^{1,N}(G, A). En effet par le lemme 4.6.2 et à cause de (4.8) il existe des constantes C et C′ telles que pour tout f ∈ C_{c}(G, A), on ait

∥f^{m}∥_{S_{−s−t}^{N_{ϕ}N}(G,A)} ≤ C∥f∥_{S_{s+t}^{N_{ϕ}N} (G,A)}∥f^{m−2}∥_{L_{norm}^{1,N_{ϕ}N} (G,A)}∥f∥_{S_{s+t}^{N_{ϕ}N} (G,A)}
≤ C′∥f∥_{S_{s+t}^{N_{ϕ}N} (G,A)}∥f^{m−2}∥_{L_{t_{2}}^{1,N} (G,A)}∥f∥_{S_{s+t}^{N_{ϕ}N} (G,A)}.

Comme s + t ≥ t_{1} + t_{2}, l’inégalité ci-dessus s’étend à tout f ∈ S_{s+t}^{N_{ϕ}N}(G, A). En passant à la limite, on obtient, pour tout f ∈ S_{s+t}^{N_{ϕ}N}(G, A),

lim sup_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{−s−t}^{N_{ϕ}N}(G,A)}^{1/m} ≤ lim_{m→∞} ||f^{m}||_{L_{t_{2}}^{1,N} (G,A)}^{1/m}.

Comme s + t > t_{0}, d’après la proposition 4.4.6, on a

lim sup_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{−s−t}^{N_{ϕ}N}(G,A)}^{1/m} = lim_{m→∞} ||f^{m}||_{S_{s+t}^{N_{ϕ}N} (G,A)}^{1/m}.

Enfin par la proposition 4.7.2,

lim_{m→∞} ||f^{m}||_{L_{t_{2}}^{1,N} (G,A)}^{1/m} = lim_{m→∞} ||f^{m}||_{L_{s}^{1,N} (G,A)}^{1/m}.

La démonstration est achevée.

En fait en utilisant une version un peu modifiée du lemme 4.6.2, on pourrait éviter le recours à la proposition 4.7.2.

4.8 Lien avec C_{r}^{∗}(G, A)

Récapitulons d’abord ce qui a été démontré concernant C_{r}^{∗}(G). Soit (G, K, d, ϕ) un quadruplet satisfaisant (HC). Les propositions 4.5.2 et 4.6.1 impliquent le résultat suivant.

Proposition 4.8.1 Si t ∈ ℝ_{+}^{∗} est assez grand pour que l’intégrale ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{− \frac{t}{2}} dg converge, S_{t}(G) est une sous-algèbre dense et pleine de C_{r}^{∗}(G).

Soit maintenant A une C^{∗}-algèbre munie d’une action continue de G par automorphismes de C^{∗}-algèbres.

Proposition 4.8.2 Si t ∈ ℝ_{+} est assez grand pour que l’intégrale ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{−t}dg converge, S_{t}(G, A) est une sous-algèbre dense de C_{r}^{∗}(G, A).

Il est important de noter que cette sous-algèbre n’est pas pleine en général. On le voit facilement lorsque A = C(G/Γ) où Γ est un sous-groupe discret cocompact de G. Elle n’est même pas pleine lorsque A = C(G/B) avec G = SL(n, ℂ) et B le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures, mais cela est un peu plus dur à démontrer. Démonstration de la proposition. On note L^{2}(G, A) le complété de C_{c}(G, A) pour la structure suivante de A-module préhilbertien : pour a ∈ A et x, y ∈ C_{c}(G, A),

(xa)(g) = x(g)a et ⟨x, y⟩ = ∫_{G} x^{∗}(g)y(g)dg.

