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\begin{document}


\title{K-théorie bivariante pour les algèbres de Banach et
conjecture de Baum-Connes}
\author{Vincent Lafforgue}
\maketitle
$\mbox{ }$
\centerline{\bf \huge Introduction.}

\bigskip
Cette introduction est composée de trois parties : un exposé
historique, l'explication de l'idée principale de l'article et la
description des applications à la conjecture de Baum-Connes. 


\begin{bfseries}Exposé historique.\end{bfseries}
Soit $G$ un groupe localement compact et dénombrable à l'infini
(tous les groupes que nous considérons dans cet article sont supposés
dénombrables à l'infini), et soit
$\underline{E}G$ l'espace classifiant les actions propres de $G$,
défini dans~\cite{baumconnes}. On appelle K-théorie topologique de $G$,
et on note $K_*^{top}(G)$ la
K-homologie $G$-équivariante à support compact de $\underline{E}G$. On
note $C^*_r(G)$ la $C^*$-algèbre réduite
de $G$.  
L'article~\cite{baumconnes} définit une application, dite de
Baum-Connes, $\mu _r : 
K_*^{top}(G)\vers K_*(C^*_r(G))$, de la K-théorie topologique de $G$
vers la K-théorie de la $C^*$-algèbre réduite
de $G$. La conjecture de
Baum-Connes, élaborée progressivement
dans~\cite{preprintBaumConnes,Cherncharacter,Ktheorydiscretegoups,baumconnes},
 affirme que pour tout groupe  localement 
compact $G$, $\mu _r$ est une bijection. 

La K-théorie de $C^*_r(G)$ donne des
informations sur les représentations unitaires 
de $G$ qui sont faiblement contenues dans la représentation régulière,
même lorsque $G$ n'est pas de type I, et constitue un  
réceptacle pour les théorèmes d'indice $G$-équivariants. En fait, la
conjecture de Baum-Connes affirme que les éléments de $K_*(C^*_r(G))$
s'obtiennent tous comme des indices, et que les relations entre ces
indices proviennent toutes de la géométrie. Supposons par exemple
que  $G$ est un groupe de Lie semi-simple réel d'algèbre de Lie $\frak g$,
et notons $K$ un sous-groupe 
compact maximal de $G$. Alors $\underline{E}G=G/K$, et
d'après~\cite{baumconnes}, si la
représentation spinorielle associée à la représentation adjointe de
$\frak k$ sur $\frak g /{\frak k}$ provient d'une représentation de
$K$, alors $K_*^{top}(G)$ est égal à l'anneau des représentations de
$K$. Au contraire, $K_*(C^*_r(G))$ est lié à la topologie du dual
 tempéré de $G$, et contient en particulier une copie de $\Z$ pour
 chaque représentation de la série discrète de $G$. Dans ce cas, la
 conjecture de Baum-Connes implique que les éléments de la série
 discrète de $G$ s'obtiennent tous par induction de Dirac. 

Rappelons la conjecture de
Baum-Connes à coefficients, qui généralise la conjecture sans
coefficients. Soient  $G$ un groupe localement compact et
$\underline{E}G$ le classifiant des actions propres de $G$. Pour
toute $G$-$C^*$-algèbre $A$ on pose
$K^{top}_*(G,A)=\underset{\longrightarrow}{\lim}\ KK_G(C_0(Z),A)$ où la
limite est prise suivant les parties $G$-invariantes et $G$-compactes $Z$ de
$\underline{E}G$. Dans l'article~\cite{baumconnes}, Baum, Connes et
Higson définissent un homomorphisme 
 $\mu _r^A : K_*^{top}(G,A)\vers K_*(C^*_r(G,A))$, et 
conjecturent que cet homomorphisme est toujours bijectif. On dit
qu'un groupe $G$ vérifie la conjecture de Baum-Connes à coefficients
si pour toute $G$-$C^*$-algèbre $A$, $\mu _r^A$ est une bijection. La
conjecture de Baum-Connes à coefficients a la particularité suivante~:
si elle est vraie pour un groupe alors elle est aussi vraie pour tous ses
sous-groupes fermés (\cite{chabertechterhoff} pour le cas général). 

La conjecture de Baum-Connes sans coefficients a été vérifiée pour les
groupes de Lie linéaires connexes réductifs par Wassermann
dans~\cite{wassermann}, et pour le groupe $GL_n$ sur un corps local
non-archimédien de caractéristique $0$ 
par Baum, Higson et Plymen dans~\cite{glpadique}. 
Dans ces deux cas, la conjecture est démontrée par une identification
des deux membres, en s'appuyant sur la connaissance explicite du dual
tempéré de ces groupes, c'est-à-dire sur un immense travail. 




La méthode la plus puissante pour aborder la conjecture de
Baum-Connes a été inventée par Kasparov afin de résoudre la conjecture
de Novikov. Elle figure dans son preprint de 1981 (\cite{conspectus}), 
%antérieur à l'énoncé de la conjecture de Baum-Connes, 
et repose sur la
KK-théorie équivariante de Kasparov. On rappelle que, si $G$ est un
groupe localement compact, et si $A$ et $B$ sont des $C^*$-algèbres munies
d'actions de $G$, Kasparov a défini un groupe abélien $KK_G(A,B)$,
covariant en $B$ et contravariant en $A$, qui généralise à la fois la
K-théorie et la K-homologie. Kasparov est parvenu à construire un
produit associatif $KK_G(A,B)\otimes KK_G(B,C)\to KK_G(A,C)$. Le
premier exemple d'application  
de cette méthode est le suivant. Soit $G$ un groupe de Lie
semi-simple, 
et soit $K$ un sous-groupe compact maximal de $G$. On suppose
de nouveau que la
représentation spinorielle associée à la représentation adjointe de
$\frak k$ sur $\frak g /{\frak k}$ provient d'une représentation de
$K$. Kasparov
construit alors, dans~\cite{conspectus,kaspnov}, un élément $[d]\in
KK_G^*(C_0(G/K),\C)$ défini à l'aide d'un opérateur de Dirac sur $G/K$ et un
élément dit "dual-Dirac" $\eta \in KK_G^*(\C,C_0(G/K))$. Il montre que 
$[d] \otimes _{\C} \eta =1\in KK_G(C_0(G/K),C_0(G/K))$. Par suite
$\gamma =\eta \otimes _{C_0(G/K)}[d]$ est un idempotent de
$KK_G(\C,\C)$, et, pour toute
$G$-$C^*$-algèbre $A$, l'image de $\gamma$ par l'homomorphisme de
descente est 
%$j_r(\sigma _A(\gamma))$ est un idempotent dans
%$KK(C^*_r(G,A),C^*_r(G,A))$ et induit 
un projecteur dans 
$\mathrm{End}(K_*(C^*_r(G,A)))$. Kasparov montre que  $\mu _r^A$
est injective, et que son image est égale à l'image de ce projecteur 
dans  $K_*(C^*_r(G,A))$. 

Cette méthode, qui prouve l'injectivité de $\mu
_r^A$ pour toute $G$-$C^*$-algèbre $A$, a été étendue à une classe
extrêmement vaste de groupes, que nous notons $\mathcal C$, 
par Kasparov et Skandalis, puis Higson et
Kasparov~: cette classe  $\mathcal C$ est formée 
\begin{itemize}
\item par les
groupes localement compacts agissant de fa\c con continue, propre et
isométrique 
sur une variété riemannienne complète simplement connexe 
à courbure sectionnelle négative ou nulle (voir~\cite{kaspnov}), ou 
sur un immeuble de Bruhat-Tits affine (voir~\cite{immeublesnovikov}), 
ou sur un espace métrique uniformément 
localement fini, faiblement géodésique et faiblement bolique
(voir~\cite{cras}),  
%(ce cas contient le précédent)
\item par les groupes discrets agissant proprement et par isométries 
sur un espace métrique  faiblement géodésique, faiblement bolique et
de géométrie co-uniforme bornée (voir~\cite{KS} et ~\cite{kroum} pour
la terminologie co-uniforme) 
\item et par les groupes localement compacts vérifiant la propriété de
Haagerup, c'est-à-dire agissant de fa\c con affine isométrique 
et propre sur un espace de Hilbert (voir~\cite{HigsonKasp}). 
\end{itemize}




La classe $\mathcal C$ 
contient donc en particulier les groupes
moyennables, les
groupes hyperboliques au sens de Gromov, et les sous-groupes
fermés des groupes de Lie réductifs (voir convention ci-dessous) 
 et des groupes réductifs sur un 
corps local non-archimédien. 

{\it Convention :} 
nous appelons groupe de Lie
réductif un groupe de Lie $G$ ayant un nombre fini de composantes connexes,
dont l'algèbre de Lie $\mathfrak g$ est somme directe d'une algèbre de
Lie abélienne $\mathfrak g_{\mathrm{ab}}$ et d'une algèbre de Lie
semi-simple $\mathfrak g_{\mathrm{ss}}$, de sorte que $G$ admette un
sous-groupe fermé $G_{\mathrm{ss}}$ d'algèbre de Lie 
$\mathfrak g_{\mathrm{ss}}$ et de centre 
fini. Cette classe est un peu plus large que celle des groupes
réductifs au sens algébrique. 

  L'injectivité de
l'application de Baum-Connes à coefficients est donc démontrée pour
tous ces groupes, et repose en quelque sorte sur des considérations
géométriques, alors que la surjectivité est plutôt un problème
d'analyse.  Dans cet article on montre la surjectivité dans quelques
cas nouveaux pour lesquels l'injectivité était déjà connue. 

Pour aborder la question de la surjectivité, nous devons rappeler de
fa\c con plus précise le résultat auquel aboutit la construction
Dirac-dual-Dirac pour les groupes appartenant à la classe $\mathcal
C$. Nous rappelons d'abord la définition de $KK_G(\C,\C)$, donnée
dans~\cite{kaspnov}. Pour tout groupe localement compact $G$, on note 
$E_G(\C,\C)$ l'ensemble des classes d'isomorphisme de triplets
  $(H,\pi ,F)$ où $H=H_+\oplus H_-$ est un espace de Hilbert
  $\Z/2\Z$-gradué, $\pi$ est une représentation unitaire de $G$ sur
  $H$ préservant la graduation, et $F$ est un élément impair de $\L(H)$
  tel que $F^2-1$ soit compact et que $g\mapsto \pi (g)F\pi
  (g)^{-1}-F$ soit une application continue de $G$ dans l'espace
  $\K(H)$ des opérateurs compacts sur $H$. On note $KK_G(\C,\C)$
  le quotient de $E_G(\C,\C)$ par une relation d'homotopie faible dont
la définition est la suivante~: deux éléments $(H_0,\pi _0 ,F_0)$ et 
$(H_1,\pi _1,F_1)$ de $E_G(\C,\C)$ sont homotopes s'il existe un champ
continu d'espaces de Hilbert $\Z/2\Z$-gradués $(H_t)_{t\in [0,1]}$, au sens de
\cite{dixmier}, muni d'un champ continu $(\pi _t)_{t\in [0,1]}$ 
de représentations unitaires de $G$ et un champ continu d'opérateurs
impairs $(F_t)_{t\in [0,1]}$, tels que $F_t^2-1$ et $\pi _t(g)F_t\pi _t
  (g)^{-1}-F_t$  soient compacts de fa\c con uniforme en $t$ et en $g$
quand $t$ parcourt $[0,1]$ et $g$ parcourt un compact de $G$. 
La somme directe munit $KK_G(\C,\C)$ d'une
  structure de groupe abélien. On note $1\in KK_G(\C,\C)$ la classe de
 $(\C,\text{\it{représentation triviale}},0)$. 

Les deux faits suivants sont fondamentaux pour nous~:

\noindent a) d'après~\cite{kaspnov}, il existe, pour tout groupe
localement compact $G$, un homomorphisme $KK_G(\C,\C)\vers
\mathrm{End}(K_*(C^*_r(G)))$ tel que l'image de $1$ par
cet homomorphisme soit l'identité,

\noindent b) d'après
 \cite{kaspnov}, \cite{immeublesnovikov}, \cite{cras}, \cite{KS},
 \cite{HigsonKasp}, et \cite{tufeuilletages}, 
pour tout groupe $G$ dans la classe $\mathcal C$
 il existe $\gamma \in KK_G(\C,\C)$ tel que l'image de $\gamma$ par
 l'homomorphisme $KK_G(\C,\C)\vers
\mathrm{End}(K_*(C^*_r(G)))$  soit un 
 projecteur  et que $\mu _r$ soit une bijection de
 $K_*^{top}(G)$ vers l'image de ce projecteur. 


Pour montrer la surjectivité de l'application de Baum-Connes, si l'on
excepte les méthodes de~\cite{wassermann} et \cite{glpadique}  que
nous avons mentionnées ci-dessus, la seule voie connue jusqu'à présent
était de montrer l'égalité $\gamma=1$ dans $KK_G(\C,\C)$, pour des groupes
$G$ appartenant à la classe $\mathcal C$. Lorsque
$\gamma=1$, on obtient la conjecture de Baum-Connes à
coefficients. Malheureusement les groupes pour lesquels on a
$\gamma=1$ ne 
représentent qu'une portion de la classe $\mathcal C$. 
L'égalité  $\gamma=1$
a été démontrée pour les groupes de Lorentz $SO(n,1)$ par Kasparov
dans~\cite{lorentz}, pour $SU(n,1)$ par Julg et Kasparov
dans~\cite{JulgKasp}, pour $SL_2(\QQ_p)$ par Julg et Valette
dans~\cite{julgvalette}, et pour tous les groupes vérifiant la propriété de
Haagerup par
Higson et Kasparov dans~\cite{HigsonKasp}. En fait,
dans \cite{julgvalette}, Julg
et Valette ont montré une égalité $\gamma=1$ pour un certain élément
$\gamma$ mais ils ne possédaient pas  les éléments Dirac et dual-Dirac, qui
furent construits par Kasparov et Skandalis dans
\cite{immeublesnovikov}. Cette égalité leur permettait de montrer la
K-moyennabilité des groupes agissant proprement sur des arbres. Des
résultats analogues avaient déjà été 
établis pour les groupes libres par  Pimsner, Voiculescu et Cuntz dans 
 \cite{pimsner-voiculescu} et \cite{K-moyennabilite}.
 Le résultat de Julg et Valette permit à Pimsner dans
\cite{suiteexactepimsner} de construire une suite exacte exprimant la
K-théorie d'un groupe agissant sur un arbre en fonction des
stabilisateurs des sommets et des arêtes. Cette méthode a été raffinée
depuis et a permis à Oyono de montrer le résultat suivant~: 
d'après~\cite{oyonoarbres,oyono} (voir aussi~\cite{tutrees,onerelator} pour 
 des résultats voisins), 
 la conjecture de Baum-Connes à coefficients est vraie pour
tout groupe discret dénombrable agissant sur un arbre orienté, 
à condition que les stabilisateurs
des sommets  la vérifient.  La conjecture de Baum-Connes à
coefficients est aussi stable par diverses sortes d'extensions
(Chabert~\cite{chabert}, Oyono~\cite{oyonoextensions},
Chabert-Echterhoff~\cite{chabertechterhoff}). 



En revanche, pour tout groupe  $G$ dans la classe $\mathcal C$,
$\gamma$ est différent de $1$ dans $KK_G(\C,\C)$ dès que $G$ est
non compact et possède
la propriété (T) de Kazhdan, car l'égalité $\gamma=1$ impliquerait la 
bijectivité de 
l'application de Baum-Connes à valeurs dans la $C^*$-algèbre maximale 
$\mu : 
K_*^{top}(G)\vers K_*(C^*(G))$, et  la bijectivité de 
l'application
$K_*(C^*(G))\vers K_*(C^*_r(G))$. Or  l'application
$K_*(C^*(G))\vers K_*(C^*_r(G))$ n'est injective pour aucun groupe 
non compact vérifiant la propriété (T). Plus simplement la propriété
(T) signifie que la représentation triviale est isolée parmi les
représentation unitaires de $G$ et donc empêche toute homotopie entre $1$
et $\gamma$ dans $E_G(\C,\C)$. 
Rappelons qu'un grand 
nombre de groupes possèdent la propriété (T), en particulier les
groupes $Sp(n,1)$ et $F_{4(-20)}$ (d'après Kostant), tous les
groupes de Lie simples  sur un corps
local, de rang supérieur ou égal à deux, et tous les réseaux dans
les groupes ci-dessus (d'après Kazhdan)~: ces résultats sont exposés
dans les chapitres 2, 3, et 9 de \cite{delaharpevalette}. 
Julg a proposé dans~\cite{julgrepunifbornees}
une méthode susceptible de résoudre la conjecture de Baum-Connes 
à coefficients pour
$Sp(n,1)$, et fondée sur la notion de représentation uniformément
bornée d'un groupe dans un espace de Hilbert. Cette idée de Julg est
voisine de l'idée principale de cet article, que nous allons
maintenant exposer.  

\begin{bfseries}Idée principale. \end{bfseries}
Il n'existe pas de difficulté analogue  à la propriété (T) pour les
représentations isométriques dans des espaces de Banach.
En effet, pour tout groupe $G$ localement compact et non compact,
et pour toute suite $(p_i)_{i\in \N}$ d'éléments de $[1,+\infty[$
tendant vers l'infini, la représentation de $G$ par translation à
gauche sur la somme directe  $\bigoplus 
_{i\in \N}^{l^1}L^{p_i}(G)$  possède presque des vecteurs 
invariants, comme dans la définition 1 du chapitre 1 de
\cite{delaharpevalette},  mais ne contient pas de vecteur invariant non nul.   
 D'où l'idée de remplacer, dans la définition de $KK_G(\C,\C)$,
les représentations unitaires de $G$
dans des espaces de Hilbert par des représentations isométriques de
$G$ dans des 
espaces de Banach. 

Dans cet article nous construisons, pour tout groupe localement
compact $G$, une variante de $KK_G(\C,\C)$, notée $KK_G^{\ban}(\C,\C)$,
obtenue en rempla\c cant les espaces de Hilbert munis d'une
représentation unitaire de $G$, qui interviennent dans la définition
de  $KK_G(\C,\C)$, par des espaces de Banach, munis d'une
représentation isométrique de $G$. Il existe une application naturelle
$\iota :KK_G(\C,\C)\vers KK_G^{\ban}(\C,\C)$. Nous montrons une égalité 
légèrement plus faible que  l'égalité $\iota(\gamma)=1$ dans
$KK_G^{\ban}(\C,\C)$, pour une classe  de groupes $\mathcal
C'$ à peine moins vaste que la classe $\mathcal
C$, et contenant un
grand nombre de groupes possédant la propriété (T). 

La classe $ \mathcal
C'$ est formée par les groupes localement compacts 
agissant de fa\c con continue, isométrique, et propre 
\begin{itemize}
\item sur une variété riemannienne complète simplement connexe, dont
la   courbure sectionnelle est négative ou nulle et bornée
inférieurement, et dont la dérivée du tenseur de courbure (suivant la
connexion induite de la connexion de Levi-Civita sur le fibré tangent)
est bornée,
\item ou sur un immeuble affine de Bruhat-Tits uniformément localement
  fini,
\item ou sur un espace métrique uniformément localement fini,
  faiblement géodésique, faiblement bolique et vérifiant une
  condition supplémentaire de bolicité forte (ce cas contient le
  précédent), 
\end{itemize}
et par les groupes vérifiant la propriété de Haagerup. La classe $ \mathcal
C'$ contient en particulier les sous-groupes fermés des groupes de Lie
réductifs (voir convention ci-dessus) 
et des groupes réductifs sur un corps local non-archimédien, 
ainsi que  les groupes discrets agissant  
de fa\c con continue, isométrique, propre
 et cocompacte sur un espace $CAT(0)$. Récemment Mineyev et
Yu~\cite{mineyevyu} ont montré que les groupes hyperboliques (au sens
de Gromov) appartiennent  à la classe $ \mathcal C'$. 

Avant de passer aux applications donnons un énoncé précis du résultat
ci-dessus. 

On appelle $\C$-paire un triplet $(E^<,E^>,\langle\cdot\,
  ,\cdot\rangle)$, où $E^<$ et 
  $E^>$ sont des espaces de Banach, et $\s{\cdot ,\cdot }:E^<\otimes E^>\vers
  \C$ est une application bilinéaire telle que $|\s{\xi,x}|\leq
  \|\xi\|_{E^<}\|x\|_{E^>}$ pour $\xi\in E^<$ et $x\in E^>$. 


Lorsque $E$ et $F$ sont des $\C$-paires, on appelle morphisme de
$\C$-paires de $E$ dans $F$ un couple $f=(f^<,f^>)$, où $f^>:E^>\vers
F^>$ et $f^<:F^<\vers E^<$ sont des applications linéaires continues 
 formellement transposées l'une de l'autre, c'est-à-dire telles que
$\s{f^<(\eta),x}=\s{\eta,f^>(x)}$ pour $\eta \in F^<$ et $x\in E^>$. On
pose $\|f\|=\max (\|f^<\|,\|f^>\|)$, si bien que l'espace $\L(E,F)$ des
morphismes de $\C$-paires de $E$ dans $F$, muni de cette norme, est un
espace de Banach. 

Pour tous $y_0\in F^>$ et $\xi_0\in E^<$, on note $|y_0 \rangle \langle
\xi_0|$ le morphisme $f$ de $\C$-paires de $E$ dans $F$ défini par 
$f^>(x)=y_0\s{\xi_0,x}$ et $f^<(\eta)=\s{\eta,y_0}\xi_0$. On note
$\K(E,F)$ l'adhérence dans $\L(E,F)$ de l'espace vectoriel engendré
par les morphismes du type $|y_0 \rangle \langle
\xi_0|$. On appelle opérateurs compacts les éléments de $\K(E,F)$. 

Lorsque  $G$ est un groupe localement compact, on appelle longueur sur 
$G$ une application continue $\ell:G\vers [0,+\infty[$ telle que
$\ell(g_1g_2)\leq \ell(g_1)+\ell(g_2)$ pour tous $g_1,g_2\in G$. On 
appelle $(G,\ell)$-$\C$-paire une $\C$-paire $E=(E^<,E^>)$, avec $E^<$
  et $E^>$ munis d'actions continues de $G$ telles que
  $\s{g\xi,gx}=\s{\xi,x}$, $\|g\xi\|_{E^<}\leq e^{\ell(g^{-1})}\|\xi\|_{E^<}$,
  et $\| gx\|_{E^>}\leq e^{\ell(g)}\|x\|_{E^>}$ pour $g\in G$, $\xi \in
  E^<$ et $x\in E^>$.  On
  note $E^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$ l'ensemble des classes d'isomorphisme
  de couples $(E,T)$, où $E$ est une $(G,\ell)$-$\C$-paire
  $\Z/2\Z$-graduée, et $T$ est un élément impair de $\L(E)$ tel que
  $T^2-\mathrm{Id}_E$ soit compact et que $g\mapsto g(T)-T$ soit une
application 
  continue de $G$ dans $\K(E)$, où
  $g(T)=(gT^<g^{-1},gT^>g^{-1})\in \L(E)$. On note
  $KK^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$ le quotient de $E^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$ par
  une relation d'homotopie faible semblable à celle utilisée pour
  définir $KK_G(\C,\C)$. La somme directe munit
  $KK^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$ d'une 
  structure de groupe abélien. On note $1\in KK^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$ la
  classe de $(\C,0)$, où $\C$ désigne la représentation triviale de
  $G$. 

Pour toute longueur $\ell$ sur $G$, on a un homomorphisme évident $\iota :
KK_G(\C,\C)\vers KK^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$. 

Nous montrons le résultat suivant~: pour tout groupe $G$ dans la
 classe $\mathcal C'$,  
 il existe une  longueur $\ell$ telle que, 
pour tout $s\in \R_+^*$, on ait $\iota (\gamma)=1$ dans
$KK^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$. 

Dans le cas des 
groupes hyperboliques généraux, ce résultat repose sur l'article de
Mineyev et Yu, mais, à la fin des sections 2 et
3, nous proposons une méthode légèrement différente
pour obtenir la conjecture de Baum-Connes pour ces groupes, sans
utiliser le résultat de Mineyev et Yu.  

\begin{bfseries} Applications à la conjecture de Baum-Connes. \end{bfseries}
Pour appliquer ce résultat à la conjecture de Baum-Connes, nous
construisons  une variante 
de la KK-théorie équivariante de Kasparov, adaptée à la catégorie des
algèbres de Banach, que nous notons $KK^{\ban}$. Si $G$ est un groupe
localement compact, $\ell$ une longueur sur $G$, et $A$ et $B$ des
algèbres de Banach munies d'actions isométriques de $G$, nous
définissons un groupe abélien $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ qui redonne le
groupe ci-dessus lorsque $A=B=\C$. 
Si $A$ et $B$ sont deux algèbres de Banach (avec $BB$ dense dans $B$), 
nous construisons 
 un homomorphisme $KK^{\ban}(A,B)\vers \mathrm{Hom}(K_*(A),K_*(B))$,
mais nous ne
savons pas construire le produit de Kasparov en général. En revanche,
nous possédons encore une
application de descente dans le cas équivariant. Nous appelons  complétion
inconditionnelle de $C_c(G)$
une complétion de 
$C_c(G)$ pour une norme d'algèbre telle que $\|f\|$ ne dépende que de $g\mapsto
|f(g)|$. En particulier $L^1(G)$
est toujours une complétion inconditionnelle de $C_c(G)$. Pour tout groupe
localement compact $G$, pour toute longueur $\ell$ sur $G$ 
et pour toute complétion inconditionnelle $\A(G)$ de 
$C_c(G)$, nous construisons un homomorphisme $KK^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)\vers
KK^{\ban}(\A_\ell(G),\A(G))$, où $\A_\ell(G)$ désigne 
la complétion de $C_c(G)$ pour la
norme $\|f\|=\big \|g\mapsto e^{\ell(g)}|f(g)|\big \|_{\A(G)}$. 
De plus cette KK-théorie banachique 
vérifie toutes sortes de compatibilités avec la théorie de Kasparov.  

Pour toute complétion inconditionnelle $\A(G)$ de $C_c(G)$,
pour toute suite $(\ell_i)_{i\in \N^*}$ de longueurs sur $G$, décroissante et
 convergeant uniformément vers $0$ sur tout compact de $G$,  $\A(G)$
est la limite inductive au sens des 
algèbres de Banach des $\A_{\ell_i}(G)$, et on a donc  
$K_*(\A(G))=\underset{\longrightarrow}{\lim}\ K_*(\A_{\ell_i}(G))$. Il
résulte de la partie précédente  que pour tout groupe $G$ dans la
classe $ \mathcal 
C'$ l'image de $\iota(\gamma)$ par $KK_G^{\ban}(\C,\C)\vers
KK^{\ban}(\A(G),\A(G))\vers \mathrm{End}(K_*(\A(G))$ est
$\mathrm{Id}$. 

Nous en tirons essentiellement deux conséquences concernant la conjecture
de Baum-Connes. 

D'abord nous énon\c cons une conjecture analogue à celle de
Baum-Connes en rempla\c cant $C^*_r(G)$ par une complétion
inconditionnelle de $C_c(G)$~: pour tout groupe
localement compact $G$, et pour toute complétion inconditionnelle
$\A(G)$ de
$C_c(G)$, nous construisons  au
paragraphe~\ref{applicbc} une application de Baum-Connes $\mu
_{\A}:K_*^{top}(G)\vers K_*(\A(G))$. Plus généralement, nous
construisons,  pour toute $G$-$C^*$-algèbre $B$ et
pour toute complétion inconditionnelle $\A(G)$ de $C_c(G)$, une application 
$\mu _{\A}^B:K^{\top}_*(G,B)\vers
K_*(\A(G,B))$ qui est la précédente lorsque $B=\C$. Les groupes de la classe
$\mathcal C$ vérifient les hypothèses de la
proposition~\ref{injectivitemuADDD} 
%ou de la proposition~\ref{discretinjectivite}, 
d'après~\cite{kaspnov,cras,immeublesnovikov,KS,HigsonKasp,tufeuilletages}.

D'où le résultat suivant. 
\begin{prop}\label{propositionpourlinjectivite}
Pour tout groupe $G$ dans la classe 
$\mathcal C$, pour toute bonne complétion $\A(G)$ de $C_c(G)$, et pour toute
     $G$-$C^*$-algèbre $B$, $\mu _{\A}^B$ est une injection.
\end{prop}

Dans la classe $\mathcal C'$, les groupes du premier type vérifient
les hypothèses du 
théorème~\ref{surjmuADDD} d'après le théorème~\ref{enoncelie6} et~\cite{kaspnov}, les
groupes du 
deuxième type et du troisième type  vérifient les hypothèses du 
théorème~\ref{surjmuADDD} d'après le théorème~\ref{enoncebol} 
et~\cite{immeublesnovikov,cras,KS},
% (au lieu de~\cite{cras}, dans le cas
%des groupes discrets, on peut aussi utiliser~\cite{KS}, dont nous suivons 
%les notations au chapitre 2, et appliquer la
%remarque~\ref{surjmuAdiscret}) 
et  les 
groupes possédant la propriété de Haagerup vérifient les hypothèses du
théorème~\ref{surjmuADDD}
d'après~\cite{HigsonKasp,tufeuilletages}. Pour les groupes
hyperboliques généraux, on peut soit utiliser le résultat de Mineyev et
Yu~\cite{mineyevyu} et le théorème~\ref{surjmuADDD}, soit avoir recours
à la moyennabilité de l'action des groupes hyperboliques sur leur bord
et aux
 théorèmes~\ref{hyperbolique1} et~\ref{hyperbolique2}. 
D'autre part la classe $\mathcal C'$ est contenue dans la classe
$\mathcal C$ et la proposition~\ref{propositionpourlinjectivite}
s'applique. D'où le résultat suivant. 

\begin{thm}
Pour tout groupe $G$ dans la classe 
$\mathcal C'$, pour toute complétion inconditionnelle 
$\A(G)$ de $C_c(G)$ et pour toute
     $G$-$C^*$-algèbre $B$, $\mu _{\A}^B$ est une bijection.
\end{thm}


%Nous en déduisons la conjecture de Baum-Connes classique sans
%coefficients, c'est-à-dire la bijectivité de $\mu _r:K^{top}_*(G)\vers
%K_*(C^*_r(G))$, pour les groupes $G$ de la classe $\mathcal
%C'$ tels que $C^*_r(G)$ possède une sous-algèbre
%dense $\A(G)$ qui est une complétion inconditionnelle de $C_c(G)$ et telle que
%$K_*(\A(G))\vers K_*(C^*_r(G))$ soit surjective (c'est le cas en
%particulier si $\A(G)$ est stable par calcul fonctionnel holomorphe
%dans $C^*_r(G)$). 



On a le corollaire suivant. 
 Soit $G$ un groupe
localement compact et notons $\A_{\max}(G)$ la complétion de $C_c(G)$
 pour la norme $\|f\|_{\A_{\max}(G)}=\big \|g\mapsto |f(g)|\big
 \|_{C^*_r(G)} $, de sorte que l'on possède un morphisme involutif 
d'algèbres de Banach de $\A_{\max}(G)$ dans $C^*_r(G)$. 
\begin{cor}
 Supposons que $G$ appartienne à la classe $\mathcal C'$, et que l'application 
$K_*(\A_{\max}(G))\vers K_*(C^*_r(G))$ soit surjective. Alors la
  conjecture de Baum-Connes est vraie pour $G$, c'est-à-dire que 
$\mu _r:K^{\top}_*(G)\vers K_*(C^*_r(G))$ est une bijection. 
\end{cor}

La meilleure condition suffisante   que je connaisse pour que la
deuxième hypothèse du corollaire soit satisfaite, est la suivante~: 
pour tout $n\in \N^*$ 
tout élément de $M_n(C_c(G))$ a même rayon spectral dans $M_n(\A_{\max}(G))$ et
dans $M_n(C^*_r(G))$ (cette condition est suffisante en vertu du
 lemme~\ref{limiterayonsspec}).
Cette dernière condition est satisfaite  si $C^*_r(G)$ possède une
sous-algèbre dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe qui est
une complétion inconditionnelle de $C_c(G)$, mais elle est a priori
plus faible.  

On a le corollaire suivant. 

\begin{cor}
 La conjecture de Baum-Connes est vraie pour
\begin{itemize}
\item  les groupes de Lie réductifs réels (voir convention ci-dessus), et 
les groupes réductifs sur un corps local non-archimédien, 
\item tous les groupes discrets appartenant à la classe $\mathcal
C'$ et possédant la propriété (RD) de Jolissaint, donc en particulier  
les sous-groupes discrets cocompacts de $Sp(n,1)$, $\mathbb F_4(-20)$,
 $SL_3(\R)$, 
$SL_3(\C)$ et les
sous-groupes discrets de type fini de $SL_3(\mathbb F)$, où $\mathbb
F$ est une extension de $\QQ_p$, et les
sous-groupes discrets cocompacts 
$SL_3(\mathbb F)$, où $\mathbb F$ est 
un corps local non-archimédien,
\item les groupes hyperboliques.  
\end{itemize}
\end{cor}

En effet si $G$ est un groupe de Lie réductif réel ou un
groupe réductif sur un corps local non-archimédien, nous définissons
au chapitre~\ref{schwartz} une variante $\A(G)$ de l'espace de Schwartz de $G$
de la fa\c con suivante~: on se donne $\Phi $ une fonction d'Harish-Chandra
sur $G$, $\|.\|$ une norme matricielle sur $G$ et $s\in \R_+$ assez
grand, et on pose 
$\|f\|_{\A(G)}=\sup _{g\in G} |f(g)|\Phi(g)^{-1}(1+\log
\|g\|)^s$. Alors $\A(G)$ est 
une complétion inconditionnelle de $C_c(G)$ et une sous-algèbre de $C^*_r(G)$
dense et stable  par calcul fonctionnel holomorphe.

D'autre part, si $\Gamma$ est un groupe discret vérifiant la propriété
(RD) de Jolissaint (introduite
dans~\cite{haagerup,jolissaintcras,jolissaintthese,jolissaint}),
relativement à une longueur $l$ 
(voir~\cite{jolissaint}), pour $s\in 
\R_+$ assez grand, l'algèbre
de Jolissaint $H^s(\Gamma)$, définie comme la complétion de $\C\Gamma$
pour la norme $\|f\|=\big( \sum_{g\in \Gamma}
|f(g)|^2(1+l(g))^{2s}\big)^{\frac{1}{2}}$, est une complétion
inconditionnelle de
  $C_c(G)$ et une sous-algèbre de $C^*_r(G)$ 
dense et stable  par calcul fonctionnel holomorphe. 

D'après~\cite{dlharpe}, les groupes hyperboliques
possèdent la propriété (RD), et donc en particulier les sous-groupes
discrets cocompacts de $Sp(n,1)$. D'après \cite{robertson}, les
sous-groupes discrets de type fini de $SL_3(\mathbb F)$, où $\mathbb F$
est une extension de $\QQ_p$, et les sous-groupes discrets cocompacts de
$SL_3(\mathbb F)$, où $\mathbb F$ est 
un corps local non-archimédien,  la possèdent
aussi. Une démonstration analogue~\cite{sl3}
montre qu'il en va de même  pour les 
sous-groupes discrets cocompacts de $SL_3(\R)$ et $SL_3(\C)$. 

Pour appliquer la méthode de KK-théorie
banachique  à de nouveaux cas, le plus important est donc de trancher
la conjecture 
d'Alain Valette, qui affirme que tout groupe agissant de fa\c con continue,
   isométrique, propre et cocompacte sur un  
   espace symétrique riemannien ou sur un immeuble de Bruhat-Tits 
affine a la  propriété (RD)
   (\cite{oberwolfachnovikov} page 74).   

   D'autre part d'après~\cite{jolissaint}, $SL(3,\Z)$ ne possède pas
 la propriété (RD). En fait il ne vérifie pas non plus la
 condition ci-dessus. Une nouvelle idée est donc nécessaire pour
 monter la conjecture de Baum-Connes (même sans coefficients) pour
 $SL(3,\Z)$. 


Pour conclure notons qu'il serait souhaitable d'établir un lien entre
la KK-théorie banachique développée ci-dessous et la kk-théorie
construite par Cuntz~\cite{cuntzkk}. 
Par exemple le produit de Kasparov est
bien défini dans la théorie de Cuntz mais nous ne savons pas le 
construire  pour $KK^{\ban}$. 

\bigskip 

Dans le premier chapitre  nous définissons la KK-théorie banachique et
nous étudions ses propriétés. Nous réalisons
l'homotopie entre $\gamma$ et $1$ pour les groupes agissant  sur des
 espaces boliques dans le 
deuxième chapitre, et  pour les groupes agissant sur des
variétés de
courbure négative ou nulle dans le troisième chapitre. 
Dans le quatrième chapitre nous construisons les espaces de Schwartz
que nous avons évoqués ci-dessus. 
 