Comme G est unimodulaire on munit C_{c}(G, A) de l’involution suivante : pour f ∈ C_{c}(G, A) et g ∈ G, f^{∗}(g) = g(f(g^{−1}))^{∗}. L’action de C_{c}(G, A) sur L^{2}(G, A) donnée par

(fx)(g) = ∫_{G} g^{−1}(f(g_{1}))x(g_{1}^{−1}g)dg_{1}
pour f ∈ C_{c}(G, A) et x ∈ C_{c}(G, A) ⊂ L^{2}(G, A)

définit un morphisme involutif de C_{c}(G, A) vers l’algèbre des endomorphismes de A-modules hilbertiens de L^{2}(G, A) et on rappelle que C_{r}^{∗}(G, A) est l’adhérence de l’image de C_{c}(G, A) par ce morphisme. Les conventions que nous avons adoptées sont celles de [Kas88], 1.3 et 1.7.

Soit t ∈ ℝ_{+} tel que l’intégrale ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{−t}dg converge. On pose C = ∫_{G} ϕ(g)^{2}(1 + d(g))^{−t}dg. Il est clair que pour tout f ∈ C_{c}(G, A) on a ∥f∥_{L^{2}(G,A)} ≤ C^{\frac{1}{2}} ∥f∥_{S_{t}(G,A)}. Par la proposition 4.4.3, S_{t}(G, A) est une algèbre et l’involution préserve la norme de S_{t}(G, A). On conclut en appliquant le lemme ci-dessous à S_{t}(G, A) munie de la norme max(1, C)∥.∥_{S_{t}(G,A)}.

Lemme 4.8.3 Soient G un groupe localement compact unimodulaire et A une G-C^{∗}-algèbre et B une algèbre de Banach contenant C_{c}(G, A) comme sous-algèbre dense et telle que l’on ait ∥f∥_{B} = ∥f^{∗}∥_{B}, ∥f∥_{B} ≤ ∥f∥_{L^{2}(G,A)} pour f ∈ C_{c}(G, A) et ∥f_{1}f_{2}||_{B} ≤ ∥f_{1}∥_{B}∥f_{2}∥_{B} pour f_{1}, f_{2} ∈ B. Alors ∥f∥_{C_{r}^{∗}(G,A)} ≤ ∥f∥_{B} pour tout f ∈ C_{c}(G, A).

Démonstration du lemme. Pour tous f, x ∈ C_{c}(G, A) on a l’inégalité

∥fx∥_{L^{2}(G,A)} ≤ ∥f∥_{B}∥x∥_{L^{1}(G,A)}.  (4.9)

Soient f, x ∈ C_{c}(G, A). On a ∥fx∥_{L^{2}(G,A)}^{2} ≤ ∥x∥_{L^{2}(G,A)}∥(f^{∗}f)x∥_{L^{2}(G,A)} puisque ∥⟨fx, fx⟩_{L^{2}(G,A)}∥_{A} = ∥⟨x, (f^{∗}f)x⟩_{L^{2}(G,A)}∥_{A} ≤ ∥x∥_{L^{2}(G,A)}∥(f^{∗}f)x∥_{L^{2}(G,A)} par l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Par récurrence sur m ∈ ℕ il vient

∥fx∥_{L^{2}(G,A)}^{2^{m+1}} ≤ ∥x∥_{L^{2}(G,A)}^{2^{m+1}−1}∥(f^{∗}f)^{2^{m}}x∥_{L^{2}(G,A)}.

D’après (4.9), ∥(f^{∗}f)^{2^{m}}x∥_{L^{2}(G,A)} ≤ ∥(f^{∗}f)^{2^{m}}∥_{B}∥x∥_{L^{1}(G,A)} et on sait que ∥(f^{∗}f)^{2^{m}}∥_{B} ≤ ∥f∥_{B}^{2^{m+1}}. D’où

∥fx∥_{L^{2}(G,A)}^{2^{m+1}} ≤ ∥x∥_{L^{2}(G,A)}^{2^{m+1}−1}∥f∥_{B}^{2^{m+1}}∥x∥_{L^{1}(G,A)}.

En faisant tendre m vers l’infini on obtient

∥fx∥_{L^{2}(G,A)} ≤ ∥f∥_{B}∥x∥_{L^{2}(G,A)}

et la démonstration est achevée.

Conclusion

Soit G un groupe localement compact, et \underline{E}G l’espace classifiant les actions propres de G. Nous avons défini au paragraphe 1.7, pour toute G-C^{∗}- algèbre B et pour toute bonne complétion A(G) de C_{c}(G), une application μ_{A}^{B} : K_{∗}^{top}(G, B) → K_{∗}(A(G, B)).

Nous rappelons que la classe C, définie dans l’introduction, est formée

– par les groupes localement compacts agissant proprement, continûment et isométriquement sur une variété riemannienne complète simplement connexe à courbure sectionnelle négative ou nulle (voir [Kas88]), ou sur un immeuble de Bruhat-Tits affine (voir [KS91]), ou sur un espace métrique uniformément localement fini, faiblement géodésique et faiblement bolique (voir [KS94]),

– par les groupes discrets agissant proprement et par isométries sur un espace métrique faiblement géodésique, faiblement bolique et de géométrie grossière bornée (voir [KS]),

– et par les groupes localement compacts vérifiant la propriété de Haagerup, c’est-à-dire agissant de façon affine et propre sur un espace de Hilbert (voir [HK97]).

Tous ces groupes vérifient les hypothèses de la proposition 1.7.11 ou de la proposition 1.7.12, d’après [Kas88, KS94, KS91, KS, HK97, Tu98].

D’où le résultat suivant.

Proposition 5.0.4 Pour tout groupe G dans la classe C, pour toute bonne complétion A(G) de C_{c}(G) et pour toute G-C^{∗}-algèbre B, μ_{A}^{B} est une injection.

Nous rappelons que la classe C′ est formée par les groupes localement compacts agissant proprement, isométriquement et continûment

– sur une variété riemannienne complète simplement connexe, à courbure sectionnelle négative ou nulle et bornée inférieurement,

– ou sur un immeuble affine de Bruhat-Tits uniformément localement fini,

– ou sur un espace métrique uniformément localement fini, faiblement géodésique, faiblement bolique et vérifiant une condition supplémentaire de bolicité forte (ce cas contient le précédent),

et par les groupes localement compacts possédant la propriété de Haagerup.

Les groupes du premier type vérifient les hypothèses du théorème 1.7.13 d’après le chapitre 3 et [Kas88], les groupes du deuxième type et du troisième type vérifient les hypothèses du théorème 1.7.13 d’après le chapitre 2 et [KS94, KS] et enfin les groupes possédant la propriété de Haagerup vérifient les hypothèses de la proposition 1.7.13 d’après [HK97, Tu98]. D’autre part la classe C′ est contenue dans la classe C et la proposition 5.0.4 s’applique. D’où le résultat suivant, qui est notre résultat principal.

Théorème 5.0.5 Pour tout groupe G dans la classe C′, pour toute bonne complétion A(G) de C_{c}(G) et pour toute G-C^{∗}-algèbre B, μ_{A}^{B} est une bijection.

On a le corollaire suivant. Soit G un groupe localement compact et notons A_{max}(G) la complétion de C_{c}(G) pour la norme ∥f∥_{A_{max}(G)} = ∥g ↦ |f(g)|∥_{C_{r}^{∗}(G)}, de sorte que l’on possède un morphisme involutif d’algèbres de Banach de A_{max}(G) dans C_{r}^{∗}(G).

Corollaire 5.0.6 Supposons que G appartienne à la classe C′, et que l’application K_{∗}(A_{max}(G)) → K_{∗}(C_{r}^{∗}(G)) soit surjective. Alors la conjecture de Baum-Connes est vraie pour G, c’est-à-dire que μ_{r} : K_{∗}^{top}(G) → K_{∗}(C_{r}^{∗}(G)) est une bijection.