\bigskip 



Je remercie avant tout 
Jean-Benoît Bost pour m'avoir proposé comme sujet de thèse
la construction d'une K-théorie bivariante pour les algèbres de Banach,
en vue d'aborder
la conjecture de Baum-Connes pour des groupes possédant la
propriété (T). A la suite de ses travaux personnels sur le principe
d'Oka, et grâce à sa propre intuition et à sa connaissance de la
théorie des représentations, Jean-Benoît Bost avait acquis la
conviction que l'on devait pouvoir démontrer un résultat analogue à la
conjecture de Baum-Connes pour les algèbres $L^1$ des sous-groupes
fermés des groupes de Lie semi-simples. Ce résultat, que je ne suis parvenu
à établir qu'à la fin de ma thèse, a guidé toute ma
recherche. Jean-Benoît Bost  a dirigé ma thèse avec énormément
d'attention. Au début de ma thèse il m'a demandé d'étudier les
équivalences de Morita entre algèbres de Banach, et c'est ainsi que
j'ai été amené à trouver une définition équivalente de la K-théorie des
algèbres de Banach, en introduisant la notion de paire, qui est à la
base de mon travail. 




C'est grâce aux encouragements de Georges Skandalis que je suis
parvenu à construire l'homotopie entre $\gamma$ et $1$ pour les
groupes agissant sur des espaces boliques, et il m'a donné une
indication très importante pour la partie algébrique de
l'homotopie. Je n'ai réussi à construire l'homotopie entre $\gamma$ et
$1$ pour les groupes agissant sur des variétés de courbure négative ou
nulle que quelques mois plus tard. J'ai utilisé pour cela une
réalisation de l'élément $\gamma $ obtenue en conjuguant le complexe de
de Rham sur la variété par $e^{-\rho^2}$, où $\rho$ est la distance à
un point fixe. Cette réalisation m'a été expliquée par Alain Connes et
Georges Skandalis. 

Je remercie aussi  Georges Skandalis pour avoir
 simplifié un très grand nombre de démonstrations et énormément
 amélioré la rédaction. 



Michel Duflo m'a beaucoup aidé en m'expliquant les travaux de Zelobenko
sur les groupes de Lie semi-simples complexes et en répondant avec
gentillesse à toutes mes questions sur les groupes de Lie. 

J'ai aussi profité de nombreuses discussions avec Yves Benoist sur les
immeubles et sur les sous-groupes discrets des groupes de Lie.  


Je remercie  Laurent Clozel pour m'avoir aidé à rédiger
la partie  du chapitre 4 qui concerne les groupes p-adiques. 
 

J'ai effectué ma thèse au Département de Mathématiques et d'Informatique
de l'Ecole Normale Supérieure dans d'excellentes conditions. 

Je suis très reconnaissant à Jean-Bernard Zuber et aux autres
membres du Service de Physique Théorique du centre de Saclay pour 
l'année que j'ai passée parmi eux, dans le cadre de mon service
national.


\chapter{Une  K-théorie bivariante pour les algèbres
   de Banach} \nonumber

\section{Paires}\label{paires}


Dans la suite, les algèbres de Banach ne sont pas 
supposées unifères.



On appelle espace de Banach un $\C$-espace vectoriel $E$ muni d'une 
norme $\|.\|_E$ qui le rend complet. 
 Une \textit{algèbre de Banach} $B$ est un espace  de Banach 
muni d'une structure de $\C$-algèbre telle que, pour $a,b\in B$,  
$\|ab\|_B\leq \|a\|_B\|b\|_B$.
On dit qu'une algèbre de Banach $B$ est \textit{non dégénérée} si 
le sous-espace vectoriel $BB$ de $B$ engendré par les produits de deux
éléments de $B$ est dense dans $B$, ou, en d'autres termes, si le produit
tensoriel algébrique 
$B\otimes^{alg}_\C B\vers B$ a une image dense. Une algèbre de Banach
unifère ou possédant une unité approchée, est non degénérée. 

Si $B$ est une algèbre de Banach, on appelle 
$B$-\textit{module de Banach} à droite ({\it resp.} à gauche ) 
un espace de Banach $E$ dont la norme est notée $\|.\|_E$, muni
 d'une structure de $B$-module
à droite ({\it resp.} à gauche) telle que pour 
$ x\in E$, et $b\in B $, on ait $\|xb\|_E\leq \|x\|_E\|b\|_B$
({\it resp.} $\|bx\|_E\leq \|b\|_B\|x\|_E$). On dit que $E$ est 
un $B$-module de
Banach \textit{non dégénéré} si 
le sous-espace vectoriel $EB$ ({\it resp.} $BE$) de $E$, engendré par 
les produits d'un élément de $E$ par un
élément de $B$, est dense dans $E$.

Une algèbre de Banach $B$ est dite \textit{unifère} s'il existe un élément
unité $1_B\in B$ tel que $\|1_B\|=1$. Dans ce cas on appelle $B$-module
de Banach \textit{unifère} à droite ({\it resp.} à gauche) 
un $B$-module  de Banach $E$ à droite ({\it resp.} à gauche)
qui vérifie : pour tout $x\in E$, $x1_B=x$ ({\it resp.} $1_Bx=x$).  

Soit $B$ une algèbre de Banach. On note $\tilde{B}$
l'algèbre de Banach unifère associée à $B$ :
$ \tilde{B}=B\oplus \C$ est munie du produit 
$(a,\lambda ).(b,\mu )=(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu )$ et de la
norme $\|(a,\lambda )\|_{\tilde{B}}=\|a\|_B+|\lambda |$. Son élément unité
est $1_{\tilde {B}}=(0,1)$. Tout module de Banach sur $B$ est aussi un module 
de Banach unifère sur $\tilde{B}$ et inversement. 

Si $B$ et $C$ sont deux algèbres de Banach, on appelle morphisme
d'algèbres de Banach 
un morphisme d'algèbres $\theta :B\rightarrow C$ tel que 
 pour tout $b\in B$ on ait  $\|\theta (b)\|_C\leq \|b\|_B$.


Soient $E$ et $F$ des modules de Banach, à gauche ou à droite, 
sur une
algèbre de Banach B. On appelle morphisme de B-modules de Banach 
une application linéaire continue $f:E\rightarrow F$, 
qui est un morphisme
de $B$-modules  au sens algébrique, et on pose
$$\|f\|=\sup _{x\in E,\ \|x\|_E=1} {\|f(x)\|_F}.$$

Nous faisons  quelques rappels sur les produits tensoriels
complétés. Soient $B$ une algèbre de Banach, $E$ un $B$-module
de Banach à droite, et $F$ un $B$-module de Banach 
à gauche. On note $E\otimes ^{\pi
  }_{B}F$ le séparé-complété du produit tensoriel algébrique 
 $E\otimes ^{alg}_\C F$ pour la plus grande
semi-norme $\|.\|$ telle que $\|x\otimes by -xb\otimes y\|=0$ et $\|x\otimes
y\|\leq \|x\|\|y\|$ pour $x\in E,y\in F,b\in B$. Pour tout espace de
Banach $G$, les
applications $h$ $\C$-bilinéaires continues  de norme 
inférieure ou égale à $1$ de 
$E\times F$ dans $G$, et 
vérifiant $h(xb,y)=h(x,by)$ pour $x\in E$, $y\in F$ et
$b\in B$, sont en bijection avec les applications $\C$-linéaires
continues de norme 
inférieure ou égale à $1$ de $E\otimes ^{\pi
  }_{B}F$ dans $G$.

Expliquons enfin la fonctorialité pour les modules de Banach non dégénérés. 
Soient $B$ et $C$ des algèbres de Banach, et $\theta
:B\vers C$ un morphisme d'algèbres de Banach. Soit $E$ un $B$-module
de Banach à droite non dégénéré. On pose $\theta _*(E)=E\otimes ^{\pi
  }_{\tilde B}\tilde C$. Pour $x\in E$, $a\in \tilde C$, et $c\in C$ on
pose $(x\otimes a)c=x\otimes ac$, et ceci fait de $\theta _*(E)$ un
$C$-module de Banach à droite. Celui-ci est non dégénéré. En effet 
pour $x\in E$ et $a\in \tilde C$, $x\otimes a$ appartient à $\overline{\theta
  _*(E)C}$ car $x$ appartient à $\overline{EBB}$, puisque $E$ est non
dégénéré, et $yb_1b_2\otimes a=(y\otimes \theta(b_1))(\theta(b_2)a)$
pour $y\in E$ et 
$b_1,b_2 \in B$. 
\begin{lem}
  Soient $B$ une algèbre de Banach et $E$ un $B$-module
de Banach à droite non dégénéré. L'application $x\otimes a \mapsto xa$
définit un isomorphisme $\mathrm{Id}_*(E)\simeq E$. D'autre part si
$B_1$ et $B_2$ sont deux algèbres de Banach et $\theta _1
:B\vers B_1$ et $\theta _2
:B_1\vers B_2$ deux morphismes d'algèbres de Banach, l'application
$x\otimes a_1 \otimes a_2\mapsto x\otimes \tilde \theta_2(a_1)a_2$ définit un
isomorphisme 
$\theta _{2,*}(\theta _{1,*}(E))\simeq (\theta _2 \circ \theta _1)_*(E)$.
\end{lem}

Soit $B$ une algèbre de Banach. Dans toute la suite, 
on note $B[0,1]=C([0,1],B)$ l'algèbre des fonctions continues de
$[0,1]$ dans $B$, munie de la norme du sup.  Soit  $E$ un $B$-module
de Banach à droite non dégénéré. Alors 
$E[0,1]=C([0,1],E)$ est un   $B[0,1]$-module de Banach à droite non dégénéré.
Pour $t\in [0,1]$ on note $\sigma _t :B[0,1]\vers B$ l'évaluation en
$t$. 
\begin{lem}\label{homstrict}
Soient $B$ une algèbre de Banach et $E$ un $B$-module
de Banach à droite non dégénéré. 
Alors, pour tout $t\in [0,1]$, l'application $x\otimes b\mapsto x(t)b$
définit un isomorphisme isométrique de B-modules de Banach à
droite $\sigma _{t,*}(E[0,1])\simeq E$. 
  \end{lem}
En effet, comme $E$ est non dégénéré, $\{x\in E[0,1], x(t)=0\}$ est
l'adhérence du sous-module de $E[0,1]$ engendré par les $xb$ pour
$x\in E[0,1]$, $b\in B[0,1]$, $b(t)=0$. \cqfd

Supposons maintenant que $B$ est une algèbre de Banach unifère. Dans
ce cas un $B$-module de Banach est non dégénéré si et seulement s'il
est unifère. De plus si $E$ est un $B$-module de Banach à droite
unifère, $C$ une algèbre de Banach unifère et $\theta :B\vers C$ un
morphisme unifère, on a un isomorphisme canonique $\theta _*(E)=E\otimes
^{\pi}_BC$. 



\paragraph{Définition d'une paire}

\begin{defi}
Soit $B$ une algèbre de Banach.
Une $B$-paire est la donnée  
\begin{itemize}
\item
d'un $B$-module de Banach à droite $E^>$ non dégénéré,
\item
d'un $B$-module de Banach à gauche $E^<$ non dégénéré,
\item
et d'un crochet $\s{\cdot,\cdot}\ :\ \ E^<\times E^>\rightarrow B,$
qui est $\C$-bilinéaire, et tel que 
pour tout  $x\in E^>$, pour tout $\xi \in E^<$ et pour tout $b\in B$, on
ait 
$$\s{b\xi,x}=b\s{\xi,x}, \s{\xi,xb}=\s{\xi,x}b,
\|\s{\xi ,x}\|_B \leq \|\xi \|_{E^<}\|x\|_{E^>}.$$
\end{itemize}
\end{defi}
Nous noterons toujours une $B$-paire sous la forme $E=(E^<,E^>)$, 
 en omettant le 
crochet.
Si $E$ et $F$ sont deux $B$-paires, leur somme directe est
$E\oplus F=(E^< \oplus F^<,E^> \oplus F^>)$ : la norme de $(x,y)\in
E^>\oplus F^>$ est $\|x\|+\|y\|$, la norme de $(\xi ,\eta)\in 
E^<\oplus F^<$ est $\|\xi\|+\|\eta \|$ et le crochet est 
$\s{(\xi ,\eta),(x,y)}=\s{\xi ,x}+\s{\eta,y}$. 

Soient $E$,$F$,$G$ des $B$-paires.
Un \textit{morphisme de $B$-paires} $f:E\rightarrow F$ est un couple
$(f^<,f^>)$, où 
\begin{itemize}
\item 
$f^>:E^>\rightarrow F^>$ est un morphisme de $B$-modules de Banach à droite,
\item 
$f^<:F^<\rightarrow E^<$ est un morphisme de $B$-modules de Banach 
à gauche,
\end{itemize}
de sorte que 
 pour tout $x\in E^>$ et  pour tout $\eta \in F^<$,
on ait  
$$\s{\eta ,f^>(x)}=\s{f^<(\eta ),x}.$$ 
On note 
$\L(E,F)$ l'espace  des morphismes de $B$-paires de $E$
dans $F$. Muni de la norme $\|f\|=\max (\|f^>\|,\|f^<\|)$, c'est un
espace de Banach. 
Le composé de deux morphismes de $B$-paires $f=(f^<,f^>)$
de $E$ vers $F$ et $g=(g^<,g^>)$ de $F$ vers $G$ est 
$g\circ f=(f^<\circ g^<,g^> \circ f^>)$ de $E$ vers $G$.

Pour $\xi _0\in E^<$ et $y_0\in F^>$, on note $|y_0\rangle \langle \xi
_0|\in \L(E,F)$ le morphisme de $B$-paires $f$ défini par
$f^>(x)=y_0\s{\xi _0,x}$ 
pour $x\in E^>$ et $f^<(\eta )=\s{\eta ,y_0}\xi _0$ pour $\eta \in
F^<$. On note  $\K(E,F)$ l'adhérence dans $\L(E,F)$ du sous-espace
vectoriel engendré par les morphismes de la forme 
$|y_0\rangle \langle \xi _0|$, et on dit
qu'un morphisme est \textit{compact} s'il appartient à $\K(E,F)$. 
Le composé d'un morphisme compact avec un autre morphisme est
compact. On pose $\L(E)=\L(E,E)$ et $\K(E)=\K(E,E)$. On voit que
$\L(E)$ est une algèbre de Banach, et $\K(E)$  un 
idéal bilatère fermé de $\L(E)$. 

 \paragraph{Lien avec les modules hilbertiens}
Soit $B$ une $C^*$-algèbre, et soit $E$ un $B$-module hilbertien. On
note $\s{.,.}:E\times E\vers B$ la forme sesquilinéaire. Alors $E$ est un
  $B$-module de Banach à droite non dégénéré. On note $\bar E$ le $B$-module
  de Banach à gauche  non dégénéré 
tel qu'il existe une isométrie $\C$-antilinéaire
  $*:E\vers \bar E$ vérifiant $b^*x^*=(xb)^*$ pour $x\in E$ et $b\in
  B$. On pose $\s{x^*,y}=\s{x,y}$ pour $x,y\in E$.


\begin{prop}
  Sous ces hypothèses $(\bar
  E,E)$ est une $B$-paire. Soit $F$ un deuxième $B$-module hilbertien,
 soit  $f:E\vers F$ un morphisme de $B$-modules hilbertiens. On note 
 $f^* : F\vers
  E$ son adjoint et $\overline { f^*}$ l'application
  $(*)f^*(*)^{-1}:\bar F\vers \bar E$.  Alors
  $(\overline { f^*} ,f)$ est un morphisme de $B$-paires de $(\bar
  E,E)$ vers $(\bar F,F)$, et est compact si $f$ est compact. 
\end{prop}

\paragraph{Sommes et idempotents}

Soient $B$ une algèbre de Banach, $E$ et $F$ deux
$B$-paires et $G=E\oplus F$. On appelle inclusion $i$ de $E$ dans
$G$ parallèlement à $F$ le morphisme de $B$-paires $i=(i^<,i^>)$ de
$E$ vers $G$,
où $i^>$ est l'inclusion de $E^>$ dans $G^>$, et $i^<$ la projection de
$G^<$ sur $E^<$ parallèlement à $F^<$. De même, on appelle 
projection $\pi $ de $G$ sur $E$ parallèlement à $F$ le morphisme de
$B$-paires $ \pi =(\pi ^<,\pi ^>)$ de $G$ vers $E$, où $\pi ^>$ est la 
projection de $G^>$ sur $E^>$ parallèlement à $F^>$, et 
$\pi ^<$ l'inclusion de $E^<$ dans
$G^<$. Souvent nous omettons "parallèlement à
$F$", lorsque le supplémentaire est tout désigné. Enfin par abus, on
appelle aussi projection sur $E$ le composé $q=i\circ \pi =(\pi ^<i^<,
 i^>\pi ^>)\in \L(G)$ qui, lui, est vraiment constitué de deux projections au
 sens usuel. 

Il y a une construction inverse.
Soit $G$ une $B$-paire, et soit $q\in \L(G)$ tel que $q^2=q$.  
Notons $q=(q^<,q^>)$. 
Alors $q^>:G\vers G$ est un projecteur, donc on a 
$G^>=\mathrm{Im}q^>\oplus \mathrm{Ker} q^>$ en tant que $B$-module à droite.
En fait $\mathrm{Im}q^>$ et $\mathrm{Ker} q^>$ sont des sous-modules de $G^>$, donc
munis de la norme de sous-module. L'isomorphisme ci-dessus n'est pas
une isométrie mais il est bicontinu.
De même $q^<:G^<\vers G^<$ est un projecteur donc on a 
$G^<=\mathrm{Im}q^<\oplus \mathrm{Ker}q^<$ en tant que $B$-module à gauche.
De plus $\mathrm{Ker}q^<$ et $\mathrm{Im}q^>$ sont orthogonaux pour le crochet de
$G$, de même que $\mathrm{Im}q^<$ et $\mathrm{Ker}q^>$. Par suite, 
$G=(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{Im}q^>)\oplus
(\mathrm{Ker}q^<,\mathrm{Ker}q^>)$ en tant que $B$-paire, 
à équivalence des normes près. En suivant la terminologie du paragraphe
précédent, on peut dire que le morphisme de
$B$-paires $q:G\vers G$ est la projection sur la $B$-paire
$(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{Im}q^>)$ parallèlement à $(\mathrm{Ker}q^<,\mathrm{Ker}q^>)$. 
La projection $\pi :G\vers (\mathrm{Im}q^<,\mathrm{Im}q^>)$ et l'inclusion 
$i:(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{Im}q^>)\vers G$ sont aussi des morphismes de
$B$-paires et vérifient $\pi \circ q=\pi, q\circ i=i, \pi \circ
i=\mathrm{Id}, i\circ \pi=q$. 
Dans la suite nous noterons souvent $i_q$ et $\pi_q$ pour exprimer que
$i $ et $\pi$ dépendent de $q$. 

Nous résumons la discussion dans la proposition
suivante. 
\begin{prop}\label{projpaires}
Soient $G$ une $B$-paire et $q\in \L(G)$ tel que $q^2=q$.  Alors $G$ est
isomorphe à la somme directe des $B$-paires $(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{Im}q^>)$ et 
$(\mathrm{Ker}q^<,\mathrm{Ker}q^>)$.
\end{prop}

\paragraph{Paires dérivées de la paire standard}

Soit $B$ une algèbre de Banach non dégénérée.
Posons $F^<=B$ et $F^>=B$ munis des structures de $B$-modules à gauche
et à droite évidentes. Soit $\s{.,.}:B\times B\vers B$ le produit
usuel.
Alors $(F^<,F^>,\s{.,.})$ est une $B$-paire, appelée $B$-paire
standard, et notée $B$. Soit $E$ une $B$-paire. On définit 
$\Psi _{E^>}:E^>\vers \L(B,E)$ par $\Psi _{E^>}(x)^>(b)=xb$ et 
$\Psi _{E^>}(x)^<(\xi)=\s{\xi,x}$, pour $\xi\in E^<$, $x\in E^>$, et
$b\in B$. On définit de même $\Psi _{E^<}:E^<\vers \L(E,B)$.
\begin{lem}\label{psiE}
 Soit $B$ une algèbre de Banach  non dégénérée. Pour toute
$B$-paire $E$, $\K(B,E)$ est l'adhérence de $\Psi _{E^>}(E^>)$ dans
$\L(B,E)$  et 
  $\K(E,B)$ est l'adhérence de $\Psi _{E^<}(E^<)$ dans $\L(E,B)$.
\end{lem}
En effet comme $E$ est une $B$-paire, $E^>B$ est dense dans $E^>$ et
$BE^<$ est dense dans $E^<$. \cqfd

On note 
$B^p=B\oplus...\oplus B$, $p$ fois.
Ainsi $B^p=(E^<,E^>,\s{.,.})$, où $E^>=B^p$ est muni de la norme
$\|(x_1,...x_p)\|=\|x_1\|+...+\|x_p\|$, $E^<=B^p$ est muni de la même norme,
et $\s{(\xi _1,...\xi _p),(x_1,...x_p)}=\sum_{i=1}^p \xi _i x_i$.

Soient $p,n\in \N^*$. On a une application linéaire
continue $\Psi :M_{n,p}(\tilde B)\vers \L(B^p,B^n)$. Pour la définir
on note  
$B^p=(E^<,E^>,\s{.,.})$ et $B^n=(F^<,F^>,\s{.,.})$. Soit $q\in
M_{n,p}(\tilde B)$.
Alors, pour  $x\in E^>$ et $\eta \in F^<$,
 on pose  $\Psi(q)^>(x)=qx$ et $\Psi(q)^<(\eta )=\eta q$, en écrivant $x$
 sous la forme d'un vecteur colonne et $\eta $
 sous la forme d'un vecteur ligne. 
Ceci définit $\Psi(q)\in \L(B^p,B^n)$,
souvent noté $q$ par abus. 
Le résultat suivant est capital pour les
applications à la K-théorie. 


\begin{lem}\label{multcompact}
  Soit $B$ une algèbre de Banach  non dégénérée, et soient $p,n\in
  \N^*$. Alors $\K(B^p,B^n)$
est l'adhérence de $\Psi (M_{n,p}(B))$ dans $\L(B^p,B^n)$. De plus 
$\Psi (M_{p}(B))$ est un idéal bilatère de $\L(B^p)$. 
\end{lem}

 La première assertion résulte du lemme~\ref{psiE}. Pour montrer que
$\Psi (M_{p}(B))$ est un idéal à gauche de $\L(B^p)$, on définit 
une application bilinéaire 
$\theta : \L(B^p,B^n)\times M_{p,q}(B)\vers M_{n,q}(B)$ telle que 
$\Psi (\theta (x,y))=x\circ \Psi (y)$ : si $y=(y_1,\dots ,y_q)$ est la
décomposition de $y$ en vecteurs colonnes, on pose  
$\theta (x,y)=(x^>(y_1),\dots ,x^>(y_q))$. 
Pour montrer que $\Psi (M_{p}(B))$ est un idéal à droite de $\L(B^p)$, on définit une application bilinéaire analogue de 
$M_{n,p}(B)\times \L(B^q,B^p)$ vers $M_{n,q}(B)$. \cqfd




Soit maintenant $q\in M_p(\tilde B)$ vérifiant $q^2=q$.
Notons par abus $\Psi (q)=q=(q^<,q^>)$. 
Comme $q^2=q$ dans $\L(B^p)$, d'après la proposition~\ref{projpaires},
 $B^p=(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{Im}q^>)\oplus (\mathrm{Ker}q^<,\mathrm{Ker}q^>)$ en tant que $B$-paire,
à équivalence de normes près. 
Nous noterons parfois $\mathrm{Im}q$ ou $(B^pq,qB^p)$ au lieu de 
$(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{Im}q^>)$. 

Voici enfin un résultat qui nous sera utile pour la K-théorie.
\begin{prop} \label{appcpct}
Soient $B$ une algèbre de Banach non dégénérée, 
$E$ et $F$ des  $B$-paires, et $f:E\vers F$ un morphisme
compact. Pour tout  $\epsilon >0$ il existe un entier $n$, et des
morphismes compacts $R:B^n\vers F$ et $S:E\vers B^n$ tels que
$\|f-RS\|_{\L(E,F)}\leq \epsilon$.
\end{prop}
En effet on peut supposer  
$f=\sum_{i=1}^n|y_i\rangle \langle \xi _i|$, et
on pose alors  \linebreak $R=(\Psi _{F^>}(y_1),\dots ,\Psi _{F^>}(y_n))$  et
 $S=\begin{pmatrix} \Psi _{E^<}(\xi _1)\\ \dots \\ \Psi
_{E^<}(\xi _n) \end{pmatrix}$.  \cqfd


\paragraph{Fonctorialité}
Soient $A$ et $B$ deux algèbres de Banach, 
et $\theta $ un morphisme 
d'algèbres de Banach
 de $ A$ vers $B$.
Soit $E=(E^<,E^>)$ une  $A$-paire. 
Posons $\theta _{*}(E)=(\theta _{*}(E^<),\theta _{*}(E^>))=
(\tilde B\otimes ^{\pi }_{\tilde A}E^<,
E^>\otimes ^{\pi }_{\tilde A}\tilde B)$.
Alors $\theta _{*}(E)$ est une $B$-paire, appelée \textit{image directe} de
$E$ par le morphisme $\theta $ : le
crochet est défini par $\s{b\otimes \xi,x\otimes b'}=b\theta
(\s{\xi,x})b'\in B$, pour $b,b'\in \tilde B, x\in E^>,\xi \in E^<$.  
L'image directe d'une paire par $\mathrm{Id}$ est la paire elle-même, et
l'image directe par le composé de deux morphismes d'algèbres de
Banach est
l'image directe de l'image directe.  Soient $A,B,E,\theta $ comme
ci-dessus, $F=(F^<,F^>)$ une deuxième $A$-paire, et $f=(f^<,f^>)$ un
morphisme de $A$-paires de $E$ vers $F$. Alors $\theta _{*}(f)=(1\otimes
f^<,f^>\otimes 1)$ est un morphisme de $B$-paires de $\theta _{*}(E)$
dans $\theta _{*}(F)$ et si $f$ est
compact, $\theta _{*}(f)$ est compact : en effet, pour $y\in F^>$ et
$\xi \in E^<$, on a $\theta _{*}(|y\rangle \langle \xi |)=
|y \otimes 1 \rangle \langle 1 \otimes \xi |$. 

Pour toute $B$-paire
 $E$ on note $E[0,1]$ la $B[0,1]$-paire $(E^<[0,1],E^>[0,1])$. 

Pour tout $t\in [0,1]$, en notant $\sigma _t:B[0,1]\vers B$
 l'évaluation en $t$, on a $\sigma _{t,*}(E[0,1])=E$ comme conséquence
 du lemme~\ref{homstrict}. 


\begin{defi}
  Soient $A$ et $B$ deux algèbres de Banach. 
On appelle $(A,B)$-bimodule de Banach
  une $B$-paire $E$ dotée d'un morphisme d'algèbres de Banach de $A$ dans
  $\L(E)$.
\end{defi}
En d'autres termes une $B$-paire $E=(E^<,E^>)$ est un $(A,B)$-bimodule
de Banach si $E^>$
est muni d'une structure de $A$-module de Banach à gauche, $E^<$
d'une structure de $A$-module de Banach à droite, ces structures
commutant aux structures de $B$-modules sur $E^>$ et $E^<$, et
vérifiant de plus $\s{\xi a,x}=\s{\xi, ax}$ pour $a\in A,x\in
E^>,\xi\in E^<$. 

Si $A$ et $B$ sont deux $C^*$-algèbres et $E$ un $(A,B)$-bimodule au
sens de~\cite{kaspnov}, alors $(\bar E,E)$ est un $(A,B)$-bimodule  de Banach.

\section{Une KK-théorie pour les algèbres de Banach}

\begin{defi}\label{definitionnorme}
 Soit $G$ un groupe topologique. On appelle longueur sur $G$ une fonction
 continue $\ell: G\vers [0,+\infty [$, telle que 
$\ell(g_1g_2)\leq \ell(g_1)+\ell(g_2)$ quels que soient $g_1,g_2\in G$.
\end{defi}

Soit $G$ un groupe topologique. On appelle $G$-algèbre de Banach une
  algèbre de Banach $B$ munie d'une action continue de $G$ par
  automorphismes préservant la norme de $B$ (il est essentiel que $G$
  préserve la norme de $B$).  

Soient $\ell$ une longueur sur $G$ et $B$ une
  $G$-algèbre de Banach. 

On appelle $(G,\ell)$-$B$-module de Banach à droite
  un
  $B$-module de Banach à droite $E$ muni d'une action continue de $G$, 
telle que $g(xb)=(gx)(gb)$ et $\|gx\|_E\leq e^{\ell(g)}\|x\|_E$ pour $g\in G,
  x\in E, b\in B$. 

On appelle $(G,\ell)$-$B$-module de Banach à gauche 
  un
  $B$-module de Banach à gauche $E$ muni d'une action continue de $G$, 
telle que $g(b\xi )=(gb)(g\xi)$ et $\|g\xi\|_E\leq e^{\ell(g^{-1})}\|\xi\|_E$
  pour $g\in G, 
  \xi \in E, b\in B$. 


 
On appelle $(G,\ell)$-$B$-paire une $B$-paire
  $E=(E^<,E^>)$ avec 
  une action de $G$ sur $E^<$ et $E^>$,  
  telle que $E^>$ soit un $(G,\ell)$-$B$-module de Banach à droite et $E^<$ 
un $(G, \ell)$-$B$-module de Banach à gauche, et que
  $g(\s{\xi,x})=\s{g\xi,gx}$ pour $g\in G,x\in E^>,\xi \in E^<$.


Lorsque $E$ et $F$ sont des $(G,\ell)$-$B$-paires et $T\in \L(E,F)$ et
$g\in G$, on note $g(T)=(gT^< g^{-1},gT^> g^{-1})\in \L(E,F)$. 

Enfin si $A$ est une  $G$-algèbre de Banach, on appelle 
$(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule de Banach un $(A,B)$-bimodule de Banach $E$ muni  
d'une action de $G$
telle que $E$ soit une $(G,\ell)$-$B$-paire et que $A\to \L(E)$ soit
$G$-équivariant. 
 

Dans toutes ces notations on omet $\ell$ lorsque $\ell=0$. 

%\noindent \begin{bfseries}Remarque
%\end{bfseries}
%On peut définir une $(G,N)$-$B$-paire comme une $B$-paire
%  $E$ munie d'une représentation $V:G\vers \L(E)$ vérifiant
%  $\|V_g\|_{\L(E)}\leq N(g)$ pour tout $g\in G$~: le lien entre les
%  deux définitions se fait en posant $V_g^>(x)=gx$ et
%  $V_g^<(\xi)=g^{-1}\xi$ pour $x\in E^>$ et $\xi\in E^<$. Si $F$ est
%  une autre $(G,N)$-$B$-paire, et si on note $W:G\vers \L(F)$ la
%  représentation associée on a, pour tout
%  $T\in \L(E,F)$, $g(T)=W_gTV_g^{-1}$ comme morphisme de
%  $B$-paires.  
Un espace de Banach $\Z/2$-gradué est un espace de Banach $E$ muni
d'une décomposition en somme directe $E=E_0\oplus E_1$. On adopte la
même terminologie pour les paires et les bimodules. 

\begin{defi}\label{defKK}
  Soient $G$ un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G$ et  
$A$ et $B$ deux $G$-algèbres de Banach. 
On note $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ l'ensemble des classes d'isomorphisme 
de couples  
$(E,T)$  avec $E$ un 
$(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule de Banach $\Z/2$-gradué et
 $T\in \L(E)$, impair, tel que, 
pour tout $a\in A$,  $[a,T]$ et $a(\mathrm{Id}_E-T^2)$ appartiennent à
$\K(E)$, et   
 $g\mapsto a(T-g(T))$  soit une application continue de $G$ dans $\K(E)$.  

Soit $C$ une $G$-algèbre de Banach, et soit $\theta :B\vers C$
un morphisme $G$-équivariant d'algèbres de Banach. 
Alors, si $(E,T)\in E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$,
on a $(\theta _*(E),\theta _*(T))\in E_{G,\ell}^{\ban}(A,C)$. On obtient
ainsi une 
application $ \theta _*:E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)\vers E_{G,\ell}^{\ban}(A,C)$. 

Pour $t\in [0,1]$, on note $\sigma _t :B[0,1]\vers B$ l'évaluation en
  $t$. On dit que deux éléments $x$ et $y$ de $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ sont
  homotopes si ce sont les images par $\sigma_{0,*}$ et $\sigma_{1,*}$
  d'un même élément de $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B[0,1])$.
 
L'homotopie est une relation d'équivalence sur 
$E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ et on note 
$KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ le quotient de  $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ par cette
relation. 

Lorsque $\ell=0$ on omet $\ell$ et lorsque $G$ est trivial on omet $G$.
 \end{defi}

Par la suite, nous noterons indifféremment un élément de
$E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ sous la forme $(E,T)$ ou sous la forme
$(E_0\vava{f}{g}E_1)$ lorsque $T=\begin{pmatrix}0&g\\f&0
\end{pmatrix}$. 



Si $\ell'$ est une autre longueur sur $G$ avec, pour tout $g\in G$,
  $\ell(g)\leq \ell'(g)$,  on a une application évidente
$KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)\vers KK_{G,\ell'}^{\ban}(A,B)$.

Si $A$ et $B$ sont deux $G$-algèbres de Banach, $B$ étant  non
dégénérée, et $\theta $ un
morphisme $G$-équivariant de $A$ vers $B$, on note $[\theta ]$
l'élément de 
$KK_G^{\ban}(A,B)$ défini par $(E,0)\in E_G^{\ban}(A,B)$ 
où $E$ est la $B$-paire standard
munie de sa structure évidente de $G$-$(A,B)$-bimodule de Banach, et
 graduée de fa\c con triviale. Pour vérifier
que $(E,0)$ appartient à $ E_G^{\ban}(A,B)$, on utilise le
lemme~\ref{multcompact}. En particulier si $A=B$ et $\theta =\mathrm{Id}_B$ on
note $1=[\mathrm{Id}_B]\in KK_G^{\ban}(B,B)$.

Soient $G$ un groupe localement compact, $A,B,D$ des $G$-algèbres de
Banach, $D$ 
étant non dégénérée, et $\alpha \in KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$, et $(E,T)\in
E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ représentant $\alpha $. On définit $\sigma
_D^{\ban}(\alpha )$ comme la classe de $(E\otimes ^{\pi}D,T\otimes 1)$ dans
$KK_{G,\ell}^{\ban}(A\otimes ^{\pi}D,B\otimes ^{\pi}D)$. 