La condition suffisante la meilleure que je connaisse pour que la deuxième hypothèse du corollaire soit satisfaite est la suivante : pour tout n ∈ ℕ^{∗} tout élément de M_{n}(C_{c}(G)) a même rayon spectral dans M_{n}(A_{max}(G)) et dans M_{n}(C_{r}^{∗}(G)) (cette condition est suffisante en vertu du lemme 1.7.2). Cette dernière condition est satisfaite si C_{r}^{∗}(G) possède une sous-algèbre dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe qui est une bonne complétion de C_{c}(G), mais elle est a priori plus faible.

Cette dernière situation se produit pour les groupes de Lie semi-simples (plus précisément les groupes de Lie dont l’algèbre de Lie est semi-simple et dont le morphisme adjoint a un noyau fini) et pour les groupes réductifs sur un corps p-adique d’après le chapitre 4 et pour les groupes discrets vérifiant la propriété (RD) de Jolissaint (introduite dans [Jol85, Jol87, Jol90]).

D’après [dlH88] les groupes hyperboliques possèdent la propriété (RD), et donc en particulier les sous-groupes discrets cocompacts de Sp(n, 1). D’après [RRS97] les sous-groupes discrets de type fini de SL_{3}(𝔽) la possèdent aussi pour tout corps p-adique 𝔽. Une démonstration analogue montre qu’il en va de même pour les sous-groupes discrets cocompacts de SL_{3}(ℝ) [Laf98].

Pour appliquer la méthode de KK-théorie banachique à de nouveaux cas le plus important est donc de trancher la conjecture d’Alain Valette qui affirme que tout groupe agissant de façon continue, isométrique, propre et cocompacte sur un espace symétrique riemannien ou sur un immeuble de Bruhat-Tits affine a la propriété (RD) ([FRR93] page 74).

D’autre part d’après [Jol90], SL(3, ℤ) ne possède pas la propriété (RD). En fait il ne vérifie pas non plus la condition ci-dessus. Une nouvelle idée est donc nécessaire pour monter la conjecture de Baum-Connes (sans coefficients) pour SL(3, ℤ).

102

Table des matières

1 Une version naïve de la K-théorie bivariante pour les algèbres de Banach 15 1.1 Paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Une version naïve de la KK-théorie pour les algèbres de Banach 21 1.3 Preuve du théorème 1.2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.1 Démonstration de la proposition 1.3.1 . . . . . . . . . . 29 1.3.2 Démonstration de la proposition 1.3.2 . . . . . . . . . . 32

1.4 Deux résultats d’homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5 Descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.6 Compatibilité avec la KK-théorie de Kasparov . . . . . . . . . 42 1.7 Application à la conjecture de Baum-Connes . . . . . . . . . . 47

2 Homotopie entre γ et 1 pour les groupes agissant sur des espaces boliques 55 2.1 Rappels de la construction de Kasparov et Skandalis . . . . . 56 2.2 Enoncé du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3 Construction de l’homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3.1 Principales notations et dépliage de γ_{k} . . . . . . . . . 60 2.3.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.3 Description de l’homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4 Appendice technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4.1 Démonstration de la proposition 2.3.2 et d’un résultat

algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.4.2 Démonstration de la proposition 2.3.3 . . . . . . . . . . 69

3 Homotopie entre γ et 1 pour les groupes agissant proprement sur des variétés de courbure négative ou nulle 71 3.1 Rappels sur l’élément γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Enoncé du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3 Construction préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4 Description de l’homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4.1 Résolution de la représentation triviale par le complexe

de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4.2 Conjugaison par exp(−αρ′) . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4.3 Homotopie entre L^{p_{κ}} et L^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4.4 Fin de l’homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 Espaces de Schwartz 81 4.1 Enoncé du résultat de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2 Cas des groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3 Cas des groupes p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4 Espaces de Schwartz généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.4.2 Structure d’algèbre de Banach . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4.3 Relations de plénitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4.4 Un raffinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5 Action des espaces de Schwartz sur des espaces L^{p} . . . . . . . 90 4.6 Questions de plénitude liées à l’action sur les espaces L^{p} … 92 4.7 Lien avec les algèbres L^{1}(G, A) . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.8 Lien avec C_{r}^{∗}(G, A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5 Conclusion 99

Bibliographie

[BBV96] C. Béguin, H. Bettaieb, and A. Valette. K-theory for C^{∗}-algebras of one relator groups. Preprint de l’université de Neuchâtel, 1996.