Voici quelques lemmes pour illustrer la notion d'homotopie. 
Nous montrons en particulier que 
$KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ est un groupe abélien.   
\begin{lem}\label{perturbation}
 Soient $G$ un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G$,  
$A$ et $B$ des $G$-algèbres de Banach et  
$(E,T)\in E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$. Soit $ T'\in \L(E)$ impair, 
  de sorte que pour tout $a\in A$, $a(T'-T)$ et $(T'-T)a$ 
soient compacts. Alors $(E,T')$ appartient à 
$E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$, et les éléments 
 $(E,T)$ et  $(E,T')$ sont homotopes dans $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$.
\end{lem}
Pour justifier la dernière assertion, notons 
$\bar T=(\bar T_{t})_{t\in [0,1]}$ le morphisme de 
$B[0,1]$-paires de $E[0,1] $ dans lui-même 
défini par $\bar T_{t}=(1-t)T+tT'$.
Alors $(E[0,1],\bar T)$ appartient 
à $  E_{G,\ell}^{\ban}(A,B[0,1])$ et 
réalise une homotopie entre $(E,T)$ et  $(E,T')$.\cqfd

\begin{lem}     \label{deg}
  Soient $G$ un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G$ et  
$A$ et $B$ des $G$-algèbres de Banach. 
Soient $E$ un 
$(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule de Banach $\Z/2$-gradué
et  $T\in \L(E)$, impair, tels que 
pour tout  $a\in A$, pour tout $g\in G$, 
 $[a,T]$, $a(1-T^2)$ et $a(g(T)-T)$ soient nuls.   
Alors $(E,T)$ appartient à $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ et il est homotope à
$0$.
\end{lem}
On dit qu'un tel complexe est dégénéré. En particulier, pour tout
 $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule  de Banach $F$, le complexe
 $(F\vava{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}F)$ est dégénéré.  
Montrons le lemme. D'abord 
 $\bar E=C_0(]0,1],E)$ est un 
$(G,\ell)$-$(A,B[0,1])$-bimodule de Banach. 
Considérons le morphisme de
 $B[0,1]$-paires $\bar T=(\bar T_{t})_{t\in
   [0,1]}$ de $\bar E$ vers $\bar E$, où 
$\bar T_{t}=T$ si $t\in ]0,1]$ et $\bar T_{0}=0$. Alors 
$(\bar E,\bar T)$ appartient à 
$E_{G,\ell}^{\ban}(A,B[0,1])$ 
et réalise une homotopie entre $0$ et $(E,T)$.\cqfd







\begin{lem}
 Soient $G$ un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G$ et  
$A$ et $B$ des $G$-algèbres de Banach. 
Si $(E_1,T_1)$ et $(E_2,T_2)$ sont deux éléments de
$E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$, leur somme directe $(E_1,T_1)\oplus (E_2,T_2)=
  (E_1\oplus E_2,T_1\oplus T_2)$ appartient à
$E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$. Cette opération est compatible à l'homotopie et
définit sur $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ une structure de groupe abélien. 
\end{lem}
En effet soit $x=
(E_{0}\vava{f}{g}E_1)\in E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ et posons
$y=(E_{1}\vava{g}{f}E_0)$. Alors $x\oplus y$ est homotope à
un élément dégénéré, au moyen de $z\in E_{G,\ell}^{\ban}(A,B[0,1])$
 défini par   
$$z=(E_0[0,1]\oplus E_1 [0,1]
\dmap{130}{{\begin{pmatrix} 
    \cos(\frac{\pi}{2}t)f & -\sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id}    \\
    \sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id}  &  \cos(\frac{\pi}{2}t)g
      \end{pmatrix} _{t\in [0,1]} }}
    {{\begin{pmatrix}  
    \cos(\frac{\pi}{2}t)g & \sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id}   \\
    -\sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id}  & \cos(\frac{\pi}{2}t)f
      \end{pmatrix}  _{t\in [0,1]}}}
   E_1[0,1] \oplus E_0[0,1] ).$$\cqfd
%$$z=(E_0[0,1]\oplus E_1 [0,1]
%\lvava{{\scriptstyle \begin{pmatrix} 
%    \cos(\frac{\pi}{2}t)f & -\sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id}    \\
 %   \sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id}  &  \cos(\frac{\pi}{2}t)g
 %     \end{pmatrix} _{t\in [0,1]} }}
 %   {{\scriptstyle \begin{pmatrix}  
  %  \cos(\frac{\pi}{2}t)g & \sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id}   \\
  %  -\sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id}  & \cos(\frac{\pi}{2}t)f
  %    \end{pmatrix}  _{t\in [0,1]}}}
  % E_1[0,1] \oplus E_0[0,1] ).$$


Étudions la fonctorialité.
\begin{prop}
 Soit $G$ un groupe localement compact et $\ell$ une longueur sur $G$. 
Alors $(A,B)\mapsto KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ est un bifoncteur de la
catégorie des $G$-algèbres de Banach dans la catégorie des
 groupes abéliens.
\end{prop}
Dans la catégorie des  $G$-algèbres de Banach les flèches sont les
morphismes $G$-équivariants. 
La fonctorialité en $A$ est immédiate. 
La fonctorialité en $B$ est contenue dans la définition~\ref{defKK}.



Nous rappelons la définition de la K-théorie (voir~\cite{bost}, A.1.1
et A.1.3). 
\begin{defi}\label{defK}
Soit $A$ une algèbre de Banach. Lorsque $p,n\in \N$, on note  
$L_{p,n}(A)$ l'ensemble des matrices $q\in M_{p+n}(\tilde A)$ telles
que $q^2=q$ et $q-\begin{pmatrix} 1_p &0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\in M_{p+n}(A)$. On note  $L(A)$ la limite inductive des $L_{p,n}(A)$
 lorsque $p,n\vers \infty$, définie à l'aide des applications
 $\tau _{p,n,r,s}$, où $\tau _{p,n,r,s}:L_{p,n}(A)\vers
 L_{p+r,n+s}(A)$ est défini pour $r,s\in \N$ par $\tau _{p,n,r,s}(q)=
\begin{pmatrix} q &0  &0 \\ 0 & 1_r & 0 \\ 0 & 0 & 0_s \end{pmatrix}$
 en permutant les deux ensembles d'indices de cardinaux $n$ et $r$. 

Tout morphisme d'algèbres de Banach $\theta :A\vers B$ détermine 
$\theta _{*,p,n}:L_{p,n}(A)\vers L_{p,n}(B)$, d'où 
$\theta _*:L(A)\vers L(B)$. 
On dit que deux éléments $x,y\in L(A)$ sont homotopes si ce sont les
images par $\sigma _{0,*}$ et $\sigma _{1,*}$ d'un même élément de 
$L(A[0,1])$, où $\sigma _0: A[0,1]\vers A$ désigne 
l'évaluation en
$0$ et $\sigma _1$ l'évaluation en $1$, et on note 
$K_0(A)$ le quotient de $L(A)$ par cette
relation d'homotopie.

Lorsque $p,n,p',n'\in \N$, $q\in L_{p,n}(A)$, et $q'\in
L_{p',n'}(A)$, on note $q\oplus q'=\begin{pmatrix} q &0 \\ 0 & q'
\end{pmatrix}\in
L_{p+p',n+n'}(A)$, en permutant les deux ensembles d'indices de
cardinaux  $p'$ et $n$ . Ceci munit
$L(A)$ d'une loi de semi-groupe, et cette loi fait de $K_0(A)$ un
groupe.   

On pose $K_1(A)=K_0(C_0(\R,A))$. 
\end{defi}

Soit $B$ une algèbre de Banach non dégénérée. 
Construisons une application $\zeta : K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$,
fonctorielle en $B$.  Soit $x\in K_0(B)$. 
 Soient $p,n\in \N$ et $q\in L_{p,n}(B)$ un représentant de
 $x$. Posons $q_0=q$ et $q_1=\begin{pmatrix} 1_p &0 \\ 0 & 0 
\end{pmatrix}$, $E_0=(B^{p+n}q_0,q_0B^{p+n})$ et
 $E_1=(B^{p+n}q_1,q_1B^{p+n})$ les $B$-paires, pour la description
 détaillée desquelles nous renvoyons au paragraphe "Paires dérivées de
 la paire standard" de la section~\ref{paires}. Notons $i_0=i_{q_0}$
 l'inclusion de $E_0$ dans $B^{p+n}$ et $\pi_0=\pi_{q_0}$ la projection
 de $B^{p+n}$ sur $E_0$, qui sont des morphismes de $B$-paires
 attachés à $q_0$, décrits au même endroit, et de même introduisons
 $i_1=i_{q_1}$ et $\pi_1=\pi_{q_1}$.  La classe 
de $(E_0\vava{\pi_1i_0}{\pi_0i_1}E_1)\in E^{\ban}(\C,B)$
 dans $KK^{\ban}(\C,B)$ ne dépend que de $x$ et nous la notons 
  $\zeta (x)$. 
 
Le résultat suivant est crucial.
\begin{thm}\label{cle}
 Pour toute algèbre de Banach $B$ non dégénérée, l'application  
$\zeta : K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ définie ci-dessus est un
isomorphisme de groupes abéliens, fonctoriel en $B$.
\end{thm}
La démonstration occupe la section suivante. 

\begin{bfseries}Remarque.\end{bfseries}
Considérons l'algèbre de Banach $B$ des fonctions holomorphes sur la
couronne de centre $0$ et de rayons $1/2$ et $2$ dans le plan complexe,
et s'annulant en $1$, avec pour norme la norme du sup sur la
couronne. Comme $\tilde B$ a pour K-théorie la K-théorie du cercle,
$K_1(B)$ est non nul. Mais si on note $B^{(n)}$ le sous-espace
vectoriel de $B$   
 engendré par les produits de $n$ éléments de $B$, et $\overline
{B^{(n)}}$ son adhérence dans $B$, on a $\bigcap _{n\in \N^*}\overline
{B^{(n)}}=\{0\}$. Par conséquent dans toute $B$-paire le crochet est
nul. Il en résulte que tout opérateur compact entre deux $B$-paires
est nul et donc $KK^{\ban}(\C,B)=0$. L'hypothèse de non dégénérescence est
donc bien nécessaire dans le théorème précédent. Pour obtenir un
isomorphisme $K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ quand  $B$ est dégénérée,
il faudrait renoncer à l'hypothèse de non dégénérescence des $B$-paires et
modifier la définition de l'homotopie (demander une structure de
$\tilde B[0,1]$-modules sur $E^>$ et $E^<$ où $E$ est une
$B[0,1]$-paire pour l'homotopie).



Nous sommes maintenant prêts pour montrer que tout élément de
$KK$-théorie banachique induit un homomorphisme en $K$-théorie. 

\begin{prop}\label{real}
Il existe un unique homomorphisme 
$$ \Sigma : KK^{\ban}(A,B)\vers \mathrm{Hom}(K_0(A),K_0(B))$$ 
défini pour $A$ algèbre de Banach et $B$ algèbre de Banach
non dégénérée, qui est fonctoriel en $A$ et $B$, 
et qui est égal à l'inverse de
l'isomorphisme $\zeta $  
du théorème~\ref{cle} si $A=\C$.
\end{prop}
Pour tout $(E,T)\in E^{\ban}(A,B)$, $(C_0(\R,E),T\otimes 1)$ appartient à 
$E^{\ban}(C_0(\R,A), C_0(\R,B))$. D'où un homomorphisme $KK^{\ban}(A,B)\vers
KK^{\ban}(C_0(\R,A),C_0(\R,B))$ à l'aide duquel on construit 
$p: KK^{\ban}(A,B)\vers
\mathrm{Hom}(K_1(A),K_1(B))$.  


\noindent
\begin{bfseries}
Démonstration de l'unicité.
\end{bfseries}
Nous utilisons le lemme suivant, qui m'a été suggéré par Georges Skandalis.
\begin{lem}
  Soient $A$ et $B$ deux algèbres de Banach. Alors l'homomorphisme
  $KK^{\ban}(\tilde A,B)\vers KK^{\ban}(A,B)$ associé à l'inclusion $A\vers
  \tilde A$ est surjectif et scindé, le scindage étant fonctoriel en
  $A$ et $B$.
\end{lem}
En effet soit $(E_0\vava{f}{g}E_1)\in E^{\ban}(A,B)$. On note encore
$E_0$ et $E_1$ les $(\tilde A,B)$-bimodules de Banach obtenus en étendant
les structures de $A$-modules en structures de $\tilde
A$-bimodules. Soit  $\epsilon :\tilde A\vers \C$ l'augmentation. On note
 $E_0'$ et $E_1'$ les $(\tilde A,B)$-bimodules de Banach égaux à $E_0$ et
 $E_1$ en tant que $B$-paires et munis des structures de $\tilde
 A$-modules suivantes~: si $x\in E_0^{'>}$, $\xi \in E_0^{'<}$ et $a\in \tilde
 A$, $ax=\epsilon (a)x$ et $\xi a=\epsilon (a)\xi $, et de même pour
 $E_1'$. Alors 
 \begin{eqnarray*}
   \bigg( E_0\oplus E_1'
\dmap{110}{\begin{pmatrix}f & -(1-fg)\\1-gf& 2g-gfg
  \end{pmatrix}}
{\begin{pmatrix}2g-gfg & 1-gf \\-(1-fg) & f
  \end{pmatrix}}E_1\oplus E_0'\bigg)
 \end{eqnarray*}
appartient à $E^{\ban}(\tilde A,B)$ et l'image dans $KK^{\ban}(A,B)$ de 
la classe de cet
élement est égale à la classe de
$(E_0\vava{f}{g}E_1)$. \cqfd

\noindent 
{\begin{bfseries} Remarque. \end{bfseries}}
Il résulte de la fonctorialité du scindage que son image est exactement
le noyau du morphisme $KK^\ban(\tilde A,B)\to KK^\ban(\C,B)$ provenant
de l'inclusion $\C\to \tilde A$. 

\vskip 0.2cm 

Pour montrer l'unicité de $p$ nous pouvons donc nous restreindre au
cas où $A$ est unifère. Soient $n\in \N^*$ et $p$ un projecteur de
$M_n(A)$. L'inclusion standard $i:A\vers M_n(A)$ (définie par $i(a)=
\begin{pmatrix} a&0\\0&0_{n-1}\end{pmatrix}$) induit une
application surjective $i^*:KK^{\ban}(M_n(A),B)\vers KK^{\ban}(A,B)$ car
si $(E,T)\in E^{\ban}(A,B)$, $(E^n,T^n)$ appartient à $E^{\ban}(M_n(A),B)$ et 
$i^*(E^n,T^n)$ est homotope à $(E,T)$. Enfin $p$ définit un morphisme
$\C\vers M_n(A)$, d'où un homomorphisme $KK^{\ban}(M_n(A),B)\vers
KK^{\ban}(\C,B)$. L'unicité en résulte. \cqfd

\noindent
\begin{bfseries}
Démonstration de l'existence.
\end{bfseries}
D'après le lemme précédent, il suffit de montrer l'existence lorsque
$A$ est unitaire. L'argument ayant servi à montrer l'unicité dans le
cas unitaire montre aussi l'existence. Voici une construction directe
de $\Sigma (y)(x)\in K_0(B)$, lorsque $A$ est unitaire, $x\in K_0(A)$
est représenté par un projecteur $q$ de $M_n(A)$, et $y$ représenté
par $(E_0\vava{f}{g}E_1)\in E^{\ban}(A,B)$. On définit $\Sigma (y)(x)$
comme l'image inverse par $\zeta$ de $(\E_0\vava{\pi f^n i}{\pi g^n i}\E_1)\in E^{\ban}(\C,B)$, en
 notant, pour $i\in \{0,1\}$, $\E_i=((E_i^<)^n q,q(E_i^>)^n)$ et 
 $i:\E_i\vers E_i^n$
 l'inclusion et $\pi:E_i^n\vers \E_i $ la projection associées
  à $q$. \cqfd


\noindent
\begin{bfseries}
Remarque. 
\end{bfseries}
Voici une construction directe, lorsque $A$ n'est pas unitaire.  

Pour tout $x\in K_0(A)$ nous allons définir une application $(x\otimes
\cdot) :KK^{\ban}(A,B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$. D'après le
théorème~\ref{cle}, $KK^{\ban}(\C,B)$ est en bijection avec $K_0(B)$, ce
qui nous permet de poser, pour $x\in K_0(A)$, et $y\in 
KK^{\ban}(A,B)$, $\Sigma (y)(x)=\zeta ^{-1}(x\otimes y)\in K_0(B)$. 


Soit $x\in K_0(A)$. 
 D'après la définition~\ref{defK}, il existe $p,n\in \N$ et $q\in 
L_{p,n}(A)$ représentant $x$. Posons $q^0=q$ et $q^1=
\begin{pmatrix} \mathrm{Id}_p &0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Ainsi
$q^0$ et $q^1$ sont des projecteurs de $M_{p+n}(\tilde A)$ tels que 
$q^1-q^0$ appartienne à $M_{p+n}(A)$. 
Nous allons construire  
 une application  $((q^0,q^1)\otimes
\cdot) :E^{\ban}(A,B)\vers E^{\ban}(\C,B)$ fonctorielle en $B$, 
d'où, en passant au quotient
par homotopie, 
une application bien définie de $KK^{\ban}(A,B)$ dans 
$KK^{\ban}(\C,B)$. Nous montrons que  cette dernière application ne
dépend que de $x$ et nous la notons $x\otimes  
\cdot  :KK^{\ban}(A,B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$. 

 Soit $y \in  
E^{\ban}(A,B)$.  Notons $y=(E_{0}\vava{f}{g}E_{1})$. 
Pour $i\in \{0,1\}$, $j\in \{0,1\}$, posons 
\begin{eqnarray}
  \E^i_{j}=((E_{j}^<)^{p+n}q^i,q^i(E_{j}^>)^{p+n}).\nonumber 
\end{eqnarray}
Nous rappelons  que  $(E_{j}^<)^{p+n}q^i$ est un sous-module facteur
direct de $(E_{j}^<)^{p+n}$ que nous munissons de la norme induite et de
même pour $q^i(E_{j}^>)^{p+n}$. D'après la
proposition~\ref{projpaires},   
$\E^i_{j}$ est une $B$-paire. 
Pour tout $j\in \{0,1\}$ notons $i^0_{j}: \E^0_{j}\vers
(E_j)^{p+n}$ l'injection et $\pi^0_{j}:(E_j)^{p+n}\vers\E^0_{j}$ 
la projection associées à $q^0$, qui sont des morphismes de
$B$-paires, et de même introduisons $i^1_{j}$ et $\pi^1_{j}$. 
Enfin nous notons $q^0_{j}$ et $q^1_{j}$ les 
morphismes de $B$-paires de $(E_{j})^{p+n}$ dans lui-même associés à
$q^0$ et $q^1$. On a par exemple $q^{0}_ji^0_{j}=i^0_{j}$ et 
$\pi^0_{j}i^0_{j}=q^{0}_j$. 

Posons $\E_+=\E^0_{0}\oplus \E^1_{1}$ et $\E_-=\E^1_{0}\oplus
\E^0_{1}$ et notons $\E$ la $B$-paire $\Z/2\Z$-graduée égale à
$\E_+\oplus \E_-$. 
Notons $T_1$ l'élément impair de $\L(\E)$ défini par 
\begin{eqnarray}
\begin{array}{ccc}
 \E^0_{0} & \dmap{30}{0} {0} & \E^0_1 
\\
{\scriptstyle \pi ^1_0 i^0_0}
% \vcenter{%\rlap{$ \pi ^0_0 i^1_0$}}
\downarrow \uparrow {\scriptstyle \pi ^0_0 i^1_0} 
%\vcenter{%\rlap{$\pi_{0,1}i_{1,1}$}}
 & & {\scriptstyle \pi ^1_1 i^0_1}
%\vcenter{%\rlap{ $\pi _{1,2}i_{0,2}$}}
\downarrow \uparrow {\scriptstyle \pi ^0_1 i^1_1}
% \vcenter{%\rlap{$\pi _{0,2}i_{1,2}$}}
 \\
\E^1_0 & \dmap{30}{0}{0} &\E^1_1 
\end{array} \nonumber 
 \end{eqnarray}
et $T_2$ l'élément impair de $\L(\E)$ défini par  
\begin{eqnarray}
\begin{array}{ccc}
 \E^0_{0} & \dmap{60}{\pi ^0_{1}f^{p+n}i^0_0} {\pi^0_0
 g^{p+n}i^0_1} & \E^0_1 
\\
{\scriptstyle 0}
\downarrow \uparrow {\scriptstyle 0} 
 & & {\scriptstyle 0}
\downarrow \uparrow {\scriptstyle 0}
 \\
\E^1_0 & \dmap{60}{-\pi ^1_1f^{p+n}i^1_0}
{-\pi^1_0g^{p+n}i^1_1} &\E^1_1 
\end{array} \nonumber 
 \end{eqnarray}
Il est immédiat que $q^1_1f^{p+n}=f^{p+n}q^1_0$ et que
$q^0_1f^{p+n}-f^{p+n}q^0_0 $ est compact de $E_0^{p+n}$ dans
$E_1^{p+n}$ et il en va de même pour $g$. Par suite le
supercommutateur $[T_1,T_2]$ appartient à $\K(\E)$. On a aussi
$(\mathrm{Id}-T_1^2)(\mathrm{Id}-T_2^2)\in \K(\E)$. 

Définissons alors
$M_0$ et $M_1$ dans $\L(\E)$ par 
$$M_0=\begin{pmatrix} (\mathrm{Id}-T_1^2)\mid _{\E_0^0\oplus\E_0^1 } & 0 \\0 &
\mathrm{Id}_{\E_1^0\oplus\E_1^1  }\end{pmatrix}
\text{ et } M_1= \begin{pmatrix} \mathrm{Id}_{\E_0^0\oplus\E_0^1}  & 0 \\0 &
(\mathrm{Id}-T_1^2)\mid 
_{\E_1^0\oplus\E_1^1 }\end{pmatrix}.$$


On a $[M_0,T_1]=0$, $[M_1,T_1]=0$, et $M_0T_2-T_2M_1$ et 
$M_1T_2-T_2M_0$ sont compacts car $[\mathrm{Id}-T_1^2,T_2]$ est compact. 
On pose enfin $T=T_1+M_0T_2\in \L(\E)$. A un compact près on a alors
$T^2=T_1^2+M_0M_1T_2^2= T_1^2+(\mathrm{Id}-T_1^2)T_2^2=\mathrm{Id}$
d'où $(\E,T)\in E^{\ban}(\C,B)$. 

%Considérons les morphismes de $B$-paires $F:\E_0\vers
%\E_1$ et $G: \E_1\vers\E_0$ définis par 
%\begin{eqnarray}
%  F=\begin{pmatrix} 
% \pi ^1_0 i^0_0   &  -\pi^1_0g^{p+n}(q^1_1-q^0_1)i^1_1\\
%  \pi ^0_{1}f^{p+n}i^0_0  &  \pi ^0_1 i^1_1
%      \end{pmatrix} \nonumber \\
% \text{et }
%  G_1=\begin{pmatrix} 
%   \pi ^0_0 i^1_0  &  \pi^0_0 g^{p+n}(q^0_1-q^1_1)i^0_1 \\
% -\pi ^1_1f^{p+n}i^1_0   &  \pi ^1_1 i^0_1
%   \end{pmatrix}.\nonumber
%\end{eqnarray}
%Alors $(\E_{0}\vava{F}{G}\E_{1})$ appartient à
%$E^{\ban}(\C,B)$. Le point essentiel pour toutes les vérifications est 
%que
%$f^{p+n}$ et $g^{p+n}$ commutent exactement à $q^1$ et
%commutent avec $q^0$ à un morphisme compact près car $q^1-q^0$
%appartient à $M_{p+n}(A)$. On peut visualiser
%$(\E_{0}\vava{F}{G}\E_{1})$ comme le complexe $\Z/2$-gradué
%associé au complexe double suivant : 
%\begin{eqnarray}
%\begin{array}{ccc}
% \E^0_{0} & \lvava{\pi ^0_{1}f^{p+n}i^0_0} {\pi^0_0
% g^{p+n}(q^0_1-q^1_1)i^0_1} & \E^0_1 
%\\
%{\scriptstyle \pi ^1_0 i^0_0}
%% \vcenter{%\rlap{$ \pi ^0_0 i^1_0$}}
%\downarrow \uparrow {\scriptstyle \pi ^0_0 i^1_0} 
%\vcenter{%\rlap{$\pi_{0,1}i_{1,1}$}}
% & & {\scriptstyle \pi ^1_1 i^0_1}
%%\vcenter{%\rlap{ $\pi _{1,2}i_{0,2}$}}
%\downarrow \uparrow {\scriptstyle \pi ^0_1 i^1_1}
%% \vcenter{%\rlap{$\pi _{0,2}i_{1,2}$}}
% \\
%\E^1_0 & \lvava{-\pi ^1_1f^{p+n}i^1_0}
%{-\pi^1_0g^{p+n}(q^1_1-q^0_1)i^1_1} &\E^1_1 
%\end{array} \nonumber 
% \end{eqnarray}
%Nous devons vérifier que le morphisme  $\pi ^1_1 q^0_1f^{p+n}i^0_0-
%\pi ^1_1f^{p+n}q^1_0 i^0_0$  de $\E^0_{0}$ vers $\E^1_1$ 
%est compact mais cela est
%clair, car $\pi ^1_1 q^1_1=\pi ^1_1$ et $q^0_0i^0_0=i^0_0$. 
%De même le morphisme 
%$\pi ^0_0
%\big( g^{p+n}(q^0_1-q^1_1)q^0_1  -  q^1_0g^{p+n}(q^1_1-q^0_1)\big)i^1_1$ 
%de $\E^1_1$ vers $\E^0_0$ est
%compact, car $\pi ^0_0q ^0_0=\pi ^0_0$, $q^1_1i^1_1=i^1_1$ et
%$q_1^0(q_1^0-q_1^1)q_1^0q_1^1-q_1^0q_1^1(q_1^1-q_1^0)q_1^1=0$. 
%Le morphisme $Id_{\E^1_1}-\Bigl(\pi ^1_1 q^0_1 i^1_1+
%\pi ^1_1f^{p+n}q^1_0g^{p+n}(q^1_1-q^0_1)i^1_1\Bigr)$ est 
%compact et nous avons fait trois vérifications sur huit : 
%il reste à calculer un morphisme semblable au premier, 
%un morphisme semblable au deuxième et 
%trois morphismes semblables au dernier. 
%%%%%
%Posons maintenant, pour tout $k\in \{1,\dots ,n+1\}$, 
%$\E_{k}=\oplus _{i+j=k}\E_{i,j}$ et pour tout $k\in \{1,\dots ,n\}$, 
% $F_k:\E_{k}\vers \E_{k+1}$ et
%$G_k:\E_{k+1}\vers\E_{k} $ les champs de morphismes de $B_T$-paires
%tels que $\E_{1}\vava{F_1}{G_1}\E_{2} \dots \vava{F_n}{G_n} \E_{n+1}$ soit le
%complexe total associé 
%au complexe double dont les lignes sont 
%\begin{eqnarray}
%\dots \E_{0,2j}\vava{p_{0,2j+1}(f_{2j})^{p+n}(q_0-q_1)i_{0,2j}}
%{p_{0,2j}(g_{2j})^{p+n}i_{0,2j+1}} 
% \E_{0,2j+1}\vava{p_{0,2j+2}(f_{2j+1})^{p+n}i_{0,2j+1}}
%{p_{0,2j+1}(g_{2j+1})^{p+n}(q_0-q_1)i_{0,2j+2}} \E_{0,2j+2}  
%\dots   \text{ et } \nonumber \\
%\dots \E_{1,2j}\vava{p_{1,2j+1}(f_{2j})^{p+n}(q_1-q_0)i_{1,2j}}
%{p_{1,2j}(g_{2j})^{p+n}i_{1,2j+1}} 
% \E_{1,2j+1}\vava{p_{1,2j+2}(f_{2j+1})^{p+n}i_{1,2j+1}}
%{p_{1,2j+1}(g_{2j+1})^{p+n}(q_1-q_0)i_{1,2j+2}} \E_{1,2j+2}  
%\dots \nonumber 
%  \end{eqnarray}
% et les colonnes sont 
%$ \E_{0,j}\vava{(-1)^jp_{1,j}i_{0,j}}
%{(-1)^jp_{0,j}i_{1,j}}\E_{1,j}$ pour $j\in \{1,\dots
%,n\}$. 
%Le point essentiel pour toutes les vérifications est 
%que, pour tout $j\in \{1,\dots ,n-1\}$, 
%$(f_j)^{p+n}$ et $(g_j)^{p+n}$ commutent exactement à $q_0$ et
%commutent avec $q_1$ à un champ partout compact près car $q_1-q_0\in
%M_{p+n}(A)$ et d'après \textit{(KK4)}. 
%Pour montrer que le champ $Id-G_kF_k-F_{k-1}G_{k-1}$ est partout
%compact pour tout $k$ il nous faut par exemple montrer que pour tout
%$j$ le champ $Id -p_{0,2j+1} i_{1,2j+1} p_{1,2j+1} i_{0,2j+1}
%-p_{0,2j+1} (g_{2j+1})^{p+n} (q_0-q_1) i_{0,2j+2}
% p_{0,2j+2} (f_{2j+1})^{p+n} i_{0,2j+1}-
% p_{0,2j+1} (f_{2j})^{p+n} (q_0-q_1) i_{0,2j}
% p_{0,2j} (g_{2j})^{p+n} i_{0,2j+1}$ est partout compact de
%$\E_{0,2j+1}$ dans lui-même.
%Or $$Id -p_{0,2j+1} i_{1,2j+1} p_{1,2j+1} i_{0,2j+1}=
% p_{0,2j+1} (q_0-q_1) i_{0,2j+1}$$ 
% $$\text{et }(q_0-q_1) (Id- (g_{2j+1})^{p+n} (f_{2j+1})^{p+n} -
% (f_{2j})^{p+n} (g_{2j})^{p+n})$$ est partout compact d'après 
%\textit{(KK6)}. De même pour montrer que pour tout $k$ le champ
%$F_{k+1}F_k$ est partout compact, il nous faut par exemple montrer les
%deux faits suivants : premièrement, 
%$$p_{0,2j+2} (f_{2j+1})^{p+n} i_{0,2j+1} p_{0,2j+1} (f_{2j+1})^{p+n}
%(q_0-q_1) i_{0,2j}$$
%est partout compact de $\E_{0,2j}$ dans $\E_{0,2j+2}$, mais cela
%résulte de \textit{(KK7)}, deuxièmement
%$$-p_{1,2j+1} i_{0,2j+1} p_{0,2j+1} (f_{2j})^{p+n} (q_0-q_1) i_{0,2j}+ 
% p_{1,2j+1}
% (f_{2j})^{p+n} (q_1-q_0) i_{1,2j} p_{1,2j} i_{0,2j}$$ $$=
% p_{1,2j+1} (-q_0 (f_{2j})^{p+n} (q_0-q_1)+ (f_{2j})^{p+n}
% (q_1-q_0)q_1)
%i_{0,2j}$$ $$=
% p_{1,2j+1} ((f_{2j})^{p+n} (-Id+q_0q_1)+ ((f_{2j})^{p+n}+ [(f_{2j})^{p+n},q_1]-
% (f_{2j})^{p+n} q_0q_1) )i_{0,2j} $$ est partout compact car
%$[(f_{2j})^{p+n}, q_1]$ l'est. Enfin on montre que 
%$G_kG_{k+1}$
%est partout compact pour tout $k$. 

Ainsi nous avons construit $((q^0,q^1)\otimes
\cdot) :E^{\ban}(A,B)\vers E^{\ban}(\C,B)$ en associant 
$(\E,T)\in E^{\ban}(\C,B)$
 à $y=(E_{0}\vava{f}{g}E_{1})\in 
E^{\ban}(A,B)$. On vérifie que l'application de $KK^{\ban}(A,B)$ dans 
$KK^{\ban}(\C,B)$ obtenue en passant au quotient par homotopie ne
dépend pas de $n,p,q$ mais seulement de $x\in K_0(A)$.  
 

\section{Preuve du théorème~\ref{cle}}



Avant de commencer la preuve du théorème nous allons donner une
définition plus commode de $KK^{\ban}(\C,B)$. 
\begin{lem}\label{1=Id}
Soit $B$ une algèbre de Banach non dégénérée. Dans la définition de 
$KK^{\ban}(\C,B)$ on peut remplacer $E^{\ban}(\C,B)$ et $E^{\ban}(\C,B[0,1])$
par l'ensemble des $(E_0\vava{f}{g}E_1)$ tels que $1\in \C$ agisse
par $\Id$ sur $E_0$ et $E_1$. 
\end{lem}
Ce lemme est immédiat et dans toute la preuve du théorème~\ref{cle}
nous supposerons cette condition satisfaite. 

Montrons d'abord que $\zeta $ est fonctorielle.
Soient $B$ et $C$ des algèbres de Banach non dégénérées et $\theta
:B\vers C$ un morphisme d'algèbres de Banach. Si on considère $B$
comme un $B$-module de Banach à droite non dégénéré on a un morphisme
de $C$-modules de Banach à droite $u:\theta _*(B)\vers C$ 
de norme inférieure ou égale à $1$. En effet on rappelle que $\theta
_*(B)=B\otimes ^{\pi}_{\tilde B}\tilde C$ et on pose $u(b\otimes
c)=\theta (b)c$. 
Notons $E^>$ le $C[0,1]$-module de
Banach à droite suivant: $E^>=\{(h,x)\in C[0,1]\times \theta _*(B),
h(0)=u(x)\}$ muni de la norme $\|(h,x)\|=\max (\sup _{t\in
  [0,1]}\|h(t)\|_C,\|x\|_{\theta _*(B)}) $. On construit de même un
$C[0,1]$-module de 
Banach à gauche $E^<$ et $E=(E^<,E^>)$ est une $C[0,1]$-paire. Pour
tout $b\in  B$, la multiplication par $b$ et $\theta(b)$ 
est un morphisme compact de
$C[0,1]$-paires de $E$ dans lui-même. Si $q=q_0$ et $q_1$ sont comme
dans la construction qui précède le théorème~\ref{cle}, et en notant
$\E_i=(E^{<,p+n}q_i,q_iE^{>,p+n})$ pour $i\in \{0,1\}$, et $i_0$,
$i_1$, $\pi _0$ et $\pi _1$ les inclusions et projections associées à
$q_0$ et $q_1$,  
$(\E_0\vava{\pi_1i_0}{\pi_0i_1}\E_1)$
appartient à $E^{\ban}(\C,C[0,1])$ et réalise une homotopie entre
$\theta _*(\zeta (q))$ et $\zeta (\theta _*(q))$. 
 
Montrons maintenant que $\zeta $ est un isomorphisme.  L'idée
d'utiliser des algèbres unifères m'a été suggérée par Georges 
Skandalis, et elle simplifie beaucoup la démonstration. 

Nous allons montrer les deux propositions suivantes.

\begin{prop}\label{surj}
Soit $B$ une algèbre de Banach non dégénérée. Alors $\zeta :
K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ est surjective.  
\end{prop}

\begin{prop}\label{inj}
  Soit $B$ une algèbre de Banach unifère. Alors $\zeta :
K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ est injective. 
\end{prop}

Les deux propositions impliquent le théorème~\ref{cle}. En effet 
soit $B$ une algèbre de Banach non dégénérée. Le diagramme suivant, où
les flèches verticales proviennent de l'inclusion $i:B\vers \tilde B$,
commute par fonctorialité de $\zeta $~: 
\begin{eqnarray}
\begin{array}{ccc}
 K_0(B) & \vad{\zeta _B}
&   KK^{\ban}(\C,B)\\

\downarrow {\scriptstyle i_*} & 
& 
\downarrow \\
 K_0(\tilde B)& \vad{\zeta _{\tilde B}}
& KK^{\ban}(\C,\tilde B)
\end{array} \nonumber 
 \end{eqnarray}
Comme $\zeta _{\tilde B}$ et $i_*$ sont injectives, $\zeta _B$ est
injective, et d'autre part $\zeta _B$ est surjective. 

Avant de démontrer les deux propositions, énon\c cons deux lemmes
d'intérêt général.
\begin{lem}\label{cech}
  Soient $B$ une algèbre de Banach non dégénérée, $E_0$ et $E_1$ des
  $B$-paires,  $f\in \L(E_0,E_1)$, et $g\in \L(E_1,E_0)$ tels que
  $\mathrm{Id}_{E_1}-fg\in \K(E_1)$. Alors il existe $p\in \N$, $\cech f\in
  \L(E_0\oplus B^p,E_1)$, et $\cech g\in \L(E_1,E_0\oplus B^p)$ tels
  que $\cech f -(f,0)$ et $\cech g-\begin{pmatrix} g \\ 0 
\end{pmatrix}$ soient compacts et $\cech f\cech g=\mathrm{Id}_{E_1}$. 
\end{lem}
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}
D'après la proposition~\ref{appcpct}, il existe $p\in \N$ et des morphismes
compacts $R:B^p \vers E_1$ et $S:E_1\vers B^p$ tels que
$\|fg+RS-\mathrm{Id}_{E_1}\|_{\K(E_1)}\leq \frac{1}{2}$. Notons $W$ l'inverse de
$fg+RS$. Bien sûr $W-\mathrm{Id}_{E_1}$ est compact. Notons $\cech f=(f,R)
\in \L(E_0\oplus B^p,E_1)$ et $\cech g=\begin{pmatrix} g \\ S 
\end{pmatrix}W\in \L(E_1,E_0\oplus B^p)$. On a bien 
$\cech f -(f,0)$ et $\cech g-\begin{pmatrix} g \\ 0 
\end{pmatrix}$ compacts et $\cech f\cech g=\mathrm{Id}_{E_1}$. \cqfd

\begin{lem}\label{spectres}
Soient $B$ une algèbre de Banach non dégénérée et $n\in \N$.
Pour tout $y\in M_{n}(B)$, le spectre de $y$ dans $M_{n}(B)$ est
égal au spectre de $\Psi (y)$ dans 
$\K(B^{n})$. 
\end{lem}
On rappelle que l'application $\Psi:M_n(B)\vers \K(B^n)$ a été définie
juste avant le lemme~\ref{multcompact}. Le spectre de $y$ dans
l'algèbre non nécessairement unifère 
$M_{n}(B)$ est par définition le spectre de $y$
dans l'algèbre unifère associée, et il en va de même pour le spectre
de $\Psi (y)$ dans $\K(B^{n})$. 
Pour $x\in \Ker \Psi$ et $b\in M_{n}(B)$,   on a $bx=xb=0$. Donc le
spectre de $y$ dans $M_{n}(B)$ est égal au spectre de son image dans 
$M_{n}(B)/\Ker \Psi$. Or $M_{n}(B)/\Ker \Psi$ s'injecte dans
$\K(B^{n})$, et son image est un idéal bilatère dense d'après le
lemme~\ref{multcompact}. Le lemme~\ref{spectres} résulte alors de la
proposition A.2.8 de l'appendice de~\cite{bost}. \cqfd



\subsection{Démonstration de la proposition~\ref{surj}}
Soit $B$ une algèbre de Banach non dégénérée. Nous procédons en 
trois étapes. 
\begin{lem}\label{premred}
  Tout élément de $E^{\ban}(\C,B)$ est homotope à un élément de
  $E^{\ban}(\C,B)$ de la forme $(E\vava{f}{g}B^p)$ pour un certain
  $p\in \N$. 
\end{lem}
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}
Partons de $(E_0\vava{f}{g}E_1)\in E^{\ban}(\C,B)$. D'après le
lemme~\ref{1=Id}, on suppose 
que $1\in \C$ agit par $\mathrm{Id}$ sur $E_0$ et $E_1$. 
Grâce au lemme~\ref{cech}, il existe $p\in \N$, $\cech f\in
\L(E_0\oplus B^p,E_1)$ et $\cech g\in \L(E_1,E_0\oplus B^p)$, tels 
  que $\cech f -(f,0)$ et $\cech g-\begin{pmatrix} g \\ 0 
\end{pmatrix}$ soient compacts et $\cech f\cech g=\mathrm{Id}_{E_1}$. 
Par suite $\cech q=\cech g\cech f$ est un projecteur de $\L(E_0\oplus
B^p)$ et $\cech q-\begin{pmatrix} \mathrm{Id}_{E_0} & 0 \\ 0&0 
\end{pmatrix}$ est compact. Notons $\hat q=\mathrm{Id}_{E_0\oplus B^p}-\cech
q$, si bien que $\hat q$ est un projecteur de $\L(E_0\oplus
B^p)$ et $\hat q-\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0&\mathrm{Id}_{B^p} 
\end{pmatrix}$ est compact.  Introduisons les $B$-paires $\mathrm{Im}\cech q
=(\mathrm{Im}\cech q ^<,\mathrm{Im}\cech q ^>)$ et $\mathrm{Im}\hat  q
=(\mathrm{Im}\hat q ^<,\mathrm{Im}\hat q ^>)$, si bien que $ E_0\oplus B^p=\mathrm{Im}\cech
q\oplus \mathrm{Im}\hat  q$ et notons $\cech i=i_{\cech q}$, $\cech
\pi=\pi_{\cech q} $, $\hat i=i_{\hat q}$ et 
$\hat \pi=\pi_{\hat q}$ les inclusions et les projections associées
 à $\cech q$ et $\hat q$. Notons également $q_0$ l'endomorphisme
 de $E_0\oplus B^p$ qui projette sur le deuxième facteur,  $i_0=i_{q_0}$
 l'inclusion de $B^p$ 
 dans $E_0\oplus B^p$ parallèlement à $E_0$ et $\pi _0=\pi_{q_0}$ la projection
 correspondante. 
D'après le lemme~\ref{deg}, $(E_0\vava{f}{g}E_1)$ est homotope à 
$$(E_0\oplus B^p\dmap{50}{\begin{pmatrix} f&0 \\ 0&\mathrm{Id}_{B^p} 
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} g&0 \\ 0&\mathrm{Id}_{B^p} 
\end{pmatrix}}E_1\oplus B^p),$$ qui se réécrit aussi sous la forme 
$$(E_0\oplus B^p\dmap{60}{\begin{pmatrix} (f,0) \\ \pi _0 
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\begin{pmatrix} g \\ 0 
\end{pmatrix},i_o\end{pmatrix}}E_1 \oplus B^p).$$ 
D'après le lemme~\ref{perturbation}, cet elément est homotope à 
$$(E_0\oplus B^p\dmap{30}{\begin{pmatrix} \cech f \\ \pi _0\hat q 
\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cech g,\hat qi_o\end{pmatrix}}E_1\oplus
B^p),$$ puisque 
 $\cech f -(f,0)$, $\cech g-\begin{pmatrix} g \\ 0 
\end{pmatrix}$, $\pi_0\hat q -\pi_0$ et $\hat  qi_0-i_0$ sont compacts. Ce
dernier élément est la somme directe de $(\mathrm{Im} \cech q\vava{\cech f
  \cech i}{\cech \pi \cech g}E_1)$ et de $(\mathrm{Im} \hat q\vava{\pi _0 \hat
  i}{\hat \pi i_0}B^p)$. Or $\cech f
  \cech i$ et $\cech \pi \cech g$ sont inverses l'un de l'autre, donc 
 $(\mathrm{Im} \cech q\vava{\cech f
  \cech i}{\cech \pi \cech g}E_1)$ est homotope à $0$ d'après le
  lemme~\ref{deg}. \cqfd

  \begin{lem}\label{existence}
    Soient $p\in \N$, $E$ une $B$-paire, $f\in \L(E,B^p)$, et $g\in
    \L(B^p,E)$ tels que $gf-\mathrm{Id}_E$ et $fg-\mathrm{Id}_{B^p}$ soient
    compacts. Alors il existe $n\in \N$, et $q\in 
\begin{pmatrix} 1_p&0 \\ 0& 0
\end{pmatrix}+M_{p+n}(B)$, tels que $q^2=q$, et qu'en posant $q_0=q$, $q_1=
 \begin{pmatrix} 1_p&0 \\ 0& 0
\end{pmatrix}$, $i_0=i_{q_0}$,$\pi _0=\pi_{q_0}$, $\pi _1=\pi_{q_1}$,
$i_1=i_{q_1}$ les inclusions et 
    projections associées à $q_0$ et $q_1$ et
    $\mathrm{Im}q=((B^{p+n})q,q(B^{p+n}))$, il existe un isomorphisme de
    $B$-paires $\theta :E\vers \mathrm{Im}q$, avec $f-\pi _1i_0\theta \in
    \K(E,B^p)$ et $g-\theta ^{-1}\pi _0i_1\in \K(B^p,E)$.
  \end{lem}
Dans les notations du lemme, $(E\vava{f}{g}B^p)$ est
homotope à $(\mathrm{Im}q\vava{\pi_1i_0}{\pi_0i_1}B^p)$, en vertu du 
 lemme~\ref{perturbation}.

\noindent 
\begin{bfseries}
Démonstration du lemme~\ref{existence}.
\end{bfseries}
D'après le lemme~\ref{cech}, il existe $n\in \N$, 
$\cech f\in \L(E,B^{p+n})$, et
$\cech g\in \L(B^{p+n},E)$, tels que $\cech f -\begin{pmatrix} f \\ 0
\end{pmatrix}$ et $\cech g-(g,0)$ soient compacts et que $\cech g\cech
f=\mathrm{Id}_{E}$. Il en résulte que $\cech q=\cech f \cech g$ est un
projecteur de $\L(B^{p+n})$ et $\cech q-\begin{pmatrix} \mathrm{Id}_{B^p}&0 \\ 0&0
\end{pmatrix}\in \K(B^{p+n})$. On note $\mathrm{Im}\cech q
=(\mathrm{Im}\cech q ^<,\mathrm{Im}\cech q ^>)$, et on note $\cech i\in \L(\mathrm{Im} \cech
q,B^{p+n})$  et $\cech \pi\in \L(B^{p+n},\mathrm{Im} \cech q)$
l'inclusion et la projection associées à $\cech q$. 
On a le lemme suivant, que nous démontrons plus loin. 
\begin{lem}\label{fct} 
Soient $p,n\in \N$ et $\cech q\in \L(B^{p+n})$ tel que $\cech
q^2=\cech q$ et $\cech q-\begin{pmatrix} \mathrm{Id}_{B^p}&0 \\ 0& 0
\end{pmatrix}\in \K(B^{p+n})$. Pour tout $\epsilon >0$, il existe
$q\in M_{p+n}(\tilde B)$ tel que $q-\begin{pmatrix} 1_p&0 \\ 0& 0
\end{pmatrix}\in M_{p+n}(B)$ et $q^2=q$ dans $M_{p+n}(\tilde B)$, et
que $\|\Psi(q)-\cech q \|_{\K(B^{p+n})}\leq \epsilon $, en notant
$\Psi(q)$ l'image de $q$ dans $\L(B^{p+n})$. 
\end{lem} 
Si $\epsilon$ est assez petit et $q$ comme dans le lemme, $\lambda =\Psi(q)
\cech q +(1-\Psi(q))(1-\cech q)$ vérifie $\|\lambda
-\mathrm{Id}_{B^{p+n}}\|_{\K(B^{p+n})}\leq \frac{1}{2}$, donc 
$\lambda $ est inversible dans $\L(B^{p+n})$, et on a $
\lambda ^{-1}-\mathrm{Id}_{B^{p+n}}\in \K(B^{p+n})$. 
Comme $\lambda \cech q=\Psi(q)\lambda $, $\lambda $
induit un isomorphisme de $B$-paires $\lambda '$ de $\mathrm{Im}\cech q$ vers
$\mathrm{Im}q$, en écrivant $\mathrm{Im}q$ au lieu de $\mathrm{Im}\Psi(q)$, par abus. 
Comme $\cech \pi \cech f:E\vers \mathrm{Im} \cech q$ est un
isomorphisme de $B$-paires, d'inverse $\cech g \cech i$, $\theta
=\lambda '\cech \pi \cech f:E\vers \mathrm{Im} q$ est un isomorphisme de
$B$-paires. 

Montrons par exemple que 
    $f-\pi _1i_0\theta$ appartient à $\K(E,B^p)$. 
Comme $f=\pi _1\begin{pmatrix} f \\ 0
\end{pmatrix}$, il suffit de montrer que
    $\begin{pmatrix} f \\ 0
\end{pmatrix}-i_0\theta $ appartient à $\K(E,B^{p+n})$. Or $i_0\theta =i_0
\lambda '\cech \pi \cech f$ et $i_0
\lambda '=\lambda \cech i$ et $\lambda \cech i\cech \pi \cech
    f=\lambda \cech q \cech f=\lambda \cech f$. Enfin $(\lambda
    -\mathrm{Id}_{B^{p+n}})\in \K(B^{p+n})$ et $\cech f-\begin{pmatrix} f \\ 0
\end{pmatrix}\in
    \K(E,B^{p+n})$. On montre de même que 
$g-\theta ^{-1}\pi _0i_1$ appartient à $\K(B^p,E)$.  \cqfd

\noindent
\begin{bfseries}
Démonstration du lemme~\ref{fct}.
\end{bfseries}
Il existe un voisinage $\V$ de $\cech q $ dans $ \begin{pmatrix}
  \mathrm{Id}_{B^p}&0 \\ 0& 0  \end{pmatrix}+\K(B^{p+n})$ tel que pour tout
  $y\in \V$, le spectre de $y^2-y$ dans $\K(B^{p+n})$ soit inclus dans
  le disque ouvert $D(0,1/4)$ de
rayon $1/4$ et de centre $0$ dans $\C$. Par densité de
  $\Psi(M_{p+n}(B))$ dans $\K(B^{p+n})$, il existe une suite
  $(x_n)_{n\in \N^*}$
  d'éléments de $ \begin{pmatrix}
  1_p&0 \\ 0& 0  \end{pmatrix}+M_{p+n}(B)$, telle que $\Psi(x_n)$
  appartienne à $\V$ et que la suite $(\Psi(x_n))$ 
tende vers $\cech q$. D'après le
  lemme~\ref{spectres}, pour tout $n\in \N^*$, le spectre de $x_n^2-x_n$ dans
  $M_{p+n}(B)$ est inclus dans $D(0,1/4)$, et par suite le
  spectre de $x_n$ dans $M_{p+n}(\tilde B)$ est inclus dans 
$D(0,1/2)\cup D(1,1/2)$. Notons $\mu:D(0,1/2)\cup 
D(1,1/2) \vers \C$ la fonction qui vaut $0$ sur $D(0,1/2)$ et $1$ sur
  $D(1,1/2)$. Alors, pour tout $n\in \N^*$, $\mu(x_n)$ est un projecteur de 
$M_{p+n}(\tilde B)$, et appartient à $ \begin{pmatrix}
  1_p&0 \\ 0& 0  \end{pmatrix}+M_{p+n}(B)$. De plus la suite
  $\Psi(\mu(x_n))=\mu(\Psi(x_n))$ tend vers $\cech q$ par continuité
  du calcul fonctionnel holomorphe. On pose $q=\mu(x_n)$ pour $n$
  assez grand. \cqfd

\noindent
\begin{bfseries}
Fin de la démonstration de la proposition~\ref{surj}.
\end{bfseries}
D'après le lemme~\ref{premred} tout élément de $E^{\ban}(\C,B)$ est
homotope à un élément de la forme $(E\vava{f}{g}B^p)$, avec $p\in
\N$. D'après le lemme~\ref{existence} et la remarque qui suit ce lemme, 
 ce dernier est homotope à un élément de la forme $(\mathrm{Im}q_0\vava{\pi
   _1i_0}{\pi _0i_1}B^p)$, avec $q_0$ comme dans le
 lemme~\ref{existence}, 
et la classe de cet élément dans $KK^{\ban}(\C,B)$ appartient à 
l'image de $\zeta $ par la construction même de $\zeta $. \cqfd

\subsection{Démonstration de la proposition~\ref{inj}}
Soit $B$ une algèbre de Banach unifère. 
Dans ce paragraphe nous dirons que deux $B$-paires $E$ et $F$ sont
équivalentes s'il existe entre elles un isomorphisme de $B$-paires (pas
nécéssairement isométrique). 
%Pour tout $n\in \N$, nous
%notons $\mathrm{Proj}(M_n(B))$ le fermé de $M_n(B)$ formé des projecteurs de
%$M_n(B)$, muni de la topologie induite. 
%Le lemme suivant est un cas particulier du lemme~\ref{existence}.
%\begin{lem}\label{existence2}
%Soit $E$ une $B$-paire telle que $\mathrm{Id}_E\in \K(E)$. Alors il existe
%$n\in \N$, $q\in \mathrm{Proj}(M_n(B))$ 
% et un isomorphisme de $B$-paires $\theta :E\vers Imq$.
%\end{lem}
\begin{lem}\label{existence2}
L'application $E\mapsto E^>$ établit une bijection, fonctorielle en
$B$, entre les classes
d'équivalence de $B$-paires $E$ telles que $\mathrm{Id}_E$ soit
compacte, et les
classes d'isomorphisme de $B$-modules à droite projectifs de type fini. 
\end{lem}
En effet d'après le lemme~\ref{existence}, dont la preuve se simplifie
beaucoup dans ce cas particulier, pour toute $B$-paire $E$ telle que
$\mathrm{Id}_E$ soit compacte, il existe un entier $n$, un projecteur
$q$ dans $M_n(B)$,  et un isomorphisme de $B$-paires $\theta
:E\vers \mathrm{Im}q$. Par suite $E^>=qB^n$ est un $B$-module à droite
projectif de type fini, $E^<=B^nq=\mathrm{Hom}(E^>,B)$, et les normes
sur $E^>$ et $E^<$ sont déterminées par $q$ 
(à équivalence près) ainsi que le crochet
$\langle.,.\rangle$. Réciproquement à tout $B$-module à droite
projectif de type fini on associe un élément dans
$\underset{\underset{n\vers +\infty}\longrightarrow} \lim
\{\text{classes de conjugaison de 
projecteurs dans }M_n(B)\}$. Pour tout représentant $q$ de cet
élément, la $B$-paire correspondante est $(B^nq,qB^n)$ et ne dépend pas
du choix de $q$, à équivalence des normes près.  \cqfd

%Pour montrer que $\zeta :K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ est injective, il
%suffit de montrer que, pour $n\in \N$, si $q_0$ et $q_1$ sont deux
%projecteurs de $M_n(B)$, représentant des éléments $[q_0]$ et $[q_1]$
%de $K_0(B)$, et $\zeta ([q_0])=\zeta ([q_1])$ alors il existe deux
%entiers $r,s\in \N$ tels que $\begin{pmatrix} q_0&0&0 \\
%0&  \mathrm{Id}_r&0 \\ 0& 0  &0_s\end{pmatrix}$ et 
%$\begin{pmatrix} q_1&0&0 \\ 
%0&  \mathrm{Id}_r&0 \\ 0& 0  &0_s\end{pmatrix}$ soient homotopes dans
%$\mathrm{Proj}(M_{n+r+s}(B))$. 

On sait que $K_0(B)$ est le groupe universel associé au semi-groupe
formé par les classes d'isomorphisme de $B$-modules à droite projectifs
de type fini pour la somme directe, et $\zeta :K_0(B) \vers
KK^{\ban}(\C,B)$ est défini en posant $\zeta ([E^>])$ égal à la classe de
$(E\vava{0}{0}0)$ dans $KK^{\ban}(\C,B)$ pour toute $B$-paire $E$ telle
que $\mathrm{Id}_E$ soit compacte ($[E^>]$ désignant la classe dans
$K_0(B)$ du $B$-module à droite projectif de type fini $E^>$). Comme
$K_0(B[0,1])=K_0(B)$, le lemme 
suivant prouve l'injectivité de $\zeta$. Nous n'en avons pas besoin,
mais il est encore plus facile de montrer la surjectivité de $\zeta$. 

\begin{lem}\label{lemmeinj}
Soit $n\in \N$. Soient $E_0$ et $E_1$ deux
$B$-paires telles  que $\mathrm{Id}_{E_0}$ et $\mathrm{Id}_{E_1}$
soient compactes, et que $(E_0\vava{0}{0}0)$ et $(E_1\vava{0}{0}0)$
soient homotopes dans $E^{\ban}(\C,B)$. Alors
il existe un entier $r\in \N$, et une $B[0,1]$-paire $E$ telle que
$\mathrm{Id}_E$ soit un morphisme compact 
de $B[0,1]$-paires, et que $\sigma _{0,*}(E)$ soit une $B$-paire
isomorphe à $E_0\oplus B^r$ et $\sigma _{1,*}(E)$ une $B$-paire
isomorphe à $E_1\oplus B^r$, en notant $\sigma _t:B[0,1]\vers B$
l'évaluation en $t$, pour $t\in [0,1]$. 
\end{lem}
En effet, il existe un élément
$(E\vava{f}{g}F)$ de $E^{\ban}(\C,B[0,1])$ tel que $\sigma
_{0,*}(E)=E_0$, $\sigma _{0,*}(F)=0$, $\sigma
_{1,*}(E)=E_1$ et $\sigma _{1,*}(F)=0$. Par le lemme~\ref{1=Id}, on
suppose que $1\in \C$ agit par $\mathrm{Id}$ sur $E$ et $F$. 
Comme $\mathrm{Id}_F-fg\in \K(F)$, en
vertu du lemme~\ref{cech}, il existe $r\in \N$ et $\cech f\in \L(E\oplus
B[0,1]^r,F)$ et $\cech g\in \L(F, E\oplus
B[0,1]^r)$ tels que $\cech f-(f,0)$ et $\cech g-\begin{pmatrix} g \\ 0 
\end{pmatrix}$ soient compacts et $\cech f\cech g=\mathrm{Id}_{F}$. 
 Alors $\cech q=\cech g\cech f$ est un projecteur de $\L(E\oplus
 B[0,1]^r)$ et $\hat q=\mathrm{Id}_{E\oplus
 B[0,1]^r}-\cech q$ vérifie les propriétés suivantes. Comme $B$ est
 unifère, $B[0,1]$ est unifère et $\mathrm{Id}_{B[0,1]^r}$ est compact, par
 suite $\hat q\in \K(E\oplus
B[0,1]^r)$. De plus $\sigma _{0,*}(\hat q)=\mathrm{Id}_{
 E_0\oplus B^r}$ et $\sigma _{1,*}(\hat q)=\mathrm{Id}_{
 E_1\oplus B^r}$. Par conséquent $\mathrm{Im}\hat q$ est une $B[0,1]$-paire
 telle que $\mathrm{Id}_{\mathrm{Im}\hat q}$ soit compact, et que $\sigma _{0,*}(\mathrm{Im} \hat
 q)=E_0\oplus B^r$ et $\sigma _{1,*}(\mathrm{Im} \hat
 q)=E_1\oplus B^r$. \cqfd

% \begin{lem}\label{isomhom}
%Soient $n\in \N$ et $q,q'\in \mathrm{Proj}(M_n(B))$. 
%Si les $B$-paires $Imq$ et $Imq'$
%sont isomorphes, il existe $s\in \N$ tel que $\begin{pmatrix} q&0 \\ 0 &0_s
%\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} q'&0 \\ 0 &0_s
%\end{pmatrix}$ soient homotopes dans $\mathrm{Proj}(M_{n+s}(B))$. 
%\end{lem}
%En effet notons $E=Imq=Imq'$ et $i:E\vers B^n$, $\pi :B^n\vers E$ et
%$i'$ et $\pi'$ les inclusions et projections associées à $q$ et
%$q'$. Bien sûr $i\pi $ et $i'\pi'$ sont les images par $\Psi$ de $q$
% et de $q'$ 
% dans $\L(B^n)$. Le projecteur de
%$\L(B[0,1]^{2n})$ défini par $Q=(Q_t)_{t\in [0,1]}$ où 
%$Q_t=\begin{pmatrix} i \\ 0 
%\end{pmatrix}(\pi,3t\pi ')$ pour $t\in [0,1/3]$, 
%$Q_t=\begin{pmatrix} (2-3t)i \\ (3t-1)i' 
%\end{pmatrix}(\pi,\pi ')$ pour $t\in
%  [1/3,2/3]$ et $Q_t=\begin{pmatrix} 0 \\ i' 
%\end{pmatrix}((3-3t)\pi,\pi ')$ pour $t\in [2/3,1]$, est tel que 
%$\sigma _{0,*}(Q)=\Psi\begin{pmatrix} q&0 \\ 0 &0_n
%\end{pmatrix}$ et $\sigma _{1,*}(Q)=\Psi\begin{pmatrix} 0_n&0 \\ 0 &q'
%\end{pmatrix}$. Pour tout $\epsilon >0$ il existe $R\in
%M_{2n}(B[0,1])$ tel que $R(0)=\begin{pmatrix} q&0 \\ 0 &0_n
%\end{pmatrix}$, $R(1)= \begin{pmatrix} 0_n&0 \\ 0 &q'
%\end{pmatrix}$, et $\|Q-\Psi(R)\|_{K(B[0,1]^{2n})}\leq \epsilon$. Si
%$\epsilon$ est assez petit, d'après le lemme~\ref{spectres}, le
%spectre de $R$ dans $M_{2n}(B[0,1])$ est inclus dans $D(0,1/3)\cup 
%D(1,1/3)$ et en notant $\mu:D(0,1/3)\cup 
%D(1,1/3)\vers \C$ la fonction qui vaut $0$ sur $D(0,1/3)$ et $1$ sur
%  $D(1,1/3)$, $\mu (R)$ est un projecteur de $M_{2n}(B[0,1])$ et
%  $\mu(R)(0)=q$ et $\mu(R)(1)=q'$. Dans le lemme on peut donc prendre
%  $s=n$. 

%\noindent
% \begin{bfseries}
%Démonstration de la proposition~\ref{inj}.
%\end{bfseries}
%Soient $n\in \N$ et   $q_0$ et $q_1$ deux
%projecteurs de $M_n(B)$ tels que $\zeta ([q_0])=\zeta
%([q_1])$. D'après le lemme~\ref{lemmeinj}, 
%il existe une $B[0,1]$-paire $E$ telle que $Id_E$ soit un morphisme compact
%de $B[0,1]$-paires, et que $\sigma _{0,*}(E)$ soit une $B$-paire
%isomorphe à $Imq_0\oplus B^r$ et $\sigma _{1,*}(E)$ une $B$-paire
%isomorphe à $Imq_1\oplus B^r$. En appliquant le lemme~\ref{existence2}
%à $B[0,1]$ et $E$ on voit qu'il existe $N\in \N$ et $Q\in
%Proj(M_N(B[0,1]))$ tel que $E=ImQ$, ce qui implique qu'il y a des
%isomorphismes de $B$-paires $Imq_0\oplus B^r=ImQ(0)$ et 
%$Imq_1\oplus B^r=ImQ(1)$. D'après le lemme~\ref{isomhom} il existe
%$s\in \N$ tel que $\begin{pmatrix} q_0&0 &0\\ 0 &Id_r&0 \\0&0&0_s
%\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} Q(0)&0 \\ 0
%  &0_{n+r+s-N}\end{pmatrix}$ soient homotopes dans
%$\mathrm{Proj}(M_{n+r+s}(B))$,  
%et de même avec $q_1$ et $Q(1)$.

%\noindent
% \begin{bfseries}
%Fin de la démonstration de la proposition~\ref{inj}.
%\end{bfseries}
%L'argument  qui suit m'a été suggéré par Jean-Benoît Bost et simplifie
%la preuve initiale. Soient $n\in \N$ et   $q_0$ et $q_1$ deux
%projecteurs de $M_n(B)$ tels que $\zeta ([q_0])=\zeta
%([q_1])$. D'après le lemme~\ref{lemmeinj}, 
%il existe une $B[0,1]$-paire $E$ telle que $\mathrm{Id}_E$ soit un morphisme compact
%de $B[0,1]$-paires, et que $\sigma _{0,*}(E)$ soit une $B$-paire
%isomorphe à $Imq_0\oplus B^r$ et $\sigma _{1,*}(E)$ une $B$-paire
%isomorphe à $Imq_1\oplus B^r$. Quitte à remplacer $q_0$ par 
%$\begin{pmatrix} q_0&0 \\
%0&  \mathrm{Id}_r\end{pmatrix}$ et $q_1$ par 
%$\begin{pmatrix} q_1&0 \\
%0&  \mathrm{Id}_r\end{pmatrix}$ on peut supposer $r=0$. De plus $E^n$ est une
%$M_n(B)[0,1]$-paire et $\sigma_{0,*}(E^n)=(M_n(B)q_0,q_0M_n(B))$ comme
%$M_n(B)$-paire et de même avec $q_1$. Donc on peut supposer $n=1$. 
%Supposons donc $r=0$ et $n=1$. Introduisons l'algèbre de Banach 
%$C=\{f\in B[0,1],f(0)=\lambda_0q_0,
%f(1)=\lambda_1q_1,\lambda_0,\lambda_1\in \C\}$. On possède une
%inclusion $i:C\vers B[0,1]$. Il existe une unique $C$-paire $F$ telle
%que $i_*(F)=E$ et que si on note $\sigma _0:C\vers \C$, $\sigma _1:C\vers
%\C$, et, pour $t\in ]0,1[$, $\sigma _t:C\vers B$ les évaluations, on
%ait $\sigma _{0,*}(F)=\sigma _{1,*}(F)=\C$ et $\sigma _{t,*}(F)=E$ pour
%$t\in ]0,1[$. En appliquant le lemme~\ref{existence2} à la $C$-paire
%$F$ on obtient une homotopie entre $\begin{pmatrix} q_0&0 \\
%0&  0_s\end{pmatrix}$ et 
%$\begin{pmatrix} q_1&0 \\
%0&  0_s\end{pmatrix}$ pour un certain entier $s$. 

\section{Deux résultats d'homotopie}

Le lemme et la proposition suivants sont dûs à Georges Skandalis
(voir~\cite{SkBki}) et simplifient une version antérieure. 
On se donne un groupe $G$ localement compact muni
d'une longueur $\ell$, $A$, $B$ des $G$-algèbres de Banach et $E$ un
$(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule $\Z/2\Z$-gradué. 

On note $\mathcal D$
la sous-algèbre de $\L(E)$ formée des  $S\in \L(E)$ tels que, pour tout
$a\in A$,  $[a,S]$ appartient à $\K(E)$ et $g\mapsto a(g(S)-S)$ est une
application continue de $G$ dans  $\K(E)$. 

On note $\mathcal C$ l'ensemble des 
$S\in \L(E)$ tels que $aS$ et $Sa$ appartiennent à $\K(E)$ pour tout
$a\in A$. On a $\mathcal C\subset \mathcal D$, et $\mathcal C$ est un
idéal bilatère de $\mathcal D$. 

Etant donné $F\in \L(E)$ impair, 
$(E,F)$ appartient à $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ si et seulement si 
 $F\in \mathcal D$ et  $\mathrm{Id}-F^2\in \mathcal C$. De plus la classe de
 $(E,F)$ dans $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ ne dépend que de la classe de
 $F$ modulo $\mathcal C$.  


\begin{lem}\label{changelebas}
  Soient $S\in \mathcal D$  impair avec $S^2\in \mathcal C$. 
On note $\mathcal E_S$ l'ensemble des $T\in
\mathcal D$ impairs  tels que  $ST+TS-\mathrm{Id}$ appartient à
$\mathcal C$ et $\mathcal F_S=\{T\in \mathcal E_S, T^2\in \mathcal
C\}$. \begin{itemize}
\item a) Si $T\in \mathcal E_S$, $TST$ appartient à $\mathcal F_S$.
\item b) Si $T\in \mathcal F_S$,  $(E,S+T)$ appartient à
$E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$, et la classe de cet élément dans 
 $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ ne dépend que de $S$. 
      \end{itemize}
\end{lem}
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}
Pour $T\in \mathcal E_S$, on a $TST\in \mathcal F_S$.  En effet dans
$\mathcal D/\mathcal C$ on a  $S^2=0$ et $ST=1-TS$, 
donc  $ST$ et $TS$ commutent et $STTS=0$ et $STST=ST$ et $TSTS=TS$. 
D'autre part si $T\in \mathcal F_S$, on a $T-TST\in \mathcal C$ donc 
$(E,S+T)$ et $(E,S+TST)$ définissent la même classe dans
$KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$. Enfin $\mathcal E_S$ est un $\C$-espace
affine. \cqfd



\begin{prop}\label{exactd'uncote}
  Soit  $S\in \L(E)$ impair vérifiant  
 $S^2=0$ et $g(S)=S$ pour tout $g\in G$ et $[a,S]=0$ pour tout
 $a\in A$. On note $\mathcal E_S$ et $\mathcal F_S$ comme dans le lemme
 précédent. Supposons qu'il  existe $T\in  
 \mathcal E_S$ tel que  $\mathrm{Id}-ST-TS=0$.
 Alors $TST\in \mathcal F_S$  par le lemme précédent et la classe de
 $(E,S+TST)$ dans  $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ est nulle. 
\end{prop}
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}

Il résulte de l'égalité $ST+TS=\mathrm{Id}$ que $ST$ et $TS$ commutent
et $TSST=0$ car $S^2=0$. Donc $ST$ et $TS$ sont deux projecteurs qui
commutent, de somme 
$\mathrm{Id}$, de produit nul, pairs. On pose $T'=TST$. Alors
$T'$ appartient à $\mathcal F_S$ et de plus $T'^2=0$. 
On a $ST'=ST$ et $T'S=TS$. 
D'autre part, $S$ et $ST'$
ont même image, de même que $T'$ et $T'S$, d'où 
l'identification $E=S(E)\oplus T'(E)$ en tant que $B$-paire
$\Z/2\Z$-graduée. Dans cette décomposition, l'action de $a\in A$,
{\it resp.} $g\in G$, s'écrit sous la forme 
$\begin{pmatrix} c_{1,1}(a) & c_{1,2}(a)\\ 0 &
c_{2,2}(a)\end{pmatrix}$, {\it resp.}
$\begin{pmatrix} c_{1,1}(g) & c_{1,2}(g)\\ 0 & c_{2,2}(g)\end{pmatrix}$. 

Considérons alors le $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule de Banach
$\Z/2\Z$-gradué $E[0,1]$, ou l'action de $a\in A$,
{\it resp.} $g\in G$, est donnée par 
$\Big(\begin{pmatrix} c_{1,1}(a) & tc_{1,2}(a)\\ 0 &
c_{2,2}(a)\end{pmatrix}\Big)_{t\in [0,1]}$, {\it resp.} 
  $\Big(\begin{pmatrix} c_{1,1}(g) & tc_{1,2}(g)\\ 0 &
c_{2,2}(g)\end{pmatrix}\Big)_{t\in [0,1]}$. 
Alors $(E[0,1], S+T')$ fournit une homotopie entre $(E,S+T')$, en $t=1$
et un élément dégénéré, en $t=0$. En effet, quand les actions de $A$ et
$G$ sont diagonales, les opérateurs $S$ et $T'$ commutent exactement à
ces actions. \cqfd

\section{Descente}\label{paragraphedescente}
Dans toute cette section nous considérons un groupe $G$ localement
compact muni d'une mesure de Haar à gauche $dg$. Nous rappelons que
pour nous une algèbre de Banach est munie d'une norme. 
Nous dirons qu'une algèbre de Banach $\A(G)$ est une 
complétion inconditionnelle de $C_c(G)$, si elle contient $C_c(G)$
comme sous-algèbre 
dense, et si, quels que soient $f_1,f_2\in C_c(G)$ tels que $|f_1(g)|\leq
  |f_2(g)|$ pour tout $g\in G$, on a  $\|f_1\|_{\A(G)}\leq
\|f_2\|_{\A(G)}$, ou, de fa\c con équivalente, si pour tout $f\in C_c(G)$,
$\|f\|_{\A(G)}$ ne dépend que de $(g\mapsto |f(g)|)$. 

\noindent \begin{bfseries} Exemple. \end{bfseries}
Pour tout groupe localement compact $G$, $L^1(G)$ est une complétion
inconditionnelle de $C_c(G)$. En revanche, dès que $G$ a plus d'un
élément, $C^*_{\max}(G)$ et $C^*_r(G)$ ne sont pas des complétions
inconditionnelles de $C_c(G)$.

\noindent \begin{bfseries} Remarque. \end{bfseries}
Si $\A(G)$ est une complétion inconditionnelle de $C_c(G)$, il est clair que
 pour tout compact $K$ de $G$, il existe une constante $C$, telle que
 pour toute fonction $f\in C_c(G)$ à support dans $K$, on ait
 $\|f\|_{\A_\ell(G)}\leq C\sup_K|f|$ (on choisit $h\in C_c(G)$ valant
$1$ sur $K$ et on prend $C=\|h\|_{\A_\ell(G)}$).

Fixons une complétion inconditionnelle $\A(G)$ de $C_c(G)$. 

Soient $\ell$ une longueur sur $G$ et $B$ une $G$-algèbre de Banach . On note 
$C_c(G,B)$ l'espace des fonctions continues à support compact de $G$
dans $B$, et on munit cet espace de la structure d'algèbre suivante : 
pour $f_1,f_2\in C_c(G,B)$, 
$(f_1*f_2)(g)=\int _G f_1(g_1)g_1(f_2(g_1^{-1}g))dg_1$, ce qui revient
intuitivement à noter les éléments de $C_c(G,B)$ sous la forme 
$f=\int _Gf(g)e_gdg$. La convention adoptée ici 
est celle de~\cite{kaspnov}. 
\begin{prop}
Le complété de $C_c(G,B)$ pour la norme $\|f\|=\Big\|g\mapsto
e^{\ell(g)}\|f(g)\|_B  \Big\|_{\A(G)}$  
est une algèbre de Banach, notée $\A_\ell(G,B)$. 
\end{prop}
La preuve est immédiate. Lorsque $\ell=0$ nous omettons $\ell$ et  
lorsque $B=\C$, nous notons  $\A_\ell(G)$ au lieu de $\A_\ell(G,\C)$. 
Remarquons que $\A'(G)=\A_\ell(G)$ est une autre complétion inconditionnelle de
$C_c(G)$ et que $\A'(G,B)=\A_\ell(G,B)$. C'est pourquoi nous oublions
momentanément $\ell$ sans perte de généralité. 


Pour la KK-théorie le fait suivant est important. 

\begin{lem} Toute complétion inconditionnelle $\A(G)$ est une algèbre
de Banach non degénérée, et,  plus généralement, pour toute $G$-algèbre
 de Banach $B$ non dégénérée, $\A(G,B)$ est non dégénérée.
\end{lem}
En fait, en utilisant la remarque ci-dessus, on voit que 
 $\A(G)$ possède une unité approchée formée d'une suite
(généralisée dans le cas non métrique) de fonctions
positives d'intégrale 1 dont la suite des supports est incluse dans
une suite de voisinages de plus en plus petits de $0$. Pour $\A(G,B)$,
on combine cette idée avec l'hypothèse que $B$ est non dégénérée. \cqfd

Si $C$ est une autre $G$-algèbre de Banach, et $\theta:B\vers C$ est un
morphisme $G$-équivariant d'algèbres de Banach, on définit un morphisme
d'algèbres de Banach $\A(G,\theta):\A(G,B)\vers \A(G,C)$ en posant 
$(\A(G,\theta)f)(g)=\theta (f(g))$. 