[BC82] P. Baum and A. Connes. K-theory for Lie groups and foliations. 1982.

[BC88a] P. Baum and A. Connes. Chern character for discrete groups. In A fête of topology, pages 163–232. Academic Press, Boston, MA, 1988.

[BC88b] P. Baum and A. Connes. K-theory for discrete groups. In Operator algebras and applications, Vol. 1, volume 135 of London Math. Soc. Lecture Note Ser., pages 1–20. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988.

[BCH94] P. Baum, A. Connes, and N. Higson. Classifying space for proper actions and K-theory of group C^{∗}-algebras. In C^{∗}-algebras: 1943– 1993 (San Antonio, TX, 1993), volume 167 of Contemp. Math., pages 240–291. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994.

[BHP97] P. Baum, N. Higson, and R. Plymen. A proof of the Baum-Connes conjecture for p-adic GL(n). C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 325(2):171–176, 1997.

[Bos90] J.-B. Bost. Principe d’Oka, K-théorie et systèmes dynamiques non commutatifs. Inventiones Math.,101, pages 261–333, 1990.

[BS89] S. Baaj and G. Skandalis. C^{∗}-algèbres de Hopf et théorie de Kasparov équivariante. K-Theory, 2(6):683–721, 1989.

[BT72] F. Bruhat and J. Tits. Groupes réductifs sur un corps local. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (41):5–251, 1972.

[Cun83] J. Cuntz. K-theoretic amenability for discrete groups. J. Reine Angew. Math., 344:180–195, 1983.

[Cun97] J. Cuntz. Bivariante K-theorie für lokalconvexe Algebren und der Chern-Connes Character. preprint de l’Université de Heidelberg, 1997.

[Dix64] J. Dixmier. Les C^{∗}-algèbres et leurs représentations. Gauthiers-Villars, 1964.

[dlH88] P. de la Harpe. Groupes hyperboliques, algèbres d’opérateurs et un théorème de Jolissaint. C.R.A.S, 307,série 1:pages 771–774, 1988.

[dlHV89] P. de la Harpe and A. Valette. La propriété (T) de Kazdhan pour les groupes localement compacts. Astérisque, 1989.

[FRR93] S. Ferry, A. Ranicki, and J. Rosenberg, editors. Novikov conjectures, Index theorems and Rigidity, volume 1. London Mathematical Society, LNS 226, 1993.

[GHT97] E. Guentner, N. Higson, and J. Trout. Equivariant E-theory for C^{∗}-algebras. preprint, 1997.

[GV88] R. Gangolli and V.S. Varadarajan. Harmonic analysis of spherical functions on real reductive groups. Springer-Verlag, 1988.

[HK97] N. Higson and G. Kasparov. Operator K-theory for groups which act properly and isometrically on Hilbert space. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 3:131–142 (electronic), 1997.

[HKT98] N. Higson, G. Kasparov, and J. Trout. A Bott periodicity theorem for infinite-dimensional Euclidean space. Adv. Math., 135(1):1–40, 1998.

[JK95] P. Julg and G. Kasparov. Operator K-theory for the group SU(n, 1). J. Reine Angew. Math., 463:99–152, 1995.

[Jol85] P. Jolissaint. Croissance d’un groupe de génération finie et fonctions lisses sur son dual. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 300(17):601–604, 1985.

[Jol87] P. Jolissaint. Les fonctions à décroissance rapide dans les C^{∗}- algèbres réduites de groupes. Thèse,Genève, 1987.