Soit $E$ une $B$-paire. Intuitivement nous notons 
$x\in C_c(G,E^>)$ sous la forme $x=
\int _Gx(g)e_gdg$ et  $\xi \in C_c(G,E^<)$ sous la forme 
$\xi =\int_Ge_g\xi(g)dg$.
\begin{defi}
  Notons $\A(G,E)^>$ la complétion de $C_c(G,E^>)$ 
pour la norme $\|x\|=\Big\|g\mapsto
   \|x(g)\|_{E^>}\Big\|_{\A(G)}$, et $\A(G,E)^<$ la complétion de
  $C_c(G,E^<)$ pour la norme $\|\xi\|=\Big\|g\mapsto
  \|\xi(g)\|_{E^<}\Big\|_{\A(G)}$. Pour $x\in C_c(G,E^>)$, 
$\xi \in C_c(G,E^<)$, et 
 $f\in C_c(G,B)$, et pour tout $g\in G$, posons 
 \begin{eqnarray}
   (x.f)(g)=\int _G x(g_1)g_1(f(g_1^{-1}g))dg_1 \nonumber \\
  (f.\xi)(g)=\int _G g^{-1}(f(g_1))\xi (g_1^{-1}g) dg_1 \nonumber \\
  \s{\xi,x}(g)=\int _G g_1(\s{\xi(g_1),x(g_1^{-1}g)})dg_1. \nonumber 
 \end{eqnarray}
Ceci définit une $\A(G,B)$-paire $\A(G,E)=(\A(G,E)^<,\A(G,E)^>)$.
\end{defi}

Si $F$ est une seconde $B$-paire, et si $T$ est un morphisme de
$B$-paires de $E$ vers $F$, nous définissons un morphisme $\A(G,T)$ 
de $\A(G,B)$-paires de $\A(G,E)$ vers $\A(G,F)$ en posant 
\begin{eqnarray*}
\text{pour tout }x \in C_c(G,E^>),  \A(G,T)^>(x)(g)=
  T^>(x(g)) \\ 
  \text{et pour tout }\xi \in C_c(G,F^<), 
\A(G,T)^<(\xi)(g)= T^<(\xi(g)). 
%\text{pour }x=\int _G x(g)e_gdg \in C_c(G,E^>), \tilde T^>(x)=
% \int _G T^>(x(g))e_gdg  \\
%  \text{et pour }\xi=\int _G e_g\xi(g)dg \in C_c(G,F^<), 
%\tilde T^<(\xi)= \int _G e_g T^<(\xi(g))dg. 
\end{eqnarray*}
On a $\|\A(G,T)\|
_{\L(\A(G,E),\A(G,F))} \leq \|T\|_{\L(E,F)}$. 
Kasparov définit dans \cite{kaspnov}, 3.11,  un opérateur analogue à $\A(G,T)$
et le note $\tilde T$. 

Supposons de plus que $A$ est une $G$-algèbre de Banach,
$\ell$ une longueur sur $G$  et
que la $B$-paire $E$ est munie d'une structure de $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule.

\begin{prop}\label{prop154}
  Sous ces hypothèses $\A(G,E)$ est un
  $(\A_{\ell}(G,A),\A(G,B))$-bimodule. 
\end{prop}
La formule est la suivante : pour  
$h\in C_c(G,A)$, 
$x\in C_c(G,E^>)$, et 
$\xi\in C_c(G,E^<)$ 
 et pour tout $g\in G$, on pose 
  \begin{eqnarray}
  (h.x)(g)=\int _G h(g_1)g_1(x(g_1^{-1}g))dg_1 \nonumber \\
  (\xi.h)(g)= \int _G (g_1^{-1}g)^{-1}
\Bigl(\xi(g_1)h(g_1^{-1}g)\Bigr)dg_1. \nonumber   
  \end{eqnarray}
La formule devient claire si on écrit $h=\int _G h(g)e_gdg$, $x=\int
  _Gx(g)e_gdg$ et $\xi=\int
  _Ge_g\xi(g)dg$. 



Vérifions par exemple que $\A(G,E)^>$ est un $\A_\ell(G,A)$-module de
Banach à gauche. 
Avec les notations ci-dessus, on a 
\begin{eqnarray}
  \|h.x\|_{\A(G,E)^>}=\bigg\|g\mapsto \Big\|\int
  h(g_1)g_1(x(g_1^{-1}g))dg_1\Big\|_{E^>}\bigg\|
_{\A(G)}\nonumber \\ \leq 
 \bigg\|g\mapsto \int
  \|h(g_1)\|_Ae^{\ell(g_1)}\|x(g_1^{-1}g)\|_{E^>}dg_1\bigg\|
_{\A(G)}\nonumber \\ \leq 
\|h\|_{\A_{\ell}(G,A)}\|x\|_{\A(G,E)^>}.\nonumber 
\end{eqnarray}\cqfd




\begin{prop-def}\label{descente}
Soit $G$ un groupe localement compact. Soit $\A(G)$ une complétion
 inconditionnelle 
 de $C_c(G)$.  Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soient $A$ et $B$ des
$G$-algèbres de Banach. 
Pour tout $(E,T)\in E^{\ban}_{G,\ell}(A,B)$, le couple
 $j_{\A}(E,T)=(\A(G,E),\A(G,T))$ appartient à $E^{\ban}
(\A_\ell(G,A),\A(G,B))$. L'application $j_{\A}$ ainsi définie est
 compatible aux images directes et à l'homotopie, et détermine un  
homomorphisme de descente 
\begin{eqnarray}
j_{\A} : KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)\vers KK^{\ban}(\A_\ell(G,A),\A(G,B)).\nonumber  
\end{eqnarray}
De plus $j_{\A}$ est fonctorielle en $A$ et $B$~: si $A_1$ et $C$ sont
deux $G$-algèbres de Banach, $\theta:B\vers C$ et $\theta_1:A_1\vers
A$ des morphismes $G$-équivariants d'algèbres de Banach, et $\alpha
\in KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$, on a $\A(G,\theta)_*(j_{\A}(\alpha))=
j_{\A}(\theta_*(\alpha))$ dans $KK^{\ban}(\A_\ell(G,A),\A(G,C))$
et $\A_\ell(G,\theta_1)^*(j_{\A}(\alpha))=
j_{\A}(\theta_{1}^*(\alpha))$ dans \linebreak
$KK^{\ban}(\A_\ell(G,A_1),\A(G,B))$ 
\end{prop-def}
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}
Soit $a\in C_c(G,A)$. 
Nous devons vérifier que $[a,\A(G,T)]$ est un morphisme compact
de $\A(G,B)$-paires. Pour $x\in C_c(G,E^>)$ nous calculons 
\begin{eqnarray}
 [a,\A(G,T)]^>(x)(g)=(a\A(G,T)^>(x))(g)-
(\A(G,T)^>(ax))(g)
 \nonumber \\
=\int_Ga(g_1)g_1(T^>(x(g_1^{-1}g)))dg_1-
\int_G T^>(a(g_1)g_1(x(g_1^{-1}g)))dg_1 \nonumber \\
=\int_Ga(g_1)(g_1(T^>)-T^>)(g_1(x(g_1^{-1}g)))dg_1+
\int_G[a(g_1),T^>](g_1(x(g_1^{-1}g)))dg_1.\nonumber 
\end{eqnarray}
Le calcul analogue pour $\xi \in C_c(G,E^<)$ est désagréable car
$T^<$ n'agit pas du côté où il devrait. 
Le fait que $[a,\A(G,T)]$ est compact résulte du 
lemme~\ref{cpct} ci-dessous. 

Vérifions maintenant que $a(\mathrm{Id}-\A(G,T)^2)$ est compact. 
Pour $x\in C_c(G,E^>)$ nous calculons 
\begin{eqnarray}
  (a(\mathrm{Id}-
\A(G,T)^{2,>}))(x)(g)
\nonumber \\
=\int_Ga(g_1)g_1((\mathrm{Id}-
T^{2,>})x(g_1^{-1}g))dg_1 \nonumber \\
=\int_Ga(g_1)g_1(\mathrm{Id}-
T^{2,>})g_1(x(g_1^{-1}g))dg_1. \nonumber 
\end{eqnarray}
La compacité de $a(\mathrm{Id}-\A(G,T)^2)$ résulte du lemme~\ref{cpct}
ci-dessous.  

\begin{lem} \label{cpct}
  Soient G un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G$,  
$\A(G)$ une complétion inconditionnelle de $C_c(G)$, $B$ une
$G$-algèbre de Banach, et $E$ et $F$ des 
$(G,\ell)$-$B$-paires. Soit $S=(S_{g})_{g\in G}\in C_c(G,\K(E,F))$. 
 Définissons un morphisme $\hat S$ de 
$\A(G,B)$-paires de $\A(G,E )$ dans $\A(G,F )$ par la formule suivante
: pour tout $g\in G$, 
\begin{eqnarray}\label{eq1}
  \hat S^>(x)(g)=\int_G S^>_{g_1}(g_1(x(g_1^{-1}g)))dg_1 \text{
  pour }
x\in C_c(G,E^>) \nonumber \\
\text{et }\hat  S^<(\eta)(g)=\int_G
  (g_1^{-1}g)^{-1}\bigl(S^<_{g_1^{-1}g}(\eta(g_1)))dg_1 \text{
  pour }
\eta \in C_c(G,F^<).   
\end{eqnarray}
Alors 
\begin{itemize}
\item (i) $\hat S$ est un morphisme
  de $\A(G,B)$-paires de $\A(G,E )$ dans $\A(G,F )$ et on a 
$\|\hat S\|_{\L(\A(G,E ),\A(G,F ))}
\leq \Big\| g\mapsto \|S_{g}\|_{\K(E,F)}
  \Big\|_{\A_\ell(G)}$.
\item  (ii) $\hat S$ est compact
  et on a le résultat suivant, qui est plus
précis :  pour tout $\epsilon >0$ il existe  
   $n\in \N$, 
et pour $i=1,\dots  ,n$,   
des  éléments 
  $y_i\in C_c(G,F^>)$et $\xi _i\in C_c(G,E^<)$ tels que, si on pose
 pour tout $g\in G$  
  \begin{eqnarray}\label{eq2}
    S_{0,g}=\int_{G} 
\sum_{i=1}^n |y_i(g_1)\rangle \langle g( \xi
_i(g_1^{-1}g))|dg_1,  
  \end{eqnarray}
alors $S_0=(S_{0,g})_{g\in G}$ appartient à $C_c(G,\K(E,F))$, 
 \begin{eqnarray}\label{eq3}
  \Big\|g\mapsto \|S_{g}-S_{0,g}\|_{\K(E,F)}
  \Big\|_{\A_\ell(G)}\leq \epsilon ,
\end{eqnarray}
et, si on considère $y_i$ et $\xi _i$ comme des
éléments de $\A(G,F )^>$ et $\A(G,E )^<$, 
on a $\hat S_{0}=\sum_{i=1}^n
|y_i\rangle  \langle \xi _i|$.  

\end{itemize}
\end{lem}
\begin{bfseries}
Remarque.
\end{bfseries}
Si $\ell=0$, $\K(E\oplus F)$ est une $G$-algèbre de Banach, et la formule
(\ref{eq1}) exprime la structure de $(\A_\ell(G,\K(E\oplus
F)),\A(G,B))$-bimodule  de Banach sur $\A(G,E\oplus F)$ provenant de
la structure de $(G,\ell)$-$(\K(E\oplus F),B)$ bimodule sur $E\oplus F$.  
Pour comprendre (\ref{eq1}), on peut donc écrire intuitivement 
$\hat S^>=\int_G S^>_{g}e_gdg$ et $\hat S^<=\int_G
S^<_{g}e_gdg$ et penser que $\hat S^<$ 
devrait agir à droite sur $\eta $.

\noindent 
\begin{bfseries}
Démonstration du lemme~\ref{cpct}.
\end{bfseries}
 Montrons que $\hat S$ est un 
morphisme de $\A(G,B)$-paires. 
Pour $x\in C_c(G,E^>)$, $\eta \in C_c(G,F^<)$ et 
$g\in G$, on a 
\begin{eqnarray}
  \s{\eta, \hat S^>(x)}(g)=\int_G g_1(\s{\eta
  (g_1),\hat S^>(x)(g_1^{-1}g)})dg_1 \nonumber \\
 =\int_{G\times G} g_1(\s{\eta
  (g_1),S^>_{g_2}(g_2(x(g_2^{-1}g_1^{-1}g)))})dg_1dg_2 \nonumber
\end{eqnarray}
et 
\begin{eqnarray}
  \s{\hat S^<(\eta ),x}(g)=\int _G g_3(\s{\hat
  S^<(\eta)(g_3),x(g_3^{-1}g)})dg_3 \nonumber \\
 = \int_{G\times G} g_3(\s{(g_1^{-1}g_3)^{-1}(S^<_{g_1^{-1}g_3}(\eta
  (g_1))),x(g_3^{-1}g)})dg_1dg_3 \nonumber \\
=\int_{G\times G} g_1(\s{S^<_{g_1^{-1}g_3}(\eta
  (g_1)),(g_1^{-1}g_3)(x(g_3^{-1}g))})dg_1dg_3 \nonumber,
\end{eqnarray}
 et les deux expressions auxquelles nous avons abouti se trouvent être égales
 grâce au changement de variables suivant : $g_3=g_1g_2$. 
Comme la suite de $(i)$ est claire, vérifions $(ii)$. 
D'abord on a bien
$\hat S_{0}=\sum_{i=1}^n
|y_i\rangle  \langle \xi _i|$. 
En effet on calcule, pour $x\in
C_c(G,E^>)$, 
\begin{eqnarray}
 \sum _{i=1}^n\big(y_i\s{ \xi
_i,x}\big)(g) 
=\sum _{i=1}^n\int_G y_i(g_1)g_1(\s{\xi_i,x}(g_1^{-1}g))dg_1 \nonumber \\
=\sum _{i=1}^n\int_{G\times G}y_i(g_1)  
(g_1g_2)(\langle \xi
_i(g_2)| x((g_1g_2)^{-1}g)\rangle)dg_1dg_2 \nonumber \\
=\int_{G}S_{0,g'}^>(g'(x({g'}^{-1}g)))dg' 
\text{ en posant }g'=g_1g_2, \nonumber 
\end{eqnarray}
d'où $\sum _{i=1}^ny_i\s{ \xi
_i,x}=\hat S_0^>(x)$ et un calcul analogue montre que $\sum
_{i=1}^n\big(\s{\eta,y_i}\xi _i\big)=\hat S_0^<(\eta)$ pour tout $\eta \in
C_c(G,F^<)$. 

 Enfin vérifions que, 
pour tout $\epsilon >0$, il existe $n\in \N$, et des éléments 
 $y_i,\xi _i$ pour $i\in \{1,\dots ,n\}$, tels que si on définit
 $S_0$ par (\ref{eq2}), alors  (\ref{eq3}) ait lieu. D'après la
remarque au début du paragraphe, 
 pour tout compact $K$ de $G$, il existe une constante $C$ telle que,
 pour toute fonction $f\in C_c(G)$ à support dans $K$, on ait
 $\|f\|_{\A_\ell(G)}\leq C\sup_K|f|$. 
Par définition de $\K(E,F)$, et à l'aide d'une
 partition de l'unité sur $G$, on voit qu'il suffit de 
 démontrer l'assertion pour $S$ de la forme $S_{g}=
f(g)|y\rangle \langle \xi
|$, avec $y\in F^>$, $\xi \in E^<$ et $f\in C_c(G)$. Pour tout
 voisinage $\W$ de $1$ dans $G$, il
 existe une fonction $\chi\in C_c(G)$ 
 positive d'intégrale $1$  
et à support dans $\W$. On pose alors $n=1$, $y_1(g)=\chi(g)y$, 
et $\xi _1(g)=f(g)g^{-1}(\xi)$, et  
(\ref{eq3}) a lieu
 si $\W$ est assez petit. \cqfd

\noindent  \begin{bfseries}
Fin de la démonstration de la proposition-définition~\ref{descente}.
\end{bfseries}
La fonctorialité en $A$ est évidente. Vérifions la fonctorialité en
 $B$. Soient $C$ et $\theta $ comme dans l'énoncé et soit $E$ un
 $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule de Banach. On a un morphisme $\tau$ de
 $\A(G,C)$-modules de Banach à droite,  
 de norme inférieure ou égale à $1$, de 
$$\A(G,\theta)_*(\A(G,E)^>)=\A(G,E)^>\otimes ^\pi
 _{\widetilde{\A(G,B)}}\widetilde{\A(G,C)}$$ vers 
$$\A(G,\theta_*(E))^>=\A(G,E^>\otimes ^\pi _{\tilde{B}}\tilde C).$$ 
Soit $\A_{\theta}(G,E)^>$
 le cône associé à ce morphisme, c'est-à-dire le
 $\A(G,C)[0,1]$-module de Banach à droite égal à $$\{(h,x)\in
  \A(G,\theta_*(E))^>[0,1]\times  \A(G,\theta)_*(\A(G,E)^>), h(0)=\tau
 (x)\}.$$ On introduit de même $\A_{\theta}(G,E)^<$, si bien que 
$\A_{\theta}(G,E)=(\A_{\theta}(G,E)^<,\A_{\theta}(G,E)^>)$ est un
$(\A_\ell(G,A),\A(G,C)[0,1])$-bimodule de Banach. 
À l'opérateur $T$, on associe un opérateur évident $\A_{\theta}(G,T)\in
\L(\A_{\theta}(G,E))$, dont l'évaluation en $0$ est $\A(G,\theta)_*(\A(G,T))$,
et dont la restriction à $]0,1]$ est $\A(G,\theta_*(T))$.  On montre que 
$(\A_{\theta}(G,E),\A_{\theta}(G,T))$ appartient à
$E^{\ban}(\A_\ell(G,A),\A(G,C)[0,1])$ en répétant les
arguments qui ont servi à prouver l'appartenance de
$(\A(G,E),\A(G,T))$  à $E^{\ban}(\A_\ell(G,A),\A(G,B))$ : plus précisément
on remplace partout $\A(G,.)$ par $\A_{\theta}(G,.)$ et par exemple on
remplace l'élément $y_i\in \A(G,F)^>$ qui apparaît dans la deuxième
assertion du lemme~\ref{cpct} par $(h,x)\in \A_{\theta}(G,F)^>$ défini
par $h(t)=(g\mapsto y_i(g)\otimes 1)$ et $x=y_i\otimes 1$. 
 On voit que $(\A_{\theta}(G,E),\A_{\theta}(G,T))$ réalise 
 l'homotopie entre $\A(G,\theta)_*(j_{\A}(\alpha))$ et 
$j_{\A}(\theta_*(\alpha))$. \cqfd
 




\section{Compatibilité avec la KK-théorie de Kasparov}

Dans la suite, toutes les $C^*$-algèbres sont supposées $\sigma $-unitales.
 Lorsque $A$ et $B$ sont deux $C^*$-algèbres on note $A\otimes B$ leur
 produit tensoriel minimal (les mêmes constructions marcheraient pour
 le maximal). Pour tout groupe localement compact $G$, on
 appelle $G$-$C^*$-algèbre une $C^*$-algèbre munie d'une action
 continue de $G$ par automorphismes de $C^*$-algèbres, c'est-à-dire
 une $G$-algèbre au sens de~\cite{kaspnov}. 


Soient $G$ un groupe localement compact, et $A$ et $B$ deux
  $G$-$C^*$-algèbres. Kasparov définit $E_G(A,B)$ comme l'ensemble des
 $x=(E,T)$ où $E$ est un $G$-$(A,B)$-bimodule $\Z/2\Z$-gradué au
 sens de~\cite{kaspnov}, et $T$ un  morphisme impair de $B$-modules
 hilbertiens tel que pour tout $a\in A$, 
 $[a,T],a(1-T^2),a(T-T^*)$ soient compacts et 
$g\mapsto a(g(T)-T)$ soit une fonction continue de $G$ dans $\K(E)$. 
D'où $\iota :
 E_G(A,B) \vers E_G^{\ban}(A,B)$. En quotientant par homotopie on
 obtient un homomorphisme 
$\iota : KK_G(A,B)\vers KK_G^{\ban}(A,B)$. 

\begin{prop}\label{compkaspban1}
  Soient $G$ un groupe localement compact, et $A$ et $B$ deux
  $G$-$C^*$-algèbres. 
Alors l'homomorphisme  
  \begin{eqnarray*}
    \iota : KK_G(A,B)\vers KK_G^{\ban}(A,B).
  \end{eqnarray*} 
défini ci-dessus est fonctoriel en $A$ et $B$.
\end{prop}
Il est clair que $\iota $ est fonctoriel en $A$. Pour montrer la
fonctorialité de $\iota $ en $B$, on se donne une $G$-$C^*$-algèbre
$C$, un
morphisme $G$-équivariant de $C^*$-algèbres $\theta $ de $B$ dans $C$
et $x=(E,T)\in  E_G(A,B)$. Ainsi $E$ est $G$-$(A,B)$-bimodule au
 sens de~\cite{kaspnov} et on lui associe un $G$-$(A,C[0,1])$-bimodule
de Banach $\B_{\theta }(E)$ de la fa\c con suivante. 
Comme $B$ possède une unité approchée $(v_n)_{n\in \N}$ de norme 
inférieure ou égale à $1$, et comme $E$ est un $B$-module non dégénéré,
la formule $u(x\otimes c)=\lim_{n\vers +\infty} x\otimes \theta(v_n)c$
définit   
un morphisme de $C$-modules de Banach $u:\theta _*(E^>)=E^>\otimes ^{\pi
}_{\tilde B} \tilde 
C\vers E\otimes _BC$, où $E\otimes _BC$ désigne le produit tensoriel
hilbertien et on a $\|u\|\leq 1$. 
On pose alors  $\B_{\theta }(E)^>=\{(h,x),h\in (E\otimes _BC)[0,1], x\in 
\theta _*(E^>), h(0)=u(x)\}$, muni de la norme $\|(h,x)\|=\max
(\|x\|,\sup _{t\in [0,1]}\|h(t)\|)$ et on définit de manière analogue
$\B_{\theta }(E)^<$, si bien que  $\B_{\theta }(E)=
(\B_{\theta }(E)^<,\B_{\theta }(E)^>)$ est un
$G$-$(A,C[0,1])$-bimodule de Banach. On construit enfin $\B_{\theta
}(T)\in \L(\B_{\theta }(E))$ en posant $\B_{\theta
}(T)^>(h,x)=((T\otimes 1)(h),\theta _*(T)(x))$, et avec une formule
analogue pour  $\B_{\theta
}(T)^<$. Alors $(\B_{\theta }(E),\B_{\theta }(T))$ appartient à
$E^{\ban}_G(A,C[0,1])$ et 
réalise une homotopie entre $\iota (\theta _*(x))$ et $\theta _*(\iota
(x))$ dans $E^{\ban}_G(A,C)$~: nous utilisons l'inclusion $\B_{\theta
}(\K(E))\subset \K(\B_{\theta }(E))$, où $\K(E)$ désigne l'algèbre des
opérateurs compacts sur le $B$-module hilbertien $E$. \cqfd

\begin{prop}\label{compkaspban2} Soient $A$ et $B$ deux
  $G$-$C^*$-algèbres. Pour tout 
$i\in \{0,1\}$ et pour tout $\alpha
\in KK(A,B)$, les applications de $K_i(A)$ vers $K_i(B)$ fournies  par
le produit de Kasparov par $\alpha $ d'après~\cite{kaspnov},
 et par $\Sigma(\iota(\alpha ))$ d'après la
proposition~\ref{real}, sont identiques.   
\end{prop}
La démonstration a été beaucoup simplifiée grâce à une suggestion de
Georges Skandalis. 

D'abord l'application
 $\iota : KK(\C,B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ est l'identité si l'on
 identifie $KK(\C,B)$ à $K_0(B)$  et 
 $KK^{\ban}(\C,B)$  à $K_0(B)$. 
En effet que, pour toute $C^*$-algèbre $B$, l'isomorphisme 
$\zeta _{C^*}:K_0(B)\vers KK(\C,B)$ est construit de
 la même manière que nous avons construit $\zeta :K_0(B) \vers
 KK^{\ban}(\C,B)$, juste avant d'énoncer le
 théorème~\ref{cle}. Plus précisément soit $x\in K_0(B)$. Comme tout
 idempotent d'une $C^*$-algèbre est conjugué à un idempotent
 autoadjoint, il existe $p,n\in \N$ et  
 $q\in L_{p,n}(B)$ autoadjoint  représentant $x$. Posons 
$q_0=q$, $q_1=\begin{pmatrix} 1_p &0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, notons $i_0$
 l'injection de $q_0B^{p+n}$ dans $B^{p+n}$ et $\pi _0$ la projection
 et introduisons de même $i_1$, $\pi _1$. Ce sont des morphismes de $B$-modules
 hilbertiens, $\pi _0$ est l'adjoint de $i_0$ et $\pi _1$ est
 l'adjoint de $i_1$. Donc  $(q_0B^{p+n}\vava{\pi _1i_0}{\pi
 _0i_1}q_1B^{p+n})$ appartient à $E(\C,B)$ et $\zeta _{C^*}(x)$ est
 défini comme la classe de cet élément dans $KK(\C,B)$. 

Par conséquent $\Sigma(\iota (\alpha )):KK(A,B)\vers
\mathrm{Hom}(K_0(A),K_0(B))$ 
est fonctorielle en les $C^*$-algèbres $A$ et $B$ et
coïncide avec $\zeta _{C^*}^{-1}$ si $A=\C$. Or ces conditions
déterminent $\Sigma\circ \iota $ de manière unique d'après les arguments de
la fin de la preuve de l'unicité dans la démonstration de la
proposition~\ref{real}, et en vertu de la 
surjectivité de l'application $KK(\tilde A,B)\vers KK(A,B)$. Donc $\Sigma\circ
\iota $ est égal au produit de Kasparov, puisque celui-ci vérifie les
mêmes conditions. \cqfd

\begin{lem}\label{sigmaD}
  Soient $G$ un groupe localement compact et $A,B,D$ des
  $G$-$C^*$-algèbres. On a des morphismes d'algèbres de Banach
  évidents $\theta _1:A\otimes ^{\pi}D\vers A\otimes D$ et
  $\theta _2:B\otimes 
  ^{\pi}D\vers B\otimes D$. Pour tout $\alpha \in
  KK_G(A,B)$ on a $\theta 
  _1^*(\iota (\sigma _D(\alpha )))=\theta _{2,*}(\sigma _D^{\ban}(\iota
  (\alpha )))$ dans $KK_G^{\ban}(A\otimes ^{\pi}D,B\otimes D)$. 
\end{lem}
   On le montre à l'aide de cônes. À
$(E,T)\in E_G(A,B)$ on associe $(\B(E),\B(T))\in
E^{\ban}_G(A\otimes ^{\pi}D,B\otimes D[0,1])$ qui réalise l'homotopie. Par
exemple $\B(E)^>$ est le cône de l'application
$\theta_{2,*}(E^>\otimes ^\pi D) \to
E\otimes D$, où $(E^<,E^>)$ est le $G$-$(A,B)$-bimodule de Banach
associé au $G$-$(A,B)$-bimodule $E$. \cqfd


\begin{prop}\label{compar}
  Soient $G$ un groupe localement compact, $\A(G)$ une complétion
  inconditionnelle de 
  $C_c(G)$ telle que $\|f\|_{\A(G)}=\|f^*\|_{\A(G)}$ et 
$\|f\|_{C^*_r(G)}\leq \|f\|_{\A(G)}$ pour tout $f\in C_c(G)$.

Pour toute $G$-$C^*$-algèbre $A$, pour
  tout $f\in C_c(G,A)$, on a $\|f\|_{C^*_r(G,A)}\leq \|f\|_{\A(G,A)}$,
  d'où un morphisme $i_A:\A(G,A)\vers C^*_r(G,A)$ prolongeant
  $\mathrm{Id}_{C_c(G,A)}$. 

Soient $A$ et $B$ des $G$-$C^*$-algèbres, et 
$\alpha  \in 
KK_G(A,B)$. Alors $j_r(\alpha )\in KK(C^*_r(G,A), C^*_r(G,B))$ construit
  dans~\cite{kaspnov} et $j_{\A}(\iota (\alpha  ))$$\in 
  KK^{\ban}(\A(G,A),\A(G,B))$ 
  ont même image dans $KK^{\ban}(\A(G,A),C^*_r(G,B))$ par $i_A^*\circ \iota$ et
$i_{B,*}$. 
\end{prop}
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}
La preuve s'appuie sur quatre lemmes. Dans ces
lemmes, $G$ est un groupe localement compact et $\A(G)$ une complétion
inconditionnelle 
de $C_c(G)$,  telle que pour tout 
$f\in C_c(G)$ on ait $\|f^*\|_{\A(G)}=\|f\|_{\A(G)}$ et
$\|f\|_{C^*_r(G)}\leq \|f\|_{\A(G)}$. 
\begin{lem}\label{incond.C^*}
  Soit $A$ une $G$-$C^*$-algèbre. Alors pour
  tout $f\in C_c(G,A)$, on a $\|f\|_{C^*_r(G,A)}\leq \|f\|_{\A(G,A)}$.
\end{lem}
Notons $L^2(G,A)$ le $A$-module hilbertien défini dans~\cite{kaspnov},
et $H^2(G,A)$ la complétion de $C_c(G,A)$ pour la norme
$\|x\|_{H^2(G,A)}=\Big( \int_G
\|x(g)\|_A^2dg\Big)^{\frac{1}{2}}$. Pour tout $x\in C_c(G,A)$, on a 
$\|x\|_{L^2(G,A)}\leq \|x\|_{H^2(G,A)}$. Soient $f,x\in
C_c(G,A)$. Nous devons montrer $\|fx\|_{L^2(G,A)}\leq \|f\|_{\A(G,A)}
\|x\|_{L^2(G,A)}$. Or 
$$\|fx\|_{L^2(G,A)}^2=\|\s{x,f^*fx}_{L^2(G,A)}\|_A\leq \|x\|_{L^2(G,A)}
\|(f^*f)x\|_{L^2(G,A)}.$$ D'où, par récurrence, pour tout $n\in \N^*$, 
$$\|fx\|_{L^2(G,A)}^{2^n}\leq \|x\|_{L^2(G,A)}^{2^n-1}
\|(f^*f)^{2^{n-1}}x\|_{L^2(G,A)}.$$ Mais
\begin{eqnarray*}
\|(f^*f)^{2^{n-1}}x\|_{L^2(G,A)}\leq
\|(f^*f)^{2^{n-1}}x\|_{H^2(G,A)}\leq \|(f^*f)^{2^{n-1}}\|_{\A(G,A)}
\|x\|_{H^2(G,A)} \\
\leq \|f\|_{\A(G,A)}^{2^n}\|x\|_{H^2(G,A)}.\end{eqnarray*}
 En faisant tendre $n$ vers
l'infini on obtient l'inégalité souhaitée. \cqfd


On rappelle que, si $B$ est une $G$-$C^*$-algèbre et $E$ un $G$-$B$-module
  hilbertien, $C^*_r(G,E)$ est 
  un $C^*_r(G,B)$-module hilbertien construit comme complétion de
  $C_c(G,E)$ dans~\cite{kaspnov}. 

\begin{lem}\label{normeprodcroise}
  Soient $B$ une $G$-$C^*$-algèbre et $E$ un $G$-$B$-module
  hilbertien. Pour tout $f\in C_c(G,E)$, on a 
$\|f\|_{C^*_r(G,E)}\leq \|f\|_{\A(G,E)^>}$.
\end{lem}
On applique le lemme précédent à la $G$-$C^*$-algèbre
$A=\begin{pmatrix}
B & \bar E \\ E &\K(E) 
\end{pmatrix}$. \cqfd


Maintenant on a besoin de l'analogue de l'assertion $(i)$ du
lemme~\ref{cpct} avec $C^*_r(G,E)$ au lieu de $\A(G,E)$. 
\begin{lem}
Soit $B$ une $G$-$C^*$-algèbre et soient $E$ et $F$ deux $G$-$B$-modules
  hilbertiens. Soit $S=(S_{g})_{g\in G}\in C_c(G,\K(E,F))$. 
Posons, pour tout 
$x\in C^*_r(G,E)$  et pour tout $g\in G$,   
\begin{eqnarray}
  \hat S(x)(g)=\int _G S_{g_1}(g_1(x(g_1^{-1}g)))dg_1.\nonumber
\end{eqnarray}
Alors $\hat S$ est un morphisme de
$C^*_r(G,B)$-modules hilbertiens de $C^*_r(G,E)$ dans $C^*_r(G,F)$ et
on a 
\begin{eqnarray}
  \|\hat S\|_{\L(C^*_r(G,E),C^*_r(G,F))}\leq 
\bigg\|g\mapsto \|S_g\|_{\K(E,F)}\bigg\|_{L^1(G)}.\nonumber
\end{eqnarray}
\end{lem}
La dernière assertion est contenue dans la preuve du théorème 3.11
de~\cite{kaspnov}. \cqfd

On peut adapter la partie $(ii)$ du
lemme~\ref{cpct}. 
\begin{lem}
  Sous les hypothèses du lemme~\ref{cpct}, dans la partie $(ii)$ 
on peut choisir les $y_i$ de sorte que 
\begin{eqnarray}
 \Big\|g\mapsto \|S_{g}-S_{0,g}\|_{\K(E,F)}
  \Big\|_{\A(G)}+\Big\|g\mapsto \|S_{g}-S_{0,g}\|_{\K(E,F)}
  \Big\|_{L^1(G)} \leq \epsilon. \nonumber 
\end{eqnarray}\cqfd
\end{lem}

Montrons maintenant la proposition~\ref{compar}. 

On réalise l'homotopie entre les images dans $KK^{\ban}(\A(G,A),C^*_r(G,B))$
de $j_r(\alpha )$ et de $j_{\A}(\iota (\alpha ))$ grâce à la
construction suivante : si $E$ est un $G$-$B$-module hilbertien, 
d'après le lemme~\ref{normeprodcroise} on a un morphisme de
$C^*_r(G,B)$-modules de Banach à droite $u:i_{B,*}(\A(G,E)^>)\vers
C^*_r(G,E)$, et on pose $\B(G,E)^>=\{(h,x)\in C^*_r(G,E)[0,1]\times
i_{B,*}(\A(G,E)^>), h(0)=u(x)\}$ muni de la norme $\|(h,x)\|=\max (\sup _{t\in
  [0,1]}\|h(t)\|,\|x\|) $. On définit de même $\B(G,E)^<$. Alors
$\B(G,E)=(\B(G,E)^<,\B(G,E)^>)$ est un
$(\A(G,A),C^*_r(G,B)[0,1])$-bimodule de Banach.
Si maintenant
$\alpha  \in KK_G(A,B)$ est représenté par $(E,T)$ avec
$E$ un $G$-$(A,B)$-bimodule, $(\B(G,E),\B(G,T))$ appartient à
$E^{\ban}(\A(G,A),C^*_r(G,B)[0,1])$ et 
réalise une homotopie entre les images dans
$E^{\ban}(\A(G,A),C^*_r(G,B))$ de $j_r(E,T)$ et $j_{\A}(\iota (E,T)$. Nous
précisons que $\B(G,T)$ est défini à partir de $T$ comme
 $\A(G,T)$ 
avant la proposition~\ref{prop154} et comme $\tilde T$ dans le
paragraphe 3.11 de 
\cite{kaspnov},  c'est-à-dire que $
\B(G,T)^>$ est donné par la formule $\B(G,T)^>(h,x)=\big( (t,g)\mapsto
T(h(t)(g)),g\mapsto T^>(x(g))\big)$ et $\B(G,T)^<$ est défini de
manière analogue. \cqfd

\begin{prop}\label{descenteparallele}
Soient $G$ un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G$ 
 et $\A(G)$ et $\B(G)$ deux
complétions inconditionnelles de $C_c(G)$ telles que, pour tout $f\in
 C_c(G)$, $\|f\|_{\A(G)}\leq \|f\|_{\B(G)}$. 

Pour toute $G$-algèbre de
Banach $A$, on a $\|f\|_{\A(G,A)}\leq
\|f\|_{\B(G,A)}$ pour tout $f\in C_c(G,A)$, donc $\mathrm{Id}_{C_c(G,A)}$
s'étend en un morphisme $i:\B(G,A)\vers \A(G,A)$. 

Soient $A$ et $B$ deux $G$-algèbres de
Banach, et soit $\alpha \in KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$. Alors $j_{\A}(\alpha) \in
KK^{\ban}(\A_\ell(G,A),\A(G,B))$ et $j_{\B}(\alpha )\in
KK^{\ban}(\B_\ell(G,A),\B(G,B))$ ont même image dans
$KK^{\ban}(\B_\ell(G,A),\A(G,B))$.  
\end{prop}
Cela se démontre à l'aide de cônes comme la proposition précédente.\cqfd 
 
\begin{prop}\label{descenteproduit} 
  Soient $G$ un groupe localement compact, $\A(G)$ une 
  complétion inconditionnelle de $C_c(G)$, $A$, $B$, $C$ des
  $G$-$C^*$-algèbres et 
  $\alpha\in KK_G(A,B)$, $\beta \in KK_G(B,C)$, et $\alpha \otimes _B
  \beta \in KK_G(A,C)$ le produit de Kasparov. Alors on a 
$$\Sigma(j_{\A}( \alpha \otimes _B
   \beta))=\Sigma(j_{\A}(\beta))\circ \Sigma(j_{\A}( \alpha)) \text{ dans }
\mathrm{Hom}(K_*(\A(G,A)),K_*(\A(G,C)).$$ 
\end{prop}
La preuve ci-dessous est due à Georges Skandalis. Elle évite un
argument long et pénible utilisant les éléments $M$ et $N$ de
Kasparov.  

Commen\c cons par un lemme. 
\begin{lem}\label{morinvmor}
  Soient $G$ un groupe localement compact, $A$ et $B$ deux
  $G$-$C^*$-algèbres et $\alpha \in KK_G(A,B)$. Il existe une
  $G$-$C^*$-algèbre $A_1$, des morphismes $G$-équivariants
  $\theta :A_1\vers A$, $\eta : A_1\vers B$, 
et un élément $\alpha _1\in KK_G(A,A_1)$  tel que 
$\theta ^*(\alpha _1)=\mathrm{Id}_{A_1}$ dans
  $KK_G(A_1,A_1)$, $\theta _*(\alpha _1)=\mathrm{Id}_A$ dans $KK_G(A,A)$, et
  $\theta ^*(\alpha)=[\eta]$ dans $KK_G(A_1,B)$. 
\end{lem}
En d'autres termes, tout élément de KK-théorie est le produit d'un vrai
  morphisme, et d'un élément de KK-théorie qui est l'inverse d'un
  vrai morphisme. 

\noindent 
\begin{bfseries}
Démonstration du lemme~\ref{morinvmor}.
\end{bfseries}
La démonstration de ce lemme m'a été entièrement expliquée par Georges
Skandalis. Nous indiquons comment construire l'algèbre $A_1$. D'abord
$\alpha$ fournit un élément  de $KK^1_G(SA,B)$. Soit $(E,T)$ un
représentant de cet élément. On construit à
partir de $T$  un
opérateur $G$-équivariant $\hat T$ tel que $(E\otimes L^2(G),\hat
T)$ appartienne à $E(SA\otimes \K(L^2(G)),B)$, $G$ agissant sur
$L^2(G)$ par translation à gauche,  et représente un élément
Morita équivalent à $\alpha$. D'où une suite exacte $G$-invariante 
$0\vers \K(E\otimes L^2(G))\vad{j} D\vers SA\otimes \K(L^2(G))\vers 0$
admettant un relèvement complètement positif de norme $1$. D'après le
corollaire 4.2 de~\cite{thomsen}, $j$ admet une unité approchée
$G$-invariante et d'après le lemme 3.3 de~\cite{thomsen}, on en déduit
un morphisme asymptotique $G$-équivariant et complètement positif
$\psi : S^2A\otimes \K(L^2(G))\vers \K(E\otimes L^2(G))$. On compose ce
morphisme asymptotique avec l'inclusion évidente $\K(E\otimes
L^2(G))\subset \K(E\otimes L^2(G)\oplus B)$. On a aussi une inclusion
évidente de $B$ dans $\K(E\otimes L^2(G)\oplus B)$. D'autre part on a un
morphisme asymptotique complètement positif et $G$-équivariant de 
$S^2A\otimes \K(L^2(G))$ vers $A\otimes \K(l^2(\N))\otimes \K(L^2(G))$
associé à la $C^*$-algèbre de Toeplitz et on compose ce morphisme avec
l'inclusion de $A\otimes \K(l^2(\N)\otimes L^2(G))$ dans 
$A\otimes \K(l^2(\N)\otimes L^2(G)\oplus \C)$. Enfin on a une
inclusion évidente de $A$ dans $A\otimes \K(l^2(\N)\otimes
L^2(G)\oplus \C)$. On en déduit un champ continu de $C^*$-algèbres sur
$[0,2]$, dont la 
fibre en $0$ est $A$, sur $]0,1[$ est $A\otimes \K(l^2(\N)\otimes
L^2(G)\oplus \C)$, en $1$ 
est $S^2A\otimes \K(L^2(G))$, sur $]1,2[$ est $\K(E\otimes
L^2(G)\oplus B)$ et en 
$2$ est $B$. Pour tout sous-intervalle $I$ de $[0,2]$, on note $J_I$
l'algèbre des sections continues de ce champ sur l'intervalle $I$,
s'annulant au bord lorsque l'intervalle $I$ est ouvert. On a
$A=J_{\{0\}}$, $B=J_{\{2\}}$, et on pose $A_1=J_{[0,2]}$ et on prend
pour $\theta$ et $\eta$ les 
évaluations en $0$ et $2$. La suite exacte  
$0\vers J_{]1,2]}\vers J_{]0,2]}\vers J_{]0,1]}\vers 0 $ admet un relèvement
$G$-équivariant complètement positif de 
norme $1$, car $J_{[1,2]}\vers J_{\{1\}}\vers 0$ en admet un, puisque
$\psi$ est un morphisme asymptotique complètement positif et
$G$-équivariant. Comme 
$J_{]1,2]}$ est 
$KK_G$-nul, il résulte du théorème $7.2$
de~\cite{baajsk} que $J_{]0,2]}\vers J_{]0,1]}$ est
$KK_G$-inversible. Enfin $J_{]0,1]}$ est Morita équivalent au produit
tensoriel de $A$ par une algèbre de Toeplitz, et est donc $KK_G$-nul
et par suite $J_{]0,2]}$ est $KK_G$-nul. Enfin la suite exacte $0\vers
J_{]0,2]}\vers A_1\vers A\vers 0 $ admet un relèvement 
$G$-équivariant complètement positif de 
norme $1$ et d'après le théorème $7.2$
de~\cite{baajsk}, $A_1\vers A$ est $KK_G$-inversible.\cqfd


Nous démontrons maintenant la proposition~\ref{descenteproduit}  après
avoir appliqué le 
lemme à $G,A,B,\alpha $ et en gardant les notations du lemme. Comme $
\theta ^*(\alpha _1)=\mathrm{Id}_{A_1}$ on a $\Sigma(j_{\A}(\alpha _1))\circ
j_{\A}(\theta )_*=\mathrm{Id}_{K_*(\A(G,A_1))}$ et comme $\theta
_{*}(\alpha 
_1)=\mathrm{Id}_A$, on a $j_{\A}(\theta)_* \circ \Sigma(j_{\A}(\alpha
_1))=\mathrm{Id}_{K_*(\A(G,A))}$. Nous avons utilisé la fonctorialité
de $\Sigma$ et de $j_{\A}$. Donc $j_{\A}(\theta )_*:K_*(\A(G,A_1))\vers
K_*(\A(G,A))$ est inversible. 
On a $\theta ^*( \alpha \otimes_B \beta)=\eta ^*( \beta )$ dans
$KK_G(A_1,C)$. D'où $\Sigma(j_{\A}(\alpha \otimes_B \beta))\circ j_{\A}(\theta
)_*=\Sigma(j_{\A}(\beta ))\circ j_{\A}(\eta )_*$ de $K_*(\A(G,A_1))$
vers $K_*(\A(G,C))$. Il en résulte que 
$$\Sigma(j_{\A}(\alpha \otimes_B
\beta))= \Sigma(j_{\A}(\beta ))\circ j_{\A}(\eta )_* \circ j_{\A}(\theta
)_*^{-1}.$$
Le même argument (avec $C=B$ et $\beta =\mathrm{Id}$) montre que 
$\Sigma(j_{\A}(\alpha ))=j_{\A}(\eta )_* \circ j_{\A}(\theta
)_*^{-1}$. Ainsi la proposition~\ref{descenteproduit} est démontrée. \cqfd



\section{Application à la conjecture de Baum-Connes}
\label{applicbc}


\begin{prop}\label{normeN_i}
  Soient $G$ un groupe localement compact, $\A(G)$ une complétion
  inconditionnelle de 
  $C_c(G)$, $A$ et $B$ deux $G$-algèbres de Banach et $\alpha \in
  KK^{\ban}_G(A,B)$. S'il existe une suite $(\ell_i)_{i\in \N^*}$ de
  longueurs sur $G$ qui converge uniformément vers $0$ sur tout
  compact de $G$ et telle que,  
pour tout $i\in \N^*$, $\iota(\alpha )=0$ dans
  $KK^{\ban}_{G,\ell_i}(A,B)$, alors $$\Sigma(j_{\A}(\alpha))= 0
  \text{ dans }\mathrm{Hom}(K_*(\A(G,A)),K_*(\A(G,B))).$$  
\end{prop}
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}Soit $l\in \{0,1\}$. Par hypothèse
$\Sigma(j_{\A}(\alpha))$ est nul sur l'image de $K_l(\A_{\ell_i}(G,A))$
  dans $K_l(\A(G,A))$. Or 
$K_l(\A(G,A))$ est la réunion des images des $K_l(\A_{\ell_i}(G,A))$ puisque,
pour tout $f\in C_c(G,A)$, on a 
$\lim _{i\mapsto +\infty}\|f\|_{\A_{\ell_i}(G,A)}=\|f\|_{\A(G,A)}$ et
  grâce au lemme suivant. \cqfd

En fait nous énon\c cons un lemme plus général que cela ne 
serait nécessaire.
\begin{lem}\label{limiterayonsspec}
Soient $A$ une algèbre de Banach, $C$ une sous-algèbre dense et
$(A_i)_{i\in I}$ 
une famille de complétions de $C$ pour des normes telles que l'on ait  
$\|x\|_A\leq
\|x\|_{A_i}$ pour tout $i\in I$ et  pour tout $x\in C$ et que, pour 
 tout $n\in \N^*$, et tout $x\in M_n(C)$,  
$ \inf_{i\in I}(\rho _{M_n(A_i)}(x))=\rho _{M_n(A)}(x)$,  
en notant $\rho$ le rayon spectral. On note $\theta : C\to A$
 et $\theta_i:C\to A_i$ les inclusions évidentes. On note $\tau _i:A_i\vers A$
l'unique morphisme d'algèbres de Banach tel que $\tau_i\circ
\theta_i=\theta$. Alors  
$K_*(A)$ est la réunion des $\tau _{i,*}(K_*(A_i))$ pour $i$ dans $I$. 
\end{lem}
 \begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}
D'abord $K_0(A)$ est la réunion des $\tau _{i,*}(K_0(A_i))$. En effet
  soient $n\in \N_*$, $r\in \{0,...,n\}$ et $p$ un 
  idempotent de $M_n(\tilde A)$ de la forme $p=I_r^n+x$ où
  $I_r^n=\begin{pmatrix} 1_r &0\\0&0
  \end{pmatrix}
  $ et $x\in M_n(A)$. Pour tout  $\epsilon >0$, on peut trouver $y\in M_n(C)$
  tel que $\|\theta (y)-x\|_{M_n(A)}\leq \epsilon$. Si $\epsilon$ est
  assez petit, on a $\|(I_r^n+\theta (y))^2-(I_r^n+\theta
  (y))\|_{M_n(A)}< \frac{1}{4}$, et donc il existe $i\in I$ tel
  que  
$\rho
  _{M_n(A_i)}((I_r^n+\theta_i(y))^2-(I_r^n+\theta_i(y)))<\frac{1}{4}$.
  Par suite le 
  spectre de $I_r^n+\theta_i(y)$ dans $M_n(\tilde A_i)$ est inclus
  dans la réunion 
  de deux disques disjoints de centres $0$ et $1$, et on fabrique un
  projecteur à partir de $I_r^n+\theta_i(y)$ par calcul fonctionnel
  holomorphe.  

Montrons maintenant que $K_1(A)$ est la réunion des $\tau
  _{i,*}(K_1(A_i))$. Soient $n\in \N^*$ et $x\in M_n(A)$ tel que $1+x$
  soit  
  inversible dans $\widetilde {M_n(A)}$. Choisissons $y,z\in M_n(C)$ tels
  que $\theta (y)$ et $\theta (z)$ soient suffisamment proches de $x$
  et de $(1+x)^{-1}-1$ dans $M_n(A)$ pour que   
 $\|(1+\theta (y))(1+\theta (z))-1\|_{M_n(A)}<1$ et 
$\|(1+\theta (z))(1+\theta (y))-1\|_{M_n(A)}<1$. 
 Il existe $i\in I$ tel que l'on ait 
 $\rho_{M_n(A_i)}\big((1+\theta_i(y))(1+\theta_i(z))-1\big)<1$ et
  $\rho_{M_n(A_i)}\big((1+\theta_i(z))(1+\theta_i(y))-1\big)<1$.  
 Par suite  $1+\theta_i(y)$ est inversible à droite et à gauche dans
  $\widetilde {M_n(A_i)}$.  \cqfd



\begin{prop}
  Soient $G$ un groupe localement compact, $\A(G)$ une 
  complétion inconditionnelle  de
  $C_c(G)$ telle que $\A(G)$ soit une
  sous-algèbre involutive et stable  par calcul fonctionnel holomorphe
  de $C^*_r(G)$, et $\alpha \in  
KK_G(\C,\C)$. S'il existe une suite $(\ell_i)_{i\in \N^*}$ de longueurs 
sur $G$ qui converge uniformément vers $0$ sur tout compact de $G$, 
et telle que, pour tout i, $\iota(\alpha )=1$ dans 
$KK^{\ban}_{G,\ell_i}(\C,\C)$, alors $j_r(\alpha )\in KK(C^*_r(G), C^*_r(G))$
  induit l'identité sur $K_*(C^*_r(G))$. 
\end{prop}
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}
Cela résulte des propositions~\ref{normeN_i},~\ref{compkaspban2}
  et~\ref{compar},  
ainsi que la
fonctorialité de $\Sigma$ dans la proposition~\ref{real}, et du fait que,
  $\A(G)$ étant une sous-algèbre de Banach dense et stable par calcul
  fonctionnel holomorphe dans $C^*_r(G)$, l'inclusion de $\A(G)$ dans
  $C^*_r(G)$ induit un isomorphisme $K_*( \A(G))\vers K_*(C^*_r(G))$,
  d'après le théorème A.2.1 de \cite{bost}. \cqfd
\vskip 0.3cm 

\noindent{\bf Généralisations de  la conjecture de Baum-Connes.}

Dans toute la suite, $G$ est un groupe localement compact, $\A(G)$ une
 complétion inconditionnelle de  $C_c(G)$ et $B$ une $G$-$C^*$-algèbre. 
On note $\underline{E}G$ le classifiant de $G$ pour les actions
  propres. Nous allons construire une application de Baum-Connes 
$\mu_{\A}^B:K^{\top}_*(G,B)\vers K_*(\A(G,B))$, et étudier ses
  propriétés. On rappelle que $K^{\top}_*(G,B)=
  \underset{\longrightarrow}{\lim}\ KK_G^*(C_0(Y),B)$,  
$Y$ décrivant les parties $G$-compactes de $\underline{E}G$. Ce groupe
  a été défini dans~\cite{baumconnes} avec une notation différente.  

Soit $Y$ une partie $G$-compacte de
$\underline{E}G$ (nous entendons par là une partie fermée,
$G$-invariante, avec quotient compact). D'après l'appendice A de~\cite{tu}, 
il existe $c\in C_c(Y,\R_+)$ tel 
que $\int_G c(g^{-1}y)dg=1$ pour tout $y\in Y$. La fonction
$(g,y)\mapsto \sqrt{c(y)c(g^{-1}y)}$, ou, avec la notation intuitive,
$\int_G(y\mapsto \sqrt{c(y)c(g^{-1}y)})e_gdg$,
%$(gy\vag{g}y)\mapsto \sqrt{c(y)}\sqrt{c(gy)}$ 
est un projecteur de
$C_c(G,C_0(Y))$ et on note $\lambda _{Y,G,\A}$ l'élément de
$K_0(\A(G,C_0(Y)))$ qu'il détermine (il faudrait ajouter
$\sqrt{\mu(g)^{-1}}$ dans la formule pour que ce projecteur soit
autoadjoint dans $C^*_r(G,C_0(Y))$). D'où une suite d'homomorphismes 
\begin{eqnarray*}
  KK_G(C_0(Y),B)\vad{\iota} KK_G^{\ban}(C_0(Y),B)\vad{j_{\A}}
KK^{\ban}(\A(G,C_0(Y)),\A(G,B))\\
\vad{\Sigma(.)(\lambda _{Y,G,\A})} K_0(\A(G,B)).
\end{eqnarray*} 
Comme
$\A(G,C_0(\R,B))$ est une sous-algèbre dense et stable par calcul fonctionnel
holomorphe de $C_0(\R,\A(G,B))$, on a aussi la suite d'homomorphismes 
$$KK_G^1(C_0(Y),B)=KK_G(C_0(Y),C_0(\R,B))\vers
K_0(\A(G,C_0(\R,B)))=K_1(\A(G,B)).$$
En passant à la limite inductive, on définit ainsi 
$\mu _{\A}^B:K^{\top}_*(G,B)\vers K_*(\A(G,B))$. 

\begin{prop}\label{fonctalg}
  Soient $C$ une autre $G$-$C^*$-algèbre et $\alpha \in
  KK_G(B,C)$, induisant $\alpha ^{\top}_*:K^{\top}_*(G,B)\vers
  K^{\top}_*(G,C)$. Alors $\Sigma(j_{\A}(\alpha ))\circ \mu _{\A}^B
  =\mu _{\A}^C\circ \alpha ^{\top}_*$ de $K^{\top}_*(G,B)$ dans
  $K_*(\A(G,C))$. 
\end{prop}
On applique la proposition~\ref{descenteproduit} aux
$G$-$C^*$-algèbres $C_0(Y)$, $B$ et $C$ et à $\alpha \in KK_G(B,C)$ et
à un élément arbitraire de $KK_G(C_0(Y),B)$. \cqfd

\begin{prop}\label{fonctcompl}
  Soit $\B(G)$ une autre complétion inconditionnelle de $C_c(G)$ telle que 
$\|f\|_{\A(G)}\leq 
\|f\|_{\B(G)}$ pour tout $f\in C_c(G)$. Notons $i :\B(G,B)\vers
\A(G,B)$ le morphisme introduit dans la proposition~\ref{descenteparallele}. 
 Alors on a $\mu _{\A}^B=i_*\circ \mu _{\B}^B$. 
\end{prop}
Cela résulte de la proposition~\ref{descenteparallele} et de la
fonctorialité de $\Sigma$. \cqfd

\begin{prop}\label{fonctcomplC^*}
  Supposons que l'on ait $\|f\|_{\A(G)}=\|f^*\|_{\A(G)}$ et
  $\|f\|_{C^*_r(G)}\leq \|f\|_{\A(G)}$ pour toute fonction $f\in C_c(G)$. 
 Notons $i:\A(G,B)\vers C^*_r(G,B)$ l'unique morphisme
  prolongeant $\mathrm{Id}_{C_c(G,B)}$. 
 Alors on a $\mu
  _r^B=i_*\circ \mu _{\A}^B$, où $\mu
  _r^B$ est l'application de Baum-Connes usuelle. 
\end{prop}
Cela est une conséquence de la proposition~\ref{compar} et de la
fonctorialité de $\Sigma$. \cqfd

Nous rappelons que $B$ est dite propre si $B$ est une
$C_0(Z)$-$G$-$C^*$-algèbre au sens de~\cite{kaspnov}, 1.5,  avec $Z$ un
$G$-espace propre. 
%On sait que si $B$ est propre $\mu
%  _r^B$ est un isomorphisme : georges Skandalis m'a indiqué que cela
%  résultait de l'isomorphisme de descente. 
Chabert, Echterhoff et Meyer ont montré que l'application de
Baum-Connes à coefficients dans une algèbre propre est toujours une
bijection~\cite{chabertechterhoffmeyer} 
(voir aussi la proposition 5.11 de~\cite{KS}
pour la surjectivité et pour l'injectivité dans le cas des groupes
discrets, voir aussi~\cite{monstreEtheorie} et le théorème 5.26 de~\cite{tu}).


  \begin{prop}\label{proprecompl}
    Si $B$ est une $G$-$C^*$-algèbre propre, 
pour toute  complétion inconditionnelle $\A(G)$, 
$\mu _{\A}^B$ est un isomorphisme. 
  \end{prop}
Notons $\B(G)=\A(G)\cap \A(G)^*\cap L^1(G)\cap L^1(G)^*$, en notant $\A(G)^*$
    l'image de $\A(G)$ par la convolution, 
 de sorte que l'on possède deux morphismes
    naturels de $\B(G,B)$ vers  $\A(G,B)$ et  $C^*_r(G,B)$.
 La proposition découle du résultat de Chabert, Echterhoff et Meyer,
    du lemme suivant, et des
 propositions~\ref{fonctcompl} et ~\ref{fonctcomplC^*}. \cqfd

 \begin{lem}\label{sous-algpleinecc}
   Dans les notations ci-dessus les morphismes de $\B(G,B)$ dans
   $\A(G,B)$ et dans $C^*_r(G,B)$ induisent des isomorphismes en
   K-théorie. 
 \end{lem}
La preuve qui suit m'a été suggérée par Georges Skandalis. Elle repose
   sur le lemme suivant.  

On dit qu'une sous-algèbre $D$ d'une algèbre $A$ est héréditaire si
$DAD\subset D$. 

\begin{lem} Soit $B$ une algèbre de Banach, et soit $A\subset B$ une
sous-algèbre dense, munie de la topologie induite. Si $A$ est
héréditaire dans $B$, alors $\pi_0(\tilde A^{-1})\to \pi_0(\tilde
B^{-1})$ est une bijection. 
\end{lem}
Si $x\in A$, et $1+x\in  \tilde B^{-1}$, alors, si on note $1+y$
l'inverse de $1+x$ dans $\tilde B^{-1}$, $y=-x+x^2+xyx$ appartient à
$A$, et donc $1+x$ appartient à $ \tilde A^{-1}$. De même
$A[0,1]=C([0,1],A)$ est 
héréditaire dans $B[0,1]$. Enfin les composantes connexes de $\tilde
B^{-1}$ sont connexes par arc puisque $\tilde B^{-1}$ est un ouvert
d'un espace de Banach. \cqfd

\begin{lem}\label{heredi}
Soit $C$ une algèbre de Banach, $B$ une sous-algèbre de Banach de $C$,
dense dans $C$, et $A$ une sous-algèbre dense de $B$. Si $A$ est
héréditaire dans $C$, alors $K_*(B)\to K_*(C)$ est un isomorphisme. 
\end{lem}
En appliquant le lemme précédent à $M_n(A)$ et $M_n(B)$, puis $M_n(A)$
et $M_n(C)$, pour tout entier $n$, on a le résultat pour $K_1$. En
rempla\c cant $A$ par $A]0,1[=C_0(]0,1[,A)$, $B$ par $B]0,1[$, et $C$
par $C]0,1[$, on obtient le résultat pour $K_0$. \cqfd

Montrons maintenant le lemme~\ref{sous-algpleinecc}. 
Soit $B_c$ la sous-algèbre de $B$ formée des éléments $b$ de $B$ tels
que $fb=b$ pour un certain $f\in C_c(Z)$. Alors $D=C_c(G,B_c)$ est une
sous-algèbre dense et héréditaire de $C^*_r(G,B)$ et de $\A(G,B)$. En
effet $B_c$ est dense dans $B$ par hypothèse. Pour toute
$G$-$C^*$-algèbre $A$, étant donnés $f_1,f_3\in C_c(G,A)$,
l'application $C_c(G,A)\to C_c(G,A)$, $f_2\mapsto f_1f_2f_3$ s'étend
par continuité en une application $C^*_r(G,A)\to C_b(G,A)$, où
$C_b(G,A)$ est l'espace des fonctions continues bornées de $G$ dans
$A$ : en effet $\sup_{g\in G}\|f_1f_2f_3(g)\|_A\leq
\|f_1^*\|_{L^2(G,A)}\|f_2\|_{C^*_r(G,A)}\|f_3\|_{L^2(G,A)}$. De plus
le support dans 
$G\ltimes Z$ d'un produit de deux éléments de $C_c(G,B_c)$ est inclus
dans le produit des deux supports. Enfin, comme l'action de $G$ sur
$Z$ est propre, le produit de 3 parties compactes de $G\ltimes Z$ est
inclus dans un compact de $G\ltimes Z$ ne dépendant que de la première
et de la dernière. On applique alors le lemme~\ref{heredi} à 
$D\subset \B(G,B)\subset \A(G,B)$, et à $D\subset \B(G,B)\subset
C^*_r(G,B)$. \cqfd






Dans la proposition suivante, nous étudions l'injectivité de
$\mu _{\A}$ lorsque $\A(G)$ est une complétion inconditionnelle de $G$
et $G$ est 
comme dans~\cite{tu} ou dans~\cite{KS}. 
Cette proposition  découle  du
lemme 5.12 de~\cite{KS}, du résultat de Chabert, Echterhoff et
Meyer,  et de la
proposition~\ref{fonctcomplC^*},  
dès que $\A(G)$ est une sous-algèbre involutive de $C^*_r(G)$. 
   \begin{prop}\label{injectivitemuADDD}
     Supposons que, pour toute partie $G$-compacte $Y$ de
     $\underline{E}G$, il existe une $G$-$C^*$-algèbre propre $A$, et
     $\eta \in KK_G(\C,A)$ et $d\in KK_G(A,\C)$ tels que $\gamma =\eta
     \otimes _A d\in KK_G(\C,\C)$ vérifie $q^*(\gamma )=1$ dans
     $KK_{G\ltimes  
     Y}(C_0(Y),C_0(Y))$ où $q$ est la projection de $Y$ vers le
     point. Alors, pour toute complétion inconditionnelle $\A(G)$ et
pour toute 
     $G$-$C^*$-algèbre $B$, $\mu _{\A}^B$ est une injection.
   \end{prop}
En effet soit $x\in 
K^{\top}_*(G,B)$ tel que $\mu _{\A}^B(x)=0$. Montrons que pour
tout $\gamma \in KK_G(\C,\C)$ tel qu'il existe une $G$-$C^*$-algèbre
propre $A$, et 
     $\eta \in KK_G(\C,A)$ et $d\in KK_G(A,\C)$ avec $\gamma =\eta
     \otimes _A d$, on a $\sigma _B(\gamma )_*(x)=0$ dans
     $K^{\top}_*(G,B)$. En effet on a $\mu
     _{\A}^{B\otimes A}(\sigma _B(\eta)_*(x))=
  \Sigma(j_{\A}(\iota (\sigma _B(\eta)))(\mu _{\A}^B(x))=0$ d'après la
  proposition~\ref{fonctalg}. Or $\mu
     _{\A}^{B\otimes A}:
K^{\top}_*(G,B\otimes A)\vers 
K_*(\A(G,B\otimes A))$ est un isomorphisme : cela résulte de la 
proposition~\ref{proprecompl} parce que $B\otimes A$ est propre.
% et que,
%d'après le résultat de~\cite{tu}, rappelé dans la
%proposition~\ref{bijmurpropre}, vu les hypothèses du théorème, $\mu
%_r^{B\otimes A}$ est un isomorphisme. 
Donc $\sigma _B(\eta)_*(x)=0$. Mais
$\sigma _B(\gamma)=\sigma _B(\eta)\otimes_{B\otimes A}\sigma _B(d)$, d'où 
$\sigma _B(\gamma)_*(x)=0$. 
Ainsi, d'après les hypothèses du théorème, pour toute partie
$G$-compacte $Y$ de $\underline{E}G$ il existe $\gamma \in
KK_G(\C,\C)$ tel que $\sigma _B(\gamma )_*(x)=0$ et $q^*(\gamma )=1$
dans $KK_{G\ltimes 
     Y}(C_0(Y),C_0(Y))$. Mais cette dernière égalité implique que le
produit de Kasparov à 
droite par $\sigma _B(\gamma
   )$, de $KK_G(C_0(Y),B)$ vers $KK_G(C_0(Y),B)$, qui est aussi égal
au produit de Kasparov à gauche par $\sigma_{C_0(Y)}(\gamma)$,  est
l'identité. Par suite $x=0$. \cqfd



\begin{thm}\label{surjmuADDD} Soit $B$ une $G$-$C^*$-algèbre. 
  Supposons qu'il existe une $G$-$C^*$-algèbre propre $A$, et
     $\eta \in KK_G(\C,A)$ et $d\in KK_G(A,\C)$ tels que $\gamma =\eta
     \otimes_A  d\in KK_G(\C,\C)$ vérifie la condition suivante : il existe
     une suite $(\ell_i)_{i\in \N^*}$ de longueurs sur $G$, qui converge
     uniformément vers $0$ sur tout compact de $G$, et telle que, pour
     tout $i\in \N^*$, $\sigma^{\ban}_B(\iota(\gamma
     ))=\iota(\sigma_B(\gamma ))=1$ dans  
$KK^{\ban}_{G,\ell_i}(B,B)$. Alors pour toute complétion
     inconditionnelle $\A(G)$, $\mu _{\A}^B$ est une surjection.
\end{thm}
L'égalité $\sigma^{\ban}_B(\iota(\gamma
))=\iota(\sigma_B(\gamma ))$ est un cas particulier du
lemme~\ref{sigmaD}. L'égalité  $\iota(\sigma_B(\gamma ))=1$ dans  
$KK^{\ban}_{G,\ell_i}(B,B)$ est impliquée par l'égalité
$\iota(\gamma )=1$ dans
$KK^{\ban}_{G,\ell_i}(\C,\C)$. D'après~\cite{HigsonKasp}
et~\cite{tufeuilletages} elle a aussi lieu par exemple si $\gamma$ est
comme dans la proposition~\ref{injectivitemuADDD}, $B=C_0(X)$
et si l'action de $G$ sur $X$ est moyennable. 

\noindent 
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}
D'après la proposition~\ref{normeN_i}, on a   
$\Sigma(j_{\A}(\sigma_B ^{\ban}(\iota
(\gamma))))=\mathrm{Id}_{K_*(\A(G,B))}$. 
 Comme $\sigma _B(\gamma)=\sigma
_B(\eta)\otimes_A\sigma _B(d)$ et d'après la
proposition~\ref{descenteproduit},  
  $\Sigma(j_{\A}(\iota (\sigma_B (d)))):K_0(\A(G,A\otimes 
B))\vers K_0(\A(G,B))$ est surjective  et le théorème résulte alors de
la proposition~\ref{fonctalg} appliquée à $ \sigma_B (d)$, du fait
que $A\otimes B$ est une $G$-$C^*$-algèbre propre,
et de la proposition~\ref{proprecompl}.    \cqfd


Nous terminons par un théorème qui montre la conjecture
de Baum-Connes (sans coefficients) pour les groupes hyperboliques
indépendamment du
résultat de Mineyev et Yu~\cite{mineyevyu} (en effet d'après
~\cite{HigsonKasp} et~\cite{tufeuilletages}, l'élement $\gamma$ est
égal à $1$ pour les groupo\" ides moyennables). 

\begin{thm}\label{hyperbolique1}
 Soient $G$ un groupe localement compact, et $X$ un espace
compact muni d'une action de $G$.  Soit $\gamma\in KK_G(\C,\C)$ tel
que $\sigma_{C(X)}(\gamma)=1$ dans $KK_G(C(X),C(X))$, et qu'il existe
une  $G$-$C^*$-algèbre propre $A$, et
     $\eta \in KK_G(\C,A)$ et $d\in KK_G(A,\C)$ tels que $\gamma =\eta
     \otimes _A d\in KK_G(\C,\C)$. 
Supposons qu'il existe une suite $(\ell_i)_{i\in \N^*}$ de
longueurs sur $G$ qui converge 
     uniformément vers $0$ sur tout compact de $G$, et telle que, pour
     tout $i\in \N^*$, $1\in KK^{\ban}_{G,\ell_i}(\C,\C)$ est l'image d'un
élément de  $KK^{\ban}_{G,\ell_i}(C(X),\C)$ par l'inclusion évidente 
$\C\to C(X)$. Alors pour toute complétion
     inconditionnelle $\A(G)$, et pour toute $G$-$C^*$-algèbre $B$, 
$\mu _{\A}^B$ est une surjection.
\end{thm}
En effet la deuxième hypothèse et la fonctorialité de $\sigma_B^\ban$
montrent que le morphisme $\A(G,B)\to 
\A(G,C(X)\otimes^\pi B))$ donne une inclusion $K_*(\A(G,B))\to
K_*(\A(G,C(X)\otimes^\pi B))$. Par hypothèse on a $\sigma_{C(X)}(\gamma )=1\in
KK_G(C(X),C(X))$ et donc 
$\Sigma(j_\A(\sigma^\ban_{C(X)\otimes^\pi B}(\iota(\gamma))))=
\Sigma(j_\A(\sigma^\ban_B(\iota(\sigma_{C(X)}(\gamma
)))))=\Id_{K_*(\A(G,C(X)\otimes^\pi B))}$.  
Il en résulte que $\Sigma(j_\A(\sigma^\ban_B( \iota(\gamma
))))=\Id_{K_*(\A(G,B))}$. En effet, en notant $\alpha:\C\to C(X)$
l'inclusion, et $\sigma_B^\ban(\alpha): B\to C(X)\otimes^\pi B$ l'inclusion
associée, le diagramme suivant est commutatif
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{clcr}
K_*(\A(G,B)) &
\overset{j_\A(\sigma^\ban_B(\alpha))_*}{\hookrightarrow} &
K_*(\A(G,C(X)\otimes^\pi B))\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\Sigma(j_\A(\sigma^\ban_B(\iota(\gamma))))\downarrow  & &
\;\downarrow  
\Sigma(j_\A(\sigma^\ban_{C(X)\otimes^\pi B}(\iota(\gamma))))
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\
K_*(\A(G,B))&
\overset{j_\A(\sigma^\ban_B(\alpha))_*}{\hookrightarrow} &
K_*(\A(G,C(X)\otimes^\pi B))  \end{array} \end{eqnarray*}
car on a les égalités, dans $KK^\ban_G(B,C(X)\otimes^\pi B)$ : 
\begin{eqnarray*}\sigma_B^\ban(\alpha)_*(\sigma^\ban_B( \iota(\gamma )))=
\sigma^\ban_B(\alpha_*( \iota(\gamma )))=
\sigma^\ban_B(\iota(\alpha_*(\gamma )))=
\sigma^\ban_B(\iota(\alpha^*(\sigma_{C(X)}(\gamma ))))=\\
\sigma^\ban_B(\alpha^*(\iota(\sigma_{C(X)}(\gamma ))))=
\sigma^\ban_B(\alpha^*(\sigma_{C(X)}^\ban(\iota(\gamma ))))=
\sigma_B^\ban(\alpha)^*(\sigma_{C(X)\otimes^\pi B}^\ban(\iota(\gamma
))).\end{eqnarray*} On a utilisé l'égalité évidente
$\alpha_*(\gamma)=\alpha^*(\sigma_{C(X)}(\gamma ))$ dans
$KK_G(\C,C(X))$. 

On conclut comme dans la preuve du
théorème~\ref{surjmuADDD}. 




\chapter{Homotopie entre $\gamma$ et $1$ pour les groupes agissant sur
des espaces boliques}


Dans~\cite{KS}, Kasparov et Skandalis construisent, 
pour tout groupe localement compact  $G$ agissant continûment, 
proprement et par
isométries sur un espace métrique $(X,d)$ localement fini, 
faiblement géodésique,
faiblement bolique et de géométrie grossière (ou co-uniforme) 
bornée, et pour tout $k\in \R_+$
assez grand, un élément $\gamma _k\in KK_{G}(\C,\C)$, comme dans le
corollaire 6.11 de~\cite{KS}. Lorsque  $G$ est discret, ils montrent ainsi
la conjecture de Novikov pour $G$. 


Nous montrons que, si $G$ et $(X,d)$ sont comme ci-dessus, et si
de plus $(X,d)$ est uniformément localement fini (ce qui est plus
fort que d'être localement fini et de géométrie grossière bornée), 
et si la première
condition de bolicité, notée $(B1)$ dans~\cite{KS}, est vraie pour
tout $\delta \in \R_+^*$, alors il existe une longueur
 $\ell$ sur $G $  telle que, pour
tout $s\in \R_+^*$ et pour tout $k$ comme ci-dessus, $\gamma _k$ et
$1$ aient même image  
dans $KK_{G,s\ell
   }^{ban}(\C,\C)$. 

Nous montrons aussi que si $G$ et $(X,d)$ sont comme ci-dessus, et si
de plus $(X,d)$ est uniformément localement fini et hyperbolique, il existe
une longueur $\ell$ sur $G$ et un espace compact $Y$ muni d'une action
moyennable de $G$ tels que, pour tout $s\in \R_+^*$, l'image de $1$
dans $KK_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$ soit égale à l'image réciproque par
$\C\to C(Y)$ d'un élément de $KK_{G,s\ell}^{\ban}(C(Y),\C)$. 