[Jol90] P. Jolissaint. Rapidly decreasing functions in reduced C^{∗}-algebra of groups. Trans.Amer.Math.Soc, 317:pages 167–196, 1990.

[Jul97] P. Julg. Remarks on the Baum-Connes conjecture and Kazhdan’s property T. In Operator algebras and their applications (Waterloo, ON, 1994/1995), volume 13 of Fields Inst. Commun., pages 145– 153. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

[JV84] P. Julg and A. Valette. K-theoretic amenability for SL_{2}(Q_{p}), and the action on the associated tree. J. Funct. Anal., 58(2):194–215, 1984.

[JV86] P. Julg and A. Valette. Twisted coboundary operator on a tree and the Selberg principle. J. Operator Theory, 16(2), 1986.

[Kas81] G. G. Kasparov. K-theory, group C^{∗}-algebras, and higher signatures (conspectus). In Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 1 (Oberwolfach, 1993), volume 226 of London Math. Soc. Lecture Note Ser., pages 101–146. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1981.

[Kas84] G. G. Kasparov. Lorentz groups: K-theory of unitary representations and crossed products. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 275(3):541– 545, 1984.

[Kas88] G.G. Kasparov. Equivariant KK-theory and the Novikov conjecture. Invent. Math. 91, pages 147–201, 1988.

[Kna86] A. W. Knapp. Representation theory of semi-simple groups. Princeton University, 1986.

[KS] G. Kasparov and G. Skandalis. Groups acting properly on bolic spaces and the Novikov conjecture.

[KS91] G. G. Kasparov and G. Skandalis. Groups acting on buildings, operator K-theory, and Novikov’s conjecture. K-Theory, 4(4):303– 337, 1991.

[KS94] G. Kasparov and G. Skandalis. Groupes boliques et conjecture de Novikov. C.R.A.S,Paris, Série I(319):815–820, 1994.

[Laf98] V. Lafforgue. A proof of property (RD) for discrete cocompact subgroups of SL_{3}(R). preprint du DMI, 1998.

[OO98] H. Oyono-Oyono. La conjecture de Baum-Connes pour les groupes agissant sur les arbres. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Série I, (326):799–804, 1998.

[Pim86] M. V. Pimsner. KK-groups of crossed products by groups acting on trees. Invent. Math., 86(3):603–634, 1986.

[PV82] M. Pimsner and D. Voiculescu. K-groups of reduced crossed products by free groups. J. Operator Theory, 8(1):131–156, 1982.

[RRS97] J. Ramagge, G. Robertson, and T. Steger. A Haagerup inequality for Ã_{1} × Ã_{1} and Ã_{2} buildings. preprint, to appear in Geometric and Functional Analysis Vol 8(1998), 1997.

[Sil79] A.J. Silberger. Introduction to harmonic analysis on reductive padic groups. Princeton University Press, 1979.

[Tho98] K. Thomsen. Asymtotic homomorphisms and equivariant KKtheory. preprint, 1998.

[Tu96] Jean-Louis Tu. Thèse de doctorat. Université Paris 7, 1996.

[Tu97] J.L. Tu. The Baum-Connes conjecture and discrete group actions on trees. à paraître dans K-theory, 1997.

[Tu98] J.L. Tu. La conjecture de Baum-Connes pour les feuilletages moyennables. preprint de l’Université Paris 7, 1998.

[Vig90] M.-F. Vignéras. On formal dimensions for reductive p-adic groups. In Festschrift in honor of I. I. Piatetski-Shapiro on the occasion of his sixtieth birthday, Part I (Ramat Aviv, 1989), pages 225–266. Weizmann, Jerusalem, 1990.

[Was87] A. Wassermann. Une démonstration de la conjecture de Connes-Kasparov pour les groupes de Lie linéaires connexes réductifs. Note C.R.A.S.,Série 1, (304):pages 559–562, 1987.

[Wol73] J. A. Wolf. Essential self-adjointness for the Dirac operator and its square. Indiana Univ. Math. J., 22:611–640, 1972/73.