Dans les deux situations ci-dessus, $G$ et $X$ vérifient les
hypothèses de~\cite{cras} (qui sont plus fortes que les hypothèses
de~\cite{KS}).
% et le résultat de~\cite{cras} est plus fort que celui
%de~\cite{KS}: il permet d'utiliser le théorème~\ref{surjmuADDD} et non
%pas la remarque~\ref{surjmuAdiscret}. 
Cependant, comme les preuves de~\cite{KS} sont plus détaillées, nous
suivons les notations de~\cite{KS}. 


 
L'homotopie que nous réalisons généralise celle
de~\cite{K-moyennabilite} et~\cite{julgvalette} mais nous devons
sortir du cadre hilbertien, car 
certains des groupes que nous considérons possèdent la propriété (T).
Il y a aussi un lien avec l'homotopie qui apparaît
dans~\cite{twistedcob}. 

Ce chapitre est assez indigeste. Le cas des immeubles est beaucoup
plus simple et remarquablement bien expliqué, pour les immeubles
$\tilde A^2$,  dans~\cite{SkBki}.  

\section{Rappels de la construction de Kasparov et
Skandalis}\label{RappelsKS} 

Les définitions qui suivent proviennent de~\cite{KS} et
de~\cite{cras}.  Dans toute la suite on se donne un espace métrique
$(X,d)$. Lorsque $x\in X$ et $r\in \R_+$, on note 
$B(x,r)=\{y\in X, d(x,y)<r\}$ et $\bar B(x,r)=\{y\in X, d(x,y)\leq
r\}$. 
\begin{defi}
  On dit que $(X,d)$ est uniformément localement fini si, pour tout
  $r\in \R_+$ il existe $K\in \N$ tel que, pour tout $x\in X$, $\bar
  B(x,r)$ contienne au plus $K$ points. 
\end{defi}

\begin{defi}
  Soit $\delta \in \R_+^*$. On dit que $(X,d)$ est faiblement $\delta
  $-géodésique si, quels que soient $x,y\in X$ et $t\in [0,d(x,y)]$, il
  existe $a\in X $ tel que $d(a,x)\leq t+\delta $ et $d(a,y)\leq
  d(x,y)-t+\delta $. 
\end{defi}
Si $x,y\in X$  et $\delta \in \R_+^*$, on appelle $\delta $-milieu de
$x$ et $y$ un point $a\in X$ tel que $d(a,x)\leq
\frac{1}{2}d(x,y)+\delta $ et $d(a,y)\leq
\frac{1}{2}d(x,y)+\delta $. 
\begin{defi}
  Soit $\delta \in \R_+^*$. On dit que $(X,d)$ est faiblement $\delta
  $-bolique si les conditions suivantes sont réalisées : 
  \begin{itemize}
  \item (B1) pour tout $r>0$, il existe $R>0$ tel que, pour tout
    quadruplet $x,y,z,t$ de points de $X$ vérifiant $d(x,y)+d(z,t)\leq
    r$ et $d(x,z)+d(y,t)\geq R$, on ait $d(x,t)+d(y,z)\leq
    d(x,z)+d(y,t)+2\delta $,
 \item  (B2') il existe une application $m:X\times X\vers X$ telle que,
   pour $x,y\in X$, $m(x,y)$ soit un $\delta $-milieu de $x$ et $y$,
   que pour $x,y,z\in X$, $d(m(x,y),z)\leq \max (d(x,z),d(y,z))+2\delta$,
   et que, pour tout $p\in \R_+$, il existe $N(p)\in \R_+$ tel que, pour
   tout $N\in \R_+$ avec $N\geq N(p)$, pour $x,y,z\in X$ vérifiant
   $d(x,z)\leq N$, $d(y,z)\leq N$, et $d(x,y)>N$, on ait 
$d(m(x,y),z)<N-p$.
  \end{itemize}
\end{defi}

Nous fixons maintenant  $\delta \in \R_+^*$, et nous supposons $(X,d)$
faiblement $\delta
  $-géodésique, faiblement $\delta
  $-bolique et 
uniformément localement fini (on peut remplacer cette dernière
condition par localement fini et de géométrie
grossière bornée  
d'après~\cite{KS}). Soit $G $ un groupe localement compact 
 agissant continûment, proprement, et
  par isométries sur $X$. Dans~\cite{KS}, pour tout $k\in [\delta
  ,+\infty[$, Kasparov et Skandalis construisent $\gamma _k\in
  KK_{G}(\C,\C)$ de la manière que nous allons rappeler, à ceci
  près que nous rempla\c cons $k$ par $tk$, où $t\in [1,+\infty [$,
 dans certains lemmes. 

Pour tout $N\in \R_+^*$, on note $\Delta ^N$ l'ensemble des 
parties  de $X$ dont le
diamètre est inférieur ou égal à $N$ et, pour $S\in \Delta  ^N$, on pose
$U_S=\cap _{y\in S}\bar B(y,N)=\{z\in X, \{z\}\cup S\in \Delta
^N\}$. Contrairement à~\cite{KS}, nous avons inclus la partie vide
dans $\Delta ^N$, car cela sera plus commode dans les paragraphes 
suivants. 

Fixons $t\in [1,+\infty [$, et posons $N_t=\max(8tk+22\delta,
N(4tk+10\delta))\in \R_+^*$ où  
$N(4tk+10\delta)$ est  la notation de la condition $(B2')$. Ainsi la
condition $(C2)$ de~\cite{KS} est réalisée, avec $4tk$ au lieu de $4k$.

\begin{bfseries}
Pour simplifier, dans ce paragraphe nous notons $N$ au lieu de $N_t$
et $\Delta $ au lieu de $\Delta ^{N_t}$. 
\end{bfseries}


Nous réécrivons  les lemmes $6.2$ et $6.3$ de ~\cite{KS}, en rempla\c
cant $k$ par $tk$. 
\begin{lem}  \label{72}
(LEMME 6.2 de~\cite{KS})
Soient $x\in X$ et $S\in \Delta $. Le diamètre de $\{z\in U_S,
d(x,z)\leq d(x,U_S)+(4tk+6\delta )\}$ est inférieur ou égal à $N$.   
\end{lem}\cqfd
\begin{lem} \label{73}
(LEMME 6.3 de~\cite{KS})
Soient $x\in X$ et $S,T\in \Delta $. Supposons que tout point $a$ dans la
différence symétrique de $S$ et $T$ vérifie $d(x,a)\leq d(x,U_S)+
  (4tk+6\delta )$. Alors $d(x,U_T)=d(x,U_S)$ et, pour tout $b$ dans la
  différence symétrique de $U_S$ et $U_T$, $d(x,b)\geq d(x,U_S)+
  (4tk+6\delta )$.
\end{lem}\cqfd


Pour $R\in \R_+^*$, Kasparov et Skandalis définissent $I(R)$ comme 
l'ensemble des $r\in \R_+$ tels que pour tout quadruplet $x,y,a,b$ de
points de $X$ vérifiant $d(x,a)+d(y,b)\geq 2R-r$, $d(x,y)\leq r$ et
$d(a,b)\leq 2N$, on ait $d(y,a)+d(x,b)\leq  d(x,a)+d(y,b)+2k$. Pour
tout $R\in \R_+^*$, 
$I(R)$ est un intervalle de $\R_+$ contenant $0$. Grâce à $(B1)$ et,
comme $k\geq \delta $, on a
$\lim_{R\mapsto +\infty }\sup (I(R))=+\infty$. 

Enfin, pour $x\in X$ et $S\in \Delta $, Kasparov et Skandalis
définissent $A_{S,x}=\{a\in U_S, d(x,a)\leq d(x,U_S)+2\delta \}$ et
pour $r\in \R_+$, $Y_{S,x,r}=\cup _{y\in \bar B(x,r)}A_{S,y}$. 

\begin{lem} \label{76}
(partie du LEMME 6.6 de~\cite{KS})
Soit $r\in I(d(x,U_S))$. Alors 
\begin{itemize}
\item a) pour tout $a\in Y_{S,x,r}$, on a $d(x,a)\leq
  d(x,U_S)+(2k+2\delta)$, 
  \item b) le diamètre de $Y_{S,x,r}$ est inférieur ou égal à $N$. 
\end{itemize}
  \end{lem}\cqfd

La proposition suivante est la proposition $6.7$ de~\cite{KS} sauf
l'assertion $b)$ qui est en fait une étape pour $c)$, et qui a été
ajoutée pour nos besoins. 
\begin{prop} \label{77}(variante de la PROPOSITION 6.7 de~\cite{KS})
  Soient $x\in X$, $S\in\Delta $ et $r\in I(d(x,U_S))$. Alors 
  \begin{itemize}
  \item a) $(S\cup Y_{S,x,r})$ appartient à $\Delta $, 
   \item b) si $T\in \Delta $ est tel que, pour tout $a$ dans la
     différence symétrique de $S$ et $T$, on ait 
$d(x,a)\leq d(x,U_S)+((4t-2)k+6\delta )$, alors pour tout $y\in \bar
     B(x,r)$, $A_{S,y}=A_{T,y}$, et on a $Y_{S,x,r}=Y_{T,x,r}$, 
    \item c) si $T\in \Delta $ est tel que $S-Y_{S,x,r}\subset
      T\subset S\cup Y_{S,x,r}$, alors pour tout $y\in \bar
     B(x,r)$, $A_{S,y}=A_{T,y}$, et on a $Y_{S,x,r}=Y_{T,x,r}$. 
  \end{itemize}
\end{prop}
La preuve de $b)$ est décalquée des preuves de $6.6.c)$ et $6.7.b)$
dans~\cite{KS}. Soient $y\in \bar
     B(x,r)$ et $a''\in U_S$ tel que $d(y,a'')=d(y,U_S)$. Par
hypothèse, pour tout $a$ dans la
     différence symétrique de $S$ et $T$, on a $d(x,a)\leq d(x,U_S)+
((4t-2)k+6\delta )\leq d(x,a'')+((4t-2)k+6\delta )$. 
Comme $r\in I(d(x,U_S))$ et
$y\in \bar
     B(x,r)$, on a $d(y,a)+d(x,a'')\leq d(y,a'')+d(x,a)+2k$, d'où
     $d(y,a)\leq d(y,a'')+(4tk+6\delta )$. On applique le
     lemme~\ref{73} à $y$, $S$ et $T$, pour conclure que
$A_{S,y}=A_{T,y}$.\cqfd  

La proposition suivante résulte de la proposition $6.9$ de~\cite{KS},
à un détail près que nous justifions ensuite. 
\begin{prop}\label{79a}(variante du $a)$ de la PROPOSITION 6.9 de~\cite{KS})
Pour tout $x\in X$ et tout $S\in \Delta $, il existe une mesure $\psi
_{S,x}$ positive de masse $1$ sur $X$, de sorte que les propriétés
suivantes soient vraies : $\psi
_{S,x}$ dépend de $(S,x)$ de fa\c con $G $-équivariante, $\psi
_{S,x}$ ne dépend pas de $(S,x)$ mais seulement de $x$, de $d(x,U_S)$,
de $\{z\in U_S, d(x,z)\leq d(x,U_S)+(2k+4\delta )\}$, et des $A_{S,y}$
pour $y\in X$ tel que $d(x,y)\in I(d(x,U_S))$, de plus $\psi
_{S,x}$ est à support dans $\bigcup _{r\in I(d(x,U_S))}Y_{S,x,r-k}$ et,
pour $x,y\in X$, la fonction $\|\psi _{S,x}-\psi _{S,y}\|_1$ tend vers
$0$ en dehors des parties finies de $\Delta $. 
\end{prop}
En effet, pour $x\in X$ et $S,T\in \Delta $, si $d(x,U_S)=d(x,U_T)$, 
$\{z\in U_S, d(x,z)\leq d(x,U_S)+(2k+4\delta )\}=\{z\in U_T,
d(x,z)\leq d(x,U_T)+(2k+4\delta )\}$, et $A_{S,y}=A_{T,y}$ pour tout
$y\in X$ tel que $d(x,y)\in I(d(x,U_S))$, alors, dans les notations de
la preuve de la proposition $6.9$ de~\cite{KS}, on a
$f_{S,x,t}=f_{T,x,t}$ pour tout $t\leq r_{S,x}$ et $\mu _{U_S}$, et
$\mu _{U_T}$ coïncident sur $\{z\in X, d(x,z)\leq d(x,U_S)+(2k+2\delta
)\}$ d'après le lemme $6.8$ de~\cite{KS}, et enfin cet ensemble contient le
support des $f_{S,x,t}$ pour  $t\leq r_{S,x}$, d'après le lemme
$6.6.a) $ de~\cite{KS}. Les autres assertions figurent explicitement
dans la proposition $6.9$ de~\cite{KS}. \cqfd

Le corollaire suivant est une variante du $b)$  de la proposition
$6.9$ de~\cite{KS}. Il découle de la proposition précédente, du
lemme~\ref{73}  et du
$b)$ de la proposition~\ref{77}. 
\begin{cor}\label{79b}(variante du $b)$ de la PROPOSITION 6.9 de~\cite{KS})
Pour $x\in X$ et $S,T\in \Delta $, on a $\psi_{S,x}=\psi_{T,x}$ lorsque
la différence symétrique de $S$ et $T$ est contenue dans $\{a\in X,
d(x,a)\leq d(x,U_S)+((4t-2)k+6\delta )\}$, et donc en particulier lorsque
la différence symétrique de $S$ et $T$ est incluse dans le support de
$\psi_{S,x}$. 
\end{cor}\cqfd

Rappelons maintenant la construction de $\gamma _k\in KK_{G
  }(\C,\C)$. Nous avons seulement besoin de $F_x$ pour $x\in X$ et non
  de tous les opérateurs $F_{\lambda }$ de~\cite{KS}. Fixons $x\in
  X$. On note $(e_y)_{y\in X}$ la base canonique de $l^2(X)$ et $\H$ le
  sous-espace de Hilbert de $\Lambda (l^2(X))$ engendré par les
  $e_{x_1}\wedge \dots \wedge e_{x_n}$ où $\{x_1,\dots ,x_n\}$
  parcourt $\Delta - \emptyset$. Pour tout $S\in \Delta
  - \emptyset$ notons  
$e_S=\pm e_{x_1}\wedge \dots \wedge e_{x_n}$ si $S=\{x_1,\dots
  ,x_n\}$, le choix du signe n'ayant aucune incidence dans la
  suite. Notons 
  $e_{\emptyset}$ l'état du vide dans $\Lambda (l^2(X))$ et 
  $\psi_{\emptyset,x}=\psi_{\{x\},x}$. Pour $x\in X$ et $S\in \Delta
  $ notons $\phi _{S,x}=\sqrt{\psi _{S,x}}$, si bien que
  $\|\phi _{S,x}\|_{l^2}=1$. 

Notons $\RR$ la relation d'équivalence suivante sur $\Delta $ 
(introduite dans~\cite{KS}): 
$S\RR T$ si la différence symétrique de $S$ et $T$
  est incluse dans le support de $\psi _{S,x}$, ce qui implique $\psi
  _{S,x}=\psi _{T,x}$ . Notons $cl(\RR)$ l'ensemble des classes
  d'équivalence pour $\RR$, et notons $R_0$ la classe qui contient
  $\emptyset$. Pour tout $R\in cl(\RR)$ notons $\phi _R$ la valeur
  commune des $\phi _{S,x}$ pour $S\in R$, et $\H_R=\bigoplus _{S\in
  R}\C e_S\subset \H\oplus \C e_{\emptyset}$, si bien que $\H=(\bigoplus
  _{R\in cl(\RR),R\neq R_0}\H_R) \oplus (\H_{R_0}\cap \H)$. Kasparov et
  Skandalis définissent alors $F_x:\H\vers \H$ par $F_x\negmedspace
\negmedspace\mid
  _{\H_R}=c(\phi_R)$ pour $R\neq R_0$ et $F_x\negmedspace
\negmedspace\mid
  _{\H_{R_0}}=Pc(\phi_{R_0})$, où $P$ désigne le projecteur orthogonal
  de $\H\oplus \C e_{\emptyset}$ sur $\H$. 

 
\begin{prop}\label{710}(partie de la PROPOSITION 6.10 de~\cite{KS})
  \begin{itemize}
  \item a) Pour tout $x\in X$, $F_x^*=F_x$ et $1-F_x^2$ est la
    projection orthogonale sur $\C\phi_ {\emptyset,x}$.
  \item b) Pour $x,y\in X$, $F_x-F_y$ appartient à $\K(\H)$.  
  \end{itemize}
\end{prop}\cqfd

On rappelle que Kasparov et
  Skandalis graduent $\H$ par $\partial (e_{x_1}\wedge \dots \wedge
  e_{x_n})=n-1 \ [2]$, si bien que  pour tout $x\in X$, $F_x$ est impair. Ainsi 
$(\H,F_x)$ appartient à $E_{G}(\C,\C)$. Comme toute la
  construction ci-dessus dépend de $k\in [\delta ,+\infty[$ et de $t\in
  [1,+\infty[$, et que $k$ est fixé pour toujours mais $t$ variable, 
nous noterons parfois $(\H^{t},F^{t}_x)$ au lieu de $(\H,F_x)$. 
La classe $\gamma _k
  \in KK_{G}(\C,\C)$ définie par $(\H^1,F^1_x)$ est indépendante de $x$. 

\section{Enoncé du résultat}
 

\begin{defi}
  On dit qu'un espace métrique $(X,d)$ satisfait à la condition $(B1)$
  forte s'il vérifie la condition $(B1)$ pour tout $\delta \in
  \R_+^*$. 
\end{defi}

\begin{thm}\label{enoncebol}
Soient $\delta \in
 \R^*_+$,
 $(X,d)$ un espace métrique 
uniformément localement fini, faiblement $\delta
  $-géodésique et faiblement $\delta
  $-bolique et vérifiant la condition $(B1)$ forte, 
et  $G $ un groupe localement compact agissant continûment, proprement et
  par isométries sur $X$. Soit $x\in
 X$. Soit $\ell$ la longueur sur $G$ définie par $\ell(g)= d(x,gx)$. 
 
   Alors pour tout $k\in [\delta, +\infty [$, pour tout $s\in \R_+^*$,
   $\gamma _k\in KK_{G}(\C,\C)$  et $1$ ont même image dans 
$KK^{\ban}_{G ,s\ell}(\C,\C)$. 
 \end{thm}
La démonstration occupe tout le paragraphe suivant. 

Le résultat suivant permet, à l'aide du théorème \ref{hyperbolique1},
de montrer la conjecture de Baum-Connes sans coefficients pour les
groupes hyperboliques, 
indépendamment du résultat de Mineyev et Yu~\cite{mineyevyu}. 

\begin{thm}\label{hyperbolique2}
Soient $\delta \in
 \R^*_+$,
 $(X,d)$ un espace métrique 
uniformément localement fini, faiblement $\delta
  $-géodésique, et $\delta$-hyperbolique,
et  $G $ un groupe localement compact agissant continûment, proprement, et
  par isométries sur $X$. Soit $x\in
 X$. Soit $\ell$ la longueur sur $G$ définie par $\ell(g)= d(x,gx)$. 
Alors il existe un espace compact $Y$, muni
 d'une action moyennable de $G$, tel que  pour tout $s\in \R_+^*$,
  l'image de  $1$  dans 
$KK^{\ban}_{G ,s\ell}(\C,\C)$ co\"incide avec l'image réciproque par
 l'application $\C\to C(Y)$ d'un élément de $KK^{\ban}_{G
 ,s\ell}(C(Y),\C)$.
 \end{thm}



\section{Construction de l'homotopie}
Le but de  ce paragraphe  est la preuve du
théorème~\ref{enoncebol}. Dans tout ce paragraphe, 
$(X,d)$ et $G$ sont comme
dans ce théorème, et \begin{bfseries}nous fixons une fois
pour toutes $k\in 
[\delta, +\infty [$, $s\in \R^*_+$ et
$x\in X$. \end{bfseries} 
Sous ces hypothèses, nous montrons que $\gamma _k\in KK_{G}(\C,\C)$  et
$1$ ont même image dans  $KK^{\ban}_{G ,s\ell}(\C,\C)$. La condition
$(B1)$ forte ne sera utilisée qu'au paragraphe~\ref{deuxiemepartie}.

Dans la suite de cette section, on adopte la convention suivante. Si $G$ est un
groupe localement compact muni d'une longueur $\ell$, $A, B$  des
$G$-algèbres de Banach, et $E_p, \ p\in \{0,\cdots,n\}$ des
$(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodules,  on munit 
$\hat E=\oplus_{p=0}^{n}E_p$ et $E=\oplus_{p=1}^{n}E_p$ 
de la $\Z$-graduation donnée par
$p-1\in \Z$ et de la $\Z/2$-graduation qui s'en déduit. 

\subsection{Principales notations et réalisation de $\gamma _k$}

\paragraph{a) Notations dépendant de $N\in \R_+^*$.}

Soit $N \in \R_+^*$. Comme dans le paragraphe~\ref{RappelsKS}, on note
$\Delta ^N$ 
l'ensemble des parties de $X$ de diamètre inférieur ou égal à
$N$. Comme $(X,d)$ est uniformément localement fini, $\sup
_{S\in \Delta ^N}\#(S)$ est fini, et on note $p_{\mathrm{max}}^N=\sup
_{S\in \Delta ^N}\#(S)$. Pour tout $p\in \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}^N\}$, on
note $\Delta ^N_{p}=\{S\in
\Delta ^N ,\#(S)=p\}$. 

Notons $\C^{(X)}$ le $\C$-espace vectoriel formé des fonctions à
support fini de $X$ dans $\C$, dont la base canonique est
notée $(e_y)_{y\in X}$. Pour tout $p\in \{1,\dots
,p_{\mathrm{max}}^N\}$, notons $L_p^N$ le sous-espace vectoriel de $\Lambda (
\C^{(X)})$ engendré par les $e_S$ quand $S$ parcourt $\Delta ^N_p$
 (on rappelle que $e_S=\pm e_{x_1}\wedge \dots \wedge e_{x_p}$ quand
$S=\{x_1,\dots ,x_p\}$). 
Notons également $L_0^N=\C e_{\emptyset}$. 
Notons $\C^X$ l'espace des fonctions de $X$ dans $\C$, qui est le dual
algébrique de $\C^{(X)}$. Pour tout $p\in \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}^N-1\}$,
notons $\partial _p:L^N_{p+1}\vers L^N_p$ la contraction à gauche 
par $(\dots
,1,1,\dots )\in \C^X$. En d'autres termes, $\partial _0 : L^N_1\vers
L^N_0$ est défini par $\partial _0 (\sum _{y\in X}a_ye_{y})=(\sum
_{y\in X}a_y)e_\emptyset$ et $(L^N_1\vag{\partial _1}L^N_2\dots \vag{\partial
  _{p_{\mathrm{max}}^N-1}}L^N_{p_{\mathrm{max}}^N})$ est le complexe
d'homologie 
simpliciale. Ce complexe est défini de manière unique par les
conditions $\partial 
_0(e_y)=e_{\emptyset}$ et $\partial_{i+j}(\omega_i\wedge \omega_j)=
\partial_i(\omega_i)\wedge \omega_j+(-1)^i\omega_i\wedge
\partial_{j}(\omega_j)$. Enfin on note $\hat L^N=\bigoplus
_{p=0}^{p_{\mathrm{max}}^N}L^N_p$ et $L^N=\bigoplus
_{p=1}^{p_{\mathrm{max}}^N}L^N_p$ (gradués par $p-1\in \Z$), et
$\partial $ l'opérateur de degré $-1$ de 
$\hat L^N$ dans lui-même associé aux $\partial _p$.

\paragraph{b) Notations dépendant de $t\in [1,+\infty[$.}

Soit $t\in [1,+\infty[$. On rappelle que $N_t$ a été introduit au
paragraphe~\ref{RappelsKS}. Les notations $U_S,\RR,\phi_{S,x},\psi_{S,x}$ du
paragraphe~\ref{RappelsKS} 
 dépendent de $t$, sans que $t$ apparaisse explicitement.  

Pour $p\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}^{N_t}-1\}$, définissons $h_p^t :
L^{N_t}_p\vers L^{N_t}_{p+1}$ par $h_p^t(e_S)=\psi _{S,x}\wedge e_S$, et 
 définissons $h_0^t :
L^{N_t}_0\vers L^{N_t}_{1}$ par $h_0^t(e_{\emptyset})=\psi _{\emptyset,x}$. 
Comme $h_p^t(e_S)\in \bigoplus _{T\RR S}\C e_T$, et comme $T\RR S$
implique $\psi _{T,x}=\psi
 _{S,x}$,  il est immédiat que,  pour tout
$p\in \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}^{N_t}-2\}$, on a  $h_{p+1}^t h_p^t=0$. 
De même que pour $\del$, on note $h^t$ l'opérateur de degré $1$ de 
$\hat L^{N_t}$ dans lui-même associé aux $h_p^t$. 

\paragraph{c) Notations pour $t=1$ et réalisation de $\gamma _k$.}

Lorsque $t=1$, on pose $N=N_1$, et on omet systématiquement $t$ et $N$
dans les notations ci-dessus~: $\Delta =\Delta ^N$,
$p_{\mathrm{max}}=p_{\mathrm{max}}^{N}$, $\Delta _p=\Delta _p^N$ pour $p\in
\{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}\}$, $h_p=h_p^1$ et $h=h^1$. 

De plus, on introduit les notations supplémentaires suivantes. 
Pour tout $p\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}\}$, on note 
 $\H_p$ le sous-espace de Hilbert
de $\H$ engendré par les $e_S$ quand $S$ parcourt $\Delta _p$, de
sorte que $\H$ est $\bigoplus _{p=1}^{p_{\mathrm{max}}}\H_p$ gradué par
$p-1$ modulo $2$. Pour 
 $p\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}-1\}$, on note  $f_p: \H_p\vers
 \H_{p+1}$ et $g_p: \H_{p+1}\vers
 \H_p$ les opérateurs définis par $f_p(e_S)=\phi
 _{S,x}\wedge e_S$ et $g_p(e_S)=\phi
 _{S,x}\lrcorner e_S$. On note $f=(f_p)\in \L(\H)$ de degré $1$, et
 $g=(g_p)\in \L(\H)$ de degré $-1$.  

À l'espace de Hilbert $\H_p$ on
 associe la $\C$-paire $(\overline{\H_p},\H_p)$ notée 
 $\H_p$ par abus. Alors  $(\H,f+g)$ appartient à $E_{G
  }^{\ban}(\C,\C)$, et il 
est l'image de $(\H,F_x)\in E_{G}(\C,\C)$ (qui représente $\gamma_k\in
 KK_G(\C,\C)$) dans $E_{G
  }^{\ban}(\C,\C)$. 

\paragraph{d) Définitions des normes.}


Soient $t\in [1,+\infty[$ et $w\in \R_+$. 
Pour $S\in \Delta ^{N_t}$ on pose 
 $d_{moy}(x,S)=\frac{1}{\#(S)}\sum_{a\in S}d(x,a)$ si $S\neq \emptyset
 $, et   $d_{moy}(x,\emptyset)=0$. Pour tout $p\in \{0,\dots
 ,p_{\mathrm{max}}^{N_t}\}$, on note  $E^{t,>}_{p,w}$ le complété de
$L^{N_t}_p$ pour 
 la norme $$\|\sum_{S\in \Delta ^{N_t}_p}
x(S)e_S\|_{E^{t,>}_{p,w}}=\sum _{S\in \Delta ^{N_t}_p} 
|x(S)|\exp(wd_{moy}(x,S))$$ et $E^{t,<}_{p,w}$ le complété de $L^{N_t}_p$ pour
 la norme $$\|\sum_{S\in \Delta ^{N_t}_p}  \xi(S)e_S \|_{E^{t,<}_{p,w}}=
\sup _{S\in \Delta ^{N_t}_p} 
|\xi(S)|\exp(-wd_{moy}(x,S)).$$ Munie du crochet évident défini par
 $$\s{\xi,x}=\sum_{S\in \Delta ^{N_t}_p} \xi(S)x(S),$$ 
$(E^{t,<}_{p,w},E^{t,>}_{p,w})$ est une $(G,w\ell)$-$\C$-paire, notée 
$E^{t}_{p,w}$. On note aussi $\hat E^t_w=\bigoplus
_{p=0}^{p^t_{\mathrm{max}}} E^{t}_{p,w}$ et 
$E^t_w=\bigoplus _{p=1}^{p^t_{\mathrm{max}}} E^{t}_{p,w}$. 
Lorsque $t=1$, on omet $t$ dans toutes ces notations. 

\subsection{Préliminaires}

\paragraph{a) Un lemme général.}

Le lemme suivant nous permet de construire des morphismes de
$\C$-paires entre les $E^{t}_{p,w}$. 

\begin{lem}\label{preliminaire}
  Soient $t\in [1,+\infty[$ et $w\in \R_+$. Soit $T:\hat L^{N_t}\vers
 \hat L^{N_t}$ une application linéaire telle qu'il existe $r\in \R_+$
  avec, pour tout $S\in \Delta ^{N_t}$, 
$$T(e_S)\in \bigoplus _{T\text{ tel que } d_{moy}(x,T)\leq
  d_{moy}(x,S)+r}\C e_T.$$ 
Si $\sup _{S\in \Delta ^{N_t}}\|T(e_S)\|_{l^1}\leq +\infty$, $(^tT,T)$
  définit un élément de $\L(\hat E^t_w)$, noté $T$ par abus. Si de plus 
$\|T(e_S)\|_{l^1}$ tend vers $0$ quand $S$ sort des parties finies de
  $\Delta ^{N_t}$, $T$ appartient à $\K(\hat E^t_w)$. 
\end{lem}
La démonstration est immmédiate.\cqfd

Il résulte du lemme que, pour $w\in
\R_+$ et $t\in [1,+\infty[$, $h^t$ et 
$\del $ sont des morphismes de $\C$-paires de $\hat E^t_w$ dans lui-même,
et que $g\mapsto g(h^t)-h^t$ est une application continue de $G$
dans $\K(\hat E^t_w)$. En effet, par la proposition~\ref{79a}, on a
 $\psi_{gS,x}=g(\psi _{S,g^{-1}x})$ et, pour tout compact $K$ de
 $G$, $\sup_{g\in K}\|\psi _{S,g^{-1}x}-\psi
 _{S,x}\|_1$ tend vers $0$ en dehors des parties finies de
 $\Delta ^{N_t}$.  


\paragraph{b) Deux résultats techniques.}

Les deux propositions suivantes sont démontrées  en appendice. 
On suppose désormais $t=1$ partout, sauf dans l'appendice. On
rappelle que $\hat E_w=\hat E_w^1$ et $E_w=E_w^1$.  

\begin{prop}\label{rayonspectralt=1}
Pour tout $w\in \R_+$, 
 le rayon spectral de  $(\mathrm{Id}-\partial h-h\partial)$ dans 
  $\L(\hat E_{w})$ est inférieur ou égal à
 $(2p_{\mathrm{max}}+2)\exp (-w\frac {4\delta }{p_{\mathrm{max}}}) $.  
\end{prop}

\begin{prop}\label{homotopiepourdel}
Il existe un morphisme de $\C$-paires $J:\hat E_{s}\vers \hat E_{s}$
de degré $1$  tel que 
\begin{itemize}
 \item  $g\mapsto g(J)-J$ est une application continue de $G$ dans 
$\K(\hat E_s)$,
 \item on a
   $\mathrm{Id}_{\hat E_s}=\partial J+J\partial$ et $J^2$=0,
\item il existe $r\in \R_+$ tel que, 
pour tout $S\in \Delta $, on ait  
   \begin{eqnarray}
 J(e_S)\in \bigoplus _{T\text { tel que }d_{moy}(x,T)\leq
   d_{moy}(x,S)+r}\C e_T   .\nonumber  
  \end{eqnarray}
\end{itemize}
\end{prop}

\subsection{Représentation de $1$ dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$}

Dans la fin de ce chapitre, à l'exception de l'appendice technique, $t=1$. 


La proposition~\ref{homotopiepourdel} implique le corollaire suivant,
grâce à la proposition~\ref{exactd'uncote}.

\begin{cor}\label{avantconjugaison}
 $(E_s,J+\partial)$ appartient à $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$, et il est
  homotope à $1$ dans $E_{G,s\ell }^{\ban}(\C,\C)$.
\end{cor}\cqfd

\subsection{Conjugaison par $d_{moy}$}\label{deuxiemepartie}

Nous avons supposé que $(X,d)$ vérifiait la condition $(B1)$ forte. Il
 en résulte que le lemme suivant est vrai. 
 \begin{lem}\label{lemdmoy}
   Pour tout $R\in \R_+^*$, pour tout compact $K$ de $G$,
   $$\sup _{g\in
   K}\Big|\big(d_{moy}(x,gS)-d_{moy}(x,gT)\big)
-\big(d_{moy}(x,S)-d_{moy}(x,T)\big)\Big|$$  tend  
   vers $0$ en dehors des parties finies de $\{(S,T)\in \Delta\times
   \Delta, diam(S\cup T)\leq R\}$. 
 \end{lem}\cqfd
 \begin{defi}
   Pour $w\in \R_+$, on définit l'isomorphisme de $\C$-paires 
 $\theta _w:\hat E_{s+w}\vers \hat E_{s}$ en
 posant $$\theta _w^>(e_S)=\exp(wd_{moy}(x,S))e_S \text{ et }
 \theta _w^<(e_S)=\exp(wd_{moy}(x,S))e_S \text{ pour } S\in \Delta .$$ 
\end{defi}

\begin{lem}\label{thetawGeq}
Pour tout $w\in \R_+$ et pour tout $T$ comme dans la première partie du
lemme~\ref{preliminaire},   $g\mapsto g(\theta _w)Tg(\theta _w^{-1})-\theta
_wT\theta _w^{-1}$ est une 
application continue de $G$ dans $\K(\hat E_{s})$. 
\end{lem}
Cela résulte des lemmes~\ref{preliminaire} et~\ref{lemdmoy}. \cqfd


\begin{lem}\label{estimation}
  Pour $w\in \R_+$ assez grand,   
$\mathrm{Id}-(\del h+ h\del)\in
\L(\hat E_{s+w})$  est de rayon spectral  strictement inférieur à $1$.
  \end{lem}
En effet, par la proposition~\ref{rayonspectralt=1}, 
$\mathrm{Id}-(\del h+ h\del)\in \L(\hat E_{s+w})$ 
est de rayon spectral  inférieur ou égal à
 $(2p_{\mathrm{max}}+2)\exp (-(s+w)\frac {4\delta }{p_{\mathrm{max}}})
$, qui est 
 strictement inférieur à $1$ lorsque $w$ est assez grand.\cqfd

Nous fixons désormais  $w\in \R_+$ tel que la conclusion du
lemme~\ref{estimation} soit vraie. 


On note alors $H=h(\del h+ h\del)^{-1}=(\del h+ h\del)^{-1}h\in
\L(\hat E_{s+w})$ :
l'égalité a lieu car 
$(\partial h+ h\del)h=h\del h=h(\partial h+ h\del)$, puisque $h^2=0$. 
De même, en utilisant $\del ^2=0$, on vérifie que 
$\del(\del h+ h\del)^{-1}=(\del h+ h\del)^{-1}\del$. 

On a $H^2=(\del h+
h\del)^{-1}hh(\del h+ h\del)^{-1}=0$ car  $h^2=0$ et 
$\del H+H\del=1$, puisque $\del $ et $h$ commutent à  $(\del h+ h\del)^{-1}$.
Par le lemme~\ref{preliminaire},  $g\mapsto g(h)-h$ est une application
continue de $G$ dans 
$\K(\hat E_{s+w})$, et $\del $ est $G$-équivariant. On en déduit que 
$g\mapsto g(H)-H$ est une application
continue de $G$ dans $\K(E_{s+w})$.

L'idée d'introduire l'opérateur $H$, qui joue un rôle essentiel, m'a
été suggérée par Georges Skandalis.
 \begin{prop}\label{conjugw}
 $(E_{s},\theta _w(H+\partial)
(\theta _w)^{-1})$
appartient à $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$, et il est homotope à
$(E_s,J+\partial)$ dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$.
 \end{prop}
D'après le lemme~\ref{thetawGeq}, et les remarques qui
suivent 
le lemme~\ref{estimation}, 
$$g\mapsto g( \theta _w\partial
  (\theta _w)^{-1})- \theta _w\partial
  (\theta _w)^{-1}\text{ et }
g\mapsto g(\theta _w H(\theta _w)^{-1})-\theta _w H(\theta
 _w)^{-1}$$ sont des applications continues de $G$ dans
 $\K(E_s)$, et donc 
 $\big(E_s,\theta _w(H+\partial)
  (\theta _w)^{-1}\big)$
appartient à $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. 

La dernière condition satisfaite par $J$ dans la
 proposition~\ref{homotopiepourdel} permet de définir,  pour tout $v\in
 \R_+$, $J\in
 \L(E_{s+v})$ 
 possédant les mêmes propriétés que $J\in \L(E_s)$. Alors  
$\big(E_s[0,1],(\theta _{\alpha w}(J+\partial)
   (\theta _{\alpha w})^{-1})_{\alpha\in [0,1]}\big)$
 appartient à $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C[0,1])$, et réalise une
  homotopie entre $(E_s,J+\partial )$ et $(E_s,\theta _w (J+\partial)
 (\theta _w)^{-1}\big)$ 
 dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. Enfin  
 $\big(E_s,\theta _w(J+\partial )
  (\theta _w)^{-1}\big)$
 et $\big(E_s,\theta _w(H+\partial)
  (\theta _w)^{-1}\big)$
  sont homotopes dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$ d'après le 
 lemme~\ref{changelebas}. \cqfd

 \subsection{Fin de l'homotopie}
 
On garde la valeur de $w$ qui a été fixée après le lemme~\ref{estimation}. 
Le but de ce paragraphe est de démontrer la proposition suivante, qui
achève l'homotopie.  

\begin{prop}
 $(E_s,\theta _w(H+\partial)
  (\theta _w)^{-1})$
 et $(\H,f+g)$ sont homotopes dans $E_{G,s\ell
  }^{\ban}(\C,\C)$.
\end{prop}
Cette homotopie est réalisée en plusieurs étapes. 
\begin{lem}
  Soit $D=\del(\del h+ h\del)^{-1}=(\del h+ h\del)^{-1}\del\in
\L(\hat E_{s+w})$. Alors
$(E_s,\theta _w(h+D)
  (\theta _w)^{-1})$
appartient à $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$, et il est homotope à 
$(E_s,\theta _w(H+\partial)
  (\theta _w)^{-1})$
 dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. 
\end{lem}
Comme $\mathrm{Id}-(\del h+ h\del)\in
\L(\hat E_{s+w})$  est de rayon spectral  strictement inférieur à $1$, à
l'aide de la détermination principale du logarithme on peut définir 
$(\del h+ h\del)^{-\alpha}\in
\L(\hat E_{s+w})$ pour tout $\alpha \in [0,1]$. Posons 
$$H^{\alpha}=h(\del h+ h\del)^{-\alpha}=(\del h+ h\del)^{-\alpha}h\in
\L(\hat E_{s+w})$$ et 
$$D^{\alpha}=\del(\del h+ h\del)^{-\alpha}=(\del h+ h\del)^{-\alpha}\del\in
\L(\hat E_{s+w}).$$
Alors 
$$(E_s[0,1],
 (\theta _w  (H^{\alpha}+ D^{1-\alpha})  (\theta _w)^{-1})_{\alpha\in [0,1]})$$
appartient à $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C[0,1])$, et réalise
l'homotopie pour le lemme. \cqfd

Pour tout $p\in \{0,\dots
 ,p_{\mathrm{max}}-1\}$, définissons $h'_p :L_p^N\vers L_{p+1}^N$ par
 $h'_p(e_S)=\frac{1}{\|\phi _{S,x}^3\|_1}\psi _{S,x}\wedge e_S$, et
 $g'_p:L_{p+1}^N\vers L_p^N$ par $g'_p(e_S)=\frac{1}{\|\phi
 _{S,x}^3\|_{l^1}}\phi _{S,x}\lrcorner e_S$. Comme $(X,d)$ est
 uniformément localement fini, $(\|\phi _{S,x}^3\|_{l^1})^{-1}=(\s{\phi
 _{S,x},\psi _{S,x}})^{-1}$ est borné indépendamment de $S$. 
\begin{lem}
  $(E_s,h+g')$
  appartient à  $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$, et il est homotope à 
$(E_s,\theta _w(h+D)
  (\theta _w)^{-1})$ dans 
$E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. 
\end{lem}
Cela résulte du lemme~\ref{changelebas} et de l'homotopie fournie par 
$$(E_s[0,1],(\theta _{\alpha w}(h+g')(\theta _{\alpha
w})^{-1})_{\alpha \in [0,1]}).$$\cqfd 

\begin{lem}
Le complexe $(E_s,h'+g)$
appartient à  $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$, et il est homotope à 
 $(E_s,h+g')$
 dans  $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$.
\end{lem}
Pour réaliser l'homotopie, définissons, pour $\alpha \in [0,1]$, 
 $h_{p,\alpha}:L_p^N\vers L_{p+1}^N$
 et $g_{p,\alpha }:L_{p+1}^N\vers L_p^N$, par $h_{p,\alpha}(e_S)=
(\|\phi _{S,x}^3\|_1)^{-\alpha}\psi _{S,x}\wedge e_S$ et 
$g_{p,\alpha }(e_S)=(\|\phi _{S,x}^3\|_1)^{-\alpha}\phi
 _{S,x}\lrcorner e_S$, de sorte que $h_{p,0}=h_p$, $h_{p,1}=h'_p$,
 $g_{p,0}=g_p$, et $g_{p,1}=g'_p$. L'homotopie est réalisée par  
$(E_s[0,1],(h_{\alpha}+g_{1-\alpha})_{\alpha \in [0,1]})$,
 qui appartient à $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C[0,1])$.\cqfd 
 
\begin{lem}
   Le complexe $(E_s,f+g)$
 appartient à $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$, et il est homotope à 
 $(E_s,h'+g)$ 
 dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$.
\end{lem}
Cela résulte du lemme~\ref{changelebas}. \cqfd
\begin{lem}
  Le complexe $(E_0,f+g)$
 appartient à $E_{G}^{\ban}(\C,\C)$, et son image dans
 $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$ est homotope à  
$(E_s,f+g)$.
\end{lem}
Pour tout $p\in \{1,...,p_{\mathrm{max}}\}$, notons $\bar E_p^>$ la complétion
de $L_p^N\otimes ^{alg}\C[0,1]$ pour la norme $\|x\|=\sup _{\alpha \in
[0,1]}\|x(\alpha )\|_{E^>_{p,(1-\alpha)s}}$,  et définissons de même
$\bar E_p^<$. Notons par abus $f_p\otimes 1$ et $g_p\otimes 1$ les
prolongements 
continus de $f_p\otimes 1$ et $g_p\otimes 1$. Alors $\bar E_p=(\bar
E_p^<,\bar E_p^>)$ est une $(G,s\ell)$-$\C[0,1]$-paire et, si on note 
$\bar E=\oplus_{p=1}^{p=p_{\mathrm{max}}}\bar E_p$, 
$(\bar E,f\otimes 1+g\otimes 1)$ appartient à
$E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C[0,1])$ et 
réalise l'homotopie pour le lemme. \cqfd

On note que $E_{p,0}=(c_0(\Delta _p),l^1(\Delta _p))$. 

\begin{lem}
 $(E_0,f+g)$
  et $(\H,f+g)$ sont homotopes dans $E_{G}^{\ban}(\C,\C)$.
\end{lem}
Notons $q$ et $q'$ deux fonctions continues de $[0,1]$ dans
$[1,+\infty]$, telles que $q(0)=q'(0)=2$, $q(1)=1$, $q'(1)=+\infty$, et 
$q(\alpha)^{-1}+q'(\alpha)^{-1}=1$ pour tout $\alpha \in [0,1]$. 
Pour tout $p\in \{1,...,p_{\mathrm{max}}\}$, notons $\bar E_p^>$ la complétion
de $L_p^N\otimes ^{alg}\C[0,1]$ pour la norme $\|x\|=\sup _{\alpha \in
[0,1]}\|x(\alpha )\|_{l^{q(\alpha)}(\Delta _p)}$, et  $\bar E_p^<$
la complétion 
de $L_p^N\otimes ^{alg}\C[0,1]$ pour la norme $\|\xi\|=\sup _{\alpha \in
[0,1]}\|\xi(\alpha )\|_{l^{q'(\alpha)}(\Delta _p)}$. Notons par abus
$f_p\otimes 1$ et $g_p\otimes 1$ les prolongements 
continus de $f_p\otimes 1$ et $g_p\otimes 1$. Alors $\bar E_p=(\bar
E_p^<,\bar E_p^>)$ est une $G$-$\C[0,1]$-paire. Si on note $\bar
E=\oplus_{p=1}^{p=p_{\mathrm{max}}}\bar E_p$,  
$(\bar E,f\otimes 1+g\otimes 1)$ appartient à $E_G^{\ban}(\C,\C[0,1])$ et
réalise l'homotopie pour le lemme. \cqfd


 \section{Preuve du théorème~\ref{hyperbolique2}} 

On procède de la même fa\c con qu'au paragraphe précédent jusqu'au
corollaire~\ref{avantconjugaison}, dont on adopte les notations. 
On munit $\Delta ^N$ de la distance de Hausdorff : si $S$ et $T$ sont
deux parties, la distance de $S$ à $T$ est $$\max
\big(\sup _{x\in S}d(x,T), \sup _{y\in T}d(y,S)\big).$$
On convient que la distance d'une partie non vide à la partie vide est
infinie. 

On note $Y$
le spectre de l'algèbre des fonctions bornées sur $\Delta^N$, telles
que, pour tout $R>0$ et tout $\epsilon>0$, $\{(S,T)\in (\Delta^N)^2,
d(S,T)\leq R, |f(S)-f(T)|\geq \epsilon\}$ soit fini,  munie de la
norme du sup. Ainsi $Y$ est compact, et $C(Y)$ est une sous-algèbre
fermée de $C_b(\Delta^N)$. 


Il est clair que 
$(E_s,J+\partial)$ est l'image d'un élément de 
  $E_{G,s\ell}^{\ban}(C(Y),\C)$. 

Enfin, en adaptant la preuve du théorème d'Adams, présentée par
Germain dans l'appendice B de~\cite{delarocherenault},  du cas des groupes
hyperboliques à celui des espaces hyperboliques,  on voit que
l'action de $G$ sur $Y$ est moyennable (il existe une application
continue $G$-équivariante de $Y$ vers la réunion de $\Delta^N$ et du
bord de $X$). \cqfd


\section{Appendice technique}

\subsection{Démonstration de la proposition~\ref{rayonspectralt=1} et
 d'un résultat algébrique}
Nous allons montrer un résultat plus général que la
proposition~\ref{rayonspectralt=1}.  

\begin{prop}\label{rayonspectraltqcque}
Soient $t\in [1,+\infty[$ et $w\in \R_+$.  
Pour tout   $q\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}^{N_t}\}$, pour tout $p\in 
\{0,\dots ,q\}$, 
$(\mathrm{Id}-\partial _ph^t_p-h^t_{p-1}\partial _{p-1})\in \L(\hat
E_{p,w}^t)$  
est de rayon spectral  inférieur ou égal à
 $(2q+2)\exp(-w\frac{(4t-4)k+4\delta }{q})$. 
\end{prop}
Nous fixons $t$ et $w$  comme dans la proposition. 



Pour tout $q\in \{1,\dots
  ,p_{\mathrm{max}}^{N_t}\}$, notons $\Delta _{(\leq
    q)}^{N_t}=\bigcup_{p=0}^q\Delta _p^{N_t}$. Pour tout $S\in 
\Delta _{(\leq
    q)}^{N_t}$, posons 
  \begin{eqnarray}
 \zeta ^{t}_{q,x}(S)=\frac{1}{q}\biggl( \sum _{a\in
  S}\max \Bigl(d(x,U_S),d(x,a)-(2k+2\delta )\Bigr)+
(q-\#(S))d(x,U_S)\biggr) \nonumber  
  \end{eqnarray}
 si
$S\neq \emptyset$ et $\zeta ^{t}_{q,x}(\emptyset)=0$. 

Le lemme suivant est immédiat. 
\begin{lem}\label{propzeta}
Soit $q\in \{1,\dots
  ,p_{\mathrm{max}}^{{N_t}}\}$.
  \begin{itemize}
  \item a) Pour tout $S\in \Delta _{(\leq
    q)}^{N_t}$ on a $d(x,U_S)\leq \zeta ^{t}_{q,x}(S)\leq  d(x,U_S)+N_t$.
  \item b) Pour $x,y\in X$ et $S\in \Delta _{(\leq
    q)}^{N_t}$ on a 
$|\zeta ^{t}_{q,x}(S)-\zeta ^{t}_{q,y}(S)|\leq d(x,y)$ et $\zeta
    ^{t}_{q,x}(S)$ dépend de $(x,S)$ de fa\c con $G$-équivariante. 
  \end{itemize}
  \end{lem}\cqfd


\begin{lem}\label{contract}
Pour tout $q\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}^{N_t}\}$, pour tout $p\in 
\{0,\dots ,q\}$, et pour tout $S\in \Delta _p^{N_t}$, on a 
\begin{eqnarray}
 (\mathrm{Id}-\partial_p h^t_p-h^t_{p-1}\partial_{p-1})e_S\in \bigoplus
_{T\text{ tel que }\zeta ^{t}_{q,x}(T)\leq \zeta
  ^{t}_{q,x}(S)-\frac{(4t-4)k+4\delta }{q}}\C e_T. \nonumber
 \end{eqnarray}
\end{lem}
La preuve du lemme~\ref{contract} repose sur le lemme suivant. 

\begin{lem}\label{geomcontract}
  Soit $q\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}^{N_t}\}$.
  \begin{itemize}
  \item a) Pour $S,T\in \Delta _{(\leq
    q)}^{N_t}$ tels que $S\RR T$, on a $\zeta
  ^{t}_{q,x}(S)= \zeta ^{t}_{q,x}(T)$
   \item b) Pour $S,T\in \Delta _{(\leq
    q)}^{N_t}$ tels que $T\subset S$, $\#(T)=\#(S)-1$, et  
$\psi_{S,x}\neq \psi_{T,x}$ on a  $\zeta ^{t}_{q,x}(T)\leq \zeta
  ^{t}_{q,x}(S)-\frac{(4t-4)k+4\delta }{q}$. 
  \end{itemize}
\end{lem}
L'assertion $a)$ du lemme résulte du $a)$ du lemme~\ref{76} : comme $S\RR
T$ la différence symétrique de $S$ et $T$ est incluse dans le support
de $\psi _{S,x}$, donc a fortiori dans $\bigcup _{r\in
  I(d(x,U_S))}Y_{S,x,r}$. Montrons l'assertion $b)$. D'après le
corollaire~\ref{79b}, si $\psi_{S,x}\neq \psi_{T,x}$, il existe $a\in S-T$
tel que $d(x,a)>d(x,U_S)+(4t-2)k+6\delta $. D'où 
\begin{eqnarray}
  \frac{1}{q}\bigg(\sum_{a\in T}\max \Big (d(x,U_T),d(x,a)-(2k+2\delta
  )\Big)+(q-\#(T))d(x,U_T)\bigg)   \nonumber \\ \leq
 \frac{1}{q}\bigg(\sum _{a\in
  T}\max\Big(d(x,U_S),d(x,a)-(2k+2\delta )\Big)+(q-\#(T))d(x,U_S)\bigg)
\nonumber \\ \leq \zeta
  ^{t}_{q,x}(S)-\frac{(4t-4)k+4\delta }{q}. \nonumber 
\end{eqnarray}
La preuve du lemme~\ref{geomcontract} est achevée. \cqfd

Démontrons maintenant le lemme~\ref{contract}.
Il résulte de 
l'assertion $b)$ du lemme~\ref{geomcontract} que, pour tout $p\in 
\{1,\dots ,q\}$ et pour tout $S\in \Delta _p^{N_t}$, on a 
  \begin{eqnarray}
\partial _{p-1}(e_S)\in \Bigl(\bigoplus _{T\text{ tel que }
   \psi_{S,x}=\psi_{T,x} }\C e_T\Bigr) 
+ \Bigl(\bigoplus _{T\text{ tel que }\zeta
  ^{t}_{q,x}(T)\leq  \zeta ^{t}_{q,x}(S)-\frac{(4t-4)k+4\delta
    }{q}}\C e_T\Bigr) . \nonumber    
  \end{eqnarray}
D'où, grâce à l'assertion $a)$ du lemme~\ref{geomcontract}, 
\begin{eqnarray}
h^t_{p-1}(\partial
_{p-1}(e_S))=\psi_{S,x}\wedge (\partial_{p-1}(e_S))\text{ modulo } \bigoplus 
_{T\text{ tel que }\zeta
  ^{t}_{q,x}(T)\leq  \zeta ^{t}_{q,x}(S)-\frac{(4t-4)k+4\delta
    }{q}}\C e_T . \nonumber 
\end{eqnarray}
Le lemme~\ref{contract} est démontré puisque $\s{(\dots
,1,1,\dots ),\psi_{S,x}}=1$.\cqfd

Or $h^t_p:L^{N_t}_p\vers L^{N_t}_{p+1}$ est de norme inférieure ou égale à $1$
et $\del_p:L^{N_t}_{p+1}\vers L^{N_t}_p$ est de norme inférieure ou égale à
$p+1$, si on munit les espaces $L^{N_t}_p$ de la norme $l^1$. Par suite, si
on met sur $E^t_{p,w}$ la norme équivalente obtenue en rempla\c cant
$d_{moy}(x,S)$ par $\zeta ^{t}_{q,x}(S)$, pour tout $p\in
\{0,...,q\}$, $(\mathrm{Id}-\partial _ph^t_p-h^t_{p-1}\partial _{p-1})\in \L(E_{p,w}^t)$ 
est de norme inférieure ou égale à
 $(2q+2)\exp(-w\frac{(4t-4)k+4\delta }{q})$. 
La proposition~\ref{rayonspectraltqcque} est démontrée. \cqfd

Nous établissons un résultat algébrique qui est intéressant en soi.

\begin{prop}\label{homotopiealgebrique}
Soit $t\in [1,+\infty[$. L'application linéaire
$\del h^t+h^t \del:\hat L^{N_t}\vers \hat L^{N_t}$ est inversible et,
si on note $H^t=h^t(\del 
h^t+h^t \del)^{-1}$, on a $(H^t)^2=0$ et $\del
H^t+H^t\del=\mathrm{Id}_{\hat L^{N_t}}$.  
\end{prop}

Il
résulte du lemme~\ref{contract}, appliqué à $q=p_{\mathrm{max}}^{N_t}$, que 
$\del h^t+h^t \del:\hat L^{N_t}\vers \hat L^{N_t}$ est inversible. 
Comme $(h^t)^2=0$, on a $h^t(\del h^t+h^t \del)=h^t\del h^t=(\del
h^t+h^t \del)h^t$. D'où $H^t=h^t(\del
h^t+h^t \del)^{-1}=(\del
h^t+h^t \del)^{-1}h^t$. Par le même argument, en utilisant que $\del ^2=0$, on
montre que $\del$ commute à $(\del
h^t+h^t \del)^{-1}$. On a 
$(H^t)^2=(\del
h^t+h^t \del)^{-1}h^th^t(\del
h^t+h^t \del)^{-1}=0$, puisque $(h^t)^2=0$. Enfin
$\del H^t+H^t\del=\del h^t(\del
h^t+h^t \del)^{-1}+(\del
h^t+h^t \del)^{-1} h^t\del=\mathrm{Id}_{\hat L^{N_t}}$ car $\del $ et
$h^t$ commutent à  $(\del h^t+h^t \del)^{-1}$.\cqfd
 
Il résulte de la proposition~\ref{rayonspectraltqcque} que 
$H^t_p$ est bien défini dans $\L(E_{p,w}^t,E_{p+1,w}^t)$ dès que 
$p\leq q$, avec $(2q+2)\exp(-w\frac{(4t-4)k+4\delta }{q})<1$. 

\subsection{Démonstration de la proposition~\ref{homotopiepourdel}}

Lorsque $p\in \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}\}$ et $f=\sum _{S\in \Delta _p} 
f(S)e_S \in L_p^N$, on
pose $\mathrm{supp}(f)=\bigcup _{f(S)\neq 0}S$. 
\begin{lem}\label{remplissage}
Pour tout $R\in \R_+^*$, il existe $R'\in \R_+^*$, et 
une constante $C\in \R_+$, tels que
pour tout $p\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}\}$, il existe une application
(non nécessairement linéaire) $G$-équivariante 
$\Phi _p: \{f\in L_p^N, 
\partial_{p-1}(f)=0,\mathrm{diam}(\mathrm{supp}(f))\leq R\}\vers
L_{p+1}^N$ avec, pour 
tout $f$ dans l'ensemble de départ de $\Phi_p$, 
\begin{itemize}
\item $\partial _p(\Phi_p(f))=f$, 
\item le diamètre de $\mathrm{supp}(f)\cup \mathrm{supp}(\Phi_p(f))$
  est inférieur ou égal à 
  $R'$, 
\item $\|\Phi_p(f)\|_{l^1}\leq C\|f\|_{l^1}$.  
\end{itemize}
  \end{lem}
En effet, on pose $\Phi_p(f)=\frac{1}{\#(\mathrm{supp}(f))}\sum_{z\in
  \mathrm{supp}(f)}H^{1}_{p,z}(f)$  où $z$ dans $H^{1}_{p,z}$ indique
que l'on remplace $x$ par $z$ dans la construction de $H$ à la
proposition~\ref{homotopiealgebrique}. \cqfd

On rappelle que $N=N_1$ et $p_\max=p_{\max}^N$. 
\begin{lem}\label{reduction}
  Pour tout $N'\in [N,+\infty[$, il existe une famille d'applications
  linéaires $(\Psi _p:L_p^{N'}\vers L_p^N)_{p\in \{0,\dots
  ,p_{\mathrm{max}}\}}$, de sorte que, en posant $\Psi _p=0$ pour
  $p>p_{\mathrm{max}}$, les conditions suivantes soient réalisées :
  \begin{itemize}
  \item $\Psi _p$ est $G$-équivariant pour tout $p$,
  \item $\partial_{p-1}\circ \Psi_p=\Psi_{p-1}\circ \partial _{p-1}$ pour
    tout $p\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}\}$, et $\Psi_{p_\max}\circ
  \del_{p_\max} =0$,
  \item $\Psi _p$ est borné en norme $l^1$ pour tout $p$, 
  \item pour tout $p$, $\sup_{S\in \Delta _p^{N'}}
  \mathrm{diam}(\mathrm{supp}(\Psi 
      _p(e_S))\cup S)$ est fini,
  \item en notant $i_p:L_p^N\vers L_p^{N'}$ l'inclusion évidente, on a
    $\Psi _p\circ i_p=\mathrm{Id}_{L_p^N}$ pour tout $p\in \{0,\dots
  ,p_{\mathrm{max}}\}$. 
 \end{itemize}
\end{lem}
Démontrons le lemme~\ref{reduction}. 
On pose $\Psi_0=\mathrm{Id}$ et $\Psi_1=\mathrm{Id}$. 
Ensuite, on construit $\Psi _p$ par
récurrence sur $p$ : si $\Psi_{p-1}$ est construit, et la constante
$R$ choisie de fa\c con adéquate, et $\Phi _{p-1}$ l'application
associée à $R$ par le lemme~\ref{remplissage}, pour $S\in \Delta
_p^{N'}$ on pose $\Psi _p(e_S)=e_S$ si $\mathrm{diam}(S)\leq N$ et sinon
$\Psi _p(e_S)=\Phi_{p-1}(\Psi _{p-1}(\partial_{p-1}(e_S)))$. Ceci a
un sens, car $\partial _{p-2}(\Psi _{p-1}(\partial _{p-1}(e_S)))=
\Psi _{p-2}(\partial _{p-2}(\partial _{p-1}(e_S)))=0$. Par construction,
$\Psi _p$ est  $G$-équivariant car $\Psi _{p-1}$ est  
$G$-équivariant. D'après la proposition~\ref{homotopiealgebrique}, 
$\del_{p_\max-1}:L^N_{p_\max}\to L^N_{p_\max-1}$ est injective, et la
relation $\partial_{p_\max-1}\circ \Psi_{p_\max}=\Psi_{p_\max-1}\circ
\partial _{p_\max-1}$ implique $\Psi_{p_\max}\circ
  \del_{p_\max} =0$. \cqfd

Démontrons maintenant la proposition~\ref{homotopiepourdel}. 
Fixons $t$ tel que $$(2p_{\mathrm{max}}+2)\exp(-s\frac{(4t-4)k+4\delta
  }{p_{\mathrm{max}}})<1.$$ Appliquons le lemme~\ref{reduction} à $N'=N_t$. 
Pour tout $p\in \{0,\dots
 ,p_{\mathrm{max}}-1\}$, posons $K_p=
\Psi_{p+1}H^t_p i_p :L_p^N\vers L_{p+1}^N$. Il résulte de la 
proposition~\ref{rayonspectraltqcque} 
 appliquée à $q=p_{\mathrm{max}}$ et de l'hypothèse faite sur $t$ 
 que, pour tout $p\in \{0,\dots
 ,p_{\mathrm{max}}\} $,
$(\mathrm{Id}-\partial _ph^t_p-h^t_{p-1}\partial _{p-1})\in \L(E_{p,s}^t)$ est
de rayon spectral strictement inférieur à $1$. Il est
 important de remarquer que $p_{\mathrm{max}}<p_{\mathrm{max}}^{N_t}$ en
 général.  Par
 conséquent 
$(\partial _ph^t_p+h^t_{p-1}\partial _{p-1})^{-1} \in \L(E_{p,s}^t)$ 
est bien défini pour tout $p\in \{0,\dots
 ,p_{\mathrm{max}}\}$. Donc $H^t_p\in \L(E_{p,s}^t,
 E_{p+1,s}^t)$ et $K_p\in \L(E_{p,s},
 E_{p+1,s})$ sont bien définis  pour tout $p\in \{0,\dots
 ,p_{\mathrm{max}}-1\}$. 
On sait que, pour tout $p\in \{0,\dots 
 ,p_{\mathrm{max}}\} $, $g\mapsto g(h^t_p)-h^t_p$ est une application
 continue de $G$ dans 
 $\K(E_{p,s}^t,E_{p+1,s}^t)$. Donc
 $g\mapsto g((\partial _ph^t_p+h^t_{p-1}\partial
 _{p-1})^{-1})-(\partial _ph^t_p+h^t_{p-1}\partial
 _{p-1})^{-1}$ est une application
 continue de $G$ dans 
 $\K(E_{p,s}^t)$, pour tout $p\in
 \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}\}$. Donc, pour tout $p\in
 \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}-1\}$, $g\mapsto g(H^t_p)-H^t_p$ est une
 application 
 continue de $G$ dans 
 $\K(E_{p,s}^t,E_{p+1,s}^t)$,
 et $g\mapsto g(K_p)-K_p $ est une application
 continue de $G$ dans 
$\K(E_{p,s},E_{p+1,s})$, puisque $\Psi_{p+1}$ et $i_p$ sont
 exactement $G $-équivariants. Enfin,  pour tout $p\in \{0,\dots 
 ,p_{\mathrm{max}}\} $, 
\begin{eqnarray*}\partial _pK_p
 +K_{p-1}\partial _{p-1}=\partial _p \Psi 
 _{p+1}H^t_pi_p+\Psi_pH^t_{p-1}i_{p-1}\partial _{p-1} \\
=\Psi_p(\partial 
 _pH^t_p+H^t_{p-1}\partial_{p-1})i_p=\Psi_pi_p=\mathrm{Id}_{E_{p,s}}.
\end{eqnarray*}
On pose maintenant $J=K \del K\in \L(\hat E_s)$. On a vu que 
$K$ est de degré $1$ et vérifie $K\del+\del K=\mathrm{Id}_{\hat E_s}$, et
que 
$g\mapsto g(K)-K$ est une application
 continue de $G$ dans $\K(\hat E_s)$. Un calcul analogue à celui de la
preuve du lemme~\ref{exactd'uncote} montre que $J$ convient~: comme $\del
^2=0$, $(K\del)^2=(K\del)( K\del+\del K)=K\del$ et 
$(\del K)^2=( K\del+\del K)(\del K)=\del K$. D'où $\del K^2\del
=0$. On en déduit que $J^2=K\del K^2\del K=0$ et 
$\del J+J\del=(K\del)^2+(\del K)^2=K\del+\del K=\mathrm{Id}_{E_s}$. \cqfd




\chapter{Homotopie entre $\gamma$ et $1$ pour les groupes agissant
proprement sur des variétés de courbure négative ou nulle}

Soient $G$ un groupe localement compact, et $X$ une variété
riemannienne complète simplement connexe, de courbure sectionnelle négative ou
nulle et bornée inférieurement, munie d'une action de $G$ continue
isométrique et propre.   
On note $C_{\tau}(X)$ l'algèbre des
sections continues tendant vers $0$ à l'infini du fibré en algèbres de
Clifford associé à l'espace cotangent complexifié de
$X$ (voir~\cite{kaspnov} 4.1). Kasparov construit  un élément de
Dirac $[d]\in KK_G(C_{\tau}(X),\C)$ et un élément dual-Dirac $\eta
\in KK_G(\C,C_{\tau}(X))$, et il note $\gamma =\eta \otimes _{C_{\tau}(X)}
[d]\in KK_G(\C,\C)$ leur produit (voir~\cite{kaspnov} 4.2, 5.1 et 5.4).

Supposons que la dérivée de la courbure de $X$  est
bornée (on considère la courbure comme une section de 
$\Lambda^2T^*X\otimes \mathrm{End}(TX)$, et on la dérive suivant la connexion
induite de la connexion de Levi-Civita sur le fibré tangent à $X$).  
Nous montrons le résultat suivant : il existe une longueur $\ell$ sur $G$
telle que, pour tout $ s\in \R_+^*$,
$\gamma $ et $1$ aient même image dans $KK_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. 

Il est important de noter que, lorsque $X/G$ est compact, la courbure
et sa dérivée sont automatiquement bornées et la
proposition~\ref{existenceKloc}, qui affirme l'existence d'une
parametrix locale $G$-équivariante pour l'opérateur de de Rham,  est triviale. 



Je remercie Alain Connes et Georges Skandalis pour m'avoir expliqué
comment on peut 
réaliser l'élément $\gamma $ de Kasparov en conjuguant le complexe de
de Rham sur $G/K$ par $e^{-\rho^2}$, où $\rho$ désigne la distance à
l'origine. Pour des raisons techniques nous 
conjuguons en fait  le complexe de de Rham par
$e^{-t\sqrt{\rho^2+1}}$, pour $t$ assez grand.
 Une autre réalisation
de l'élément $\gamma$ intervient alors, et j'ai profité
d'une discussion avec Guennadi Kasparov à ce sujet. 

La première démonstration de l'homotopie utilisait des normes de
Sobolev. C'est Pierre Pansu qui m'a suggéré les normes
beaucoup plus simples que nous allons utiliser dans ce chapitre. 

\section{Rappels sur l'élément $\gamma $}\label{gamma}
 
Soient $G$ un groupe localement compact, et $X$ une variété
riemannienne complète simplement connexe, de courbure négative ou
nulle  et bornée inférieurement, munie d'une action de $G$ continue
isométrique et propre.   
On va donner une réalisation
explicite de l'élément $\gamma $.  
 
Pour $x,y\in X$ on note $d(x,y)$ la
distance géodésique de $x$ à $y$. Dans toute la suite, on fixe  un
point $x_0$ dans $X$ et pour  
tout $y\in X$ on pose $\rho(y)=d(x_0,y)$. 

On considère l'espace de Hilbert $L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X))$ des
formes complexes $L^2$ sur $X$, gradué par le degré des formes modulo
$2$. Pour tout champ $\theta$ de $1$-formes sur $X$, on note $\lambda
_{\theta}$ la multiplication extérieure (à gauche) par $\theta $ sur les
formes à support compact, et $\lambda
_{\theta}^*$ l'opérateur de contraction formellement adjoint de $\lambda
_{\theta}$.  D'autre part, on note $d$ la différentielle extérieure sur
les formes $C^{\infty}$ à support compact, $d^*$ son adjoint formel et
$\triangle=dd^*+d^*d=(d+d^*)^2$ le laplacien. 
Enfin on note $\rho '=\sqrt{\rho ^2+1}$ et $\xi 
=d(\rho ')$. 

Nous rappelons que $[d]\in KK_G(C_{\tau}(X),\C)$ est représenté par
$$(L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)),(d+d^*)(1+\triangle)^{-\frac{1}{2}}),$$ et 
$\eta
\in KK_G(\C,C_{\tau}(X))$ par $(C_{\tau}(X),\xi)$, en notant par abus
$\xi$ la multiplication de Clifford associée à $\xi$ 
(voir~\cite{kaspnov}, 4.2 et 5.3). 

Nous remarquons  que $e^{-t\rho '}d e^{t\rho '}=d+t\lambda _{\xi}$.
Posons $\D _t=d+d^*+t(\lambda _{\xi}+\lambda _{\xi}^*)$ pour tout
$t\in \R_+$. L'opérateur $\D _t$ est formellement auto-adjoint et,
comme il est de degré $1$, il est essentiellement auto-adjoint sur  
$L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X))$. 
Le supercommutateur $A=[d+d^*,  \lambda _{\xi}+\lambda
_{\xi}^*]$ est un opérateur différentiel de degré $0$, et un opérateur
borné sur $L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X))$, du fait que la courbure
sectionnelle de $X$ est négative ou nulle et bornée inférieurement. On
note $\|A\|$ la 
norme de $A$ sur $L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X))$. 
\begin{lem}\label{lemmegamma}
  Pour tout $t\in ]\|A\|,+\infty[$, $\mathrm{Ker}
  \D _t$ est de dimension finie et, si on note $p_{\mathrm{Ker} \D _t} $ le
  projecteur orthogonal sur $\mathrm{Ker} 
  \D _t$, l'opérateur $\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}$ est inversible
  d'inverse borné. Autrement dit, $0$ est isolé dans le spectre de
  $\D _t$ et de multiplicité finie.   
\end{lem}
En effet $\D_t^2=\triangle +
t^2\|\xi\|^2 +tA$. D'après~\cite{wolf}, $\triangle$ est essentiellement
auto-adjoint 
et comme $t^2\|\xi\|^2 +tA$ est borné auto-adjoint, $\D_t^2$ est
essentiellement auto-adjoint et le domaine de $\D_t^2$ est égal au
domaine de $\triangle$. Comme $\|\xi\|^2$ tend vers $1$ à l'infini, 
 pour tout $t>\|A\|$, il existe $\epsilon >0$
et une fonction $f$ à support compact sur $X$, tels que l'on ait
$\D_t^2\geq \triangle +\epsilon -f$, où $f$ désigne l'opérateur de
multiplication par $f$. Or 
 $(\epsilon +\triangle)^{-\frac{1}{2}}f(\epsilon
+\triangle)^{-\frac{1}{2}}$ est compact. En effet, $(\epsilon
+\triangle)^{-\frac{1}{2}}$ est continu de $ L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X))$
vers  l'espace  des fonctions dont la restriction à un certain voisinage
compact du support de $f$ appartient à $H^1$, $f$ est compact de cet
espace vers $ L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X))$, et  $(\epsilon
+\triangle)^{-\frac{1}{2}}$ est continu de $ L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X))$
dans lui-même.  \cqfd

\begin{prop}\label{propgamma}
Soit $\chi :\R\to \R$ la fonction valant $1$ sur $\R_+^*$, $-1$ sur
$\R_-^*$, et $0$ en $0$. 
Pour tout $t\in ]\|A\|,+\infty[$, $\chi$ est continue sur le spectre
de $\D _t$, on a $\chi(\D _t)=\D_t(\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
_t})^{-\frac{1}{2}}$,  l'élément 
$$(L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)),\chi(\D _t))$$ 
appartient à 
$E_G(\C,\C)$, et la classe de cet 
élément dans $KK_G(\C,\C)$ est  égale à $\gamma $. 
\end{prop}
Pour $t\in ]\|A\|,+\infty[$, par le lemme~\ref{lemmegamma},  $\chi$
est continue sur le spectre de $\D _t$  
 et l'opérateur $F_t=\chi(\D _t)$
est bien défini. Comme $F_t^2-1$ est de rang fini, 
pour s'assurer que $(L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)),F_t)$ 
appartient à $E_G(\C,\C)$, on doit
montrer que $(g\mapsto g(F_t)-F_t)$ est une application continue de $G$
dans $\K(L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)))$. 
Pour cela, on utilise le lemme suivant, qui m'a été suggéré par Georges
Skandalis. 
\begin{lem}\label{baaj-julg}
Soit $f:\R\to\R$ définie par $f(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$. Soit $H$
un espace de Hilbert, $D$ un opérateur auto-adjoint non-borné sur $H$,
$T$ un espace topologique compact, $\pi:T\to \L(H)$ une application
continue pour la topologie forte. On suppose que $[D,\pi(x)]$ est borné
pour tout $x\in T$, avec $\sup_{x\in T}\|[D,\pi(x)]\|_{\L(H)}<+\infty$,
et que $[D,\pi(x)](D+i)^{-1}$ est compact pour tout 
$x\in T$ et dépend continûment de $x$ pour la topologie normique sur
$\K(H)$. Alors $[f(D),\pi(x)]$  est compact pour tout $x\in T$, et dépend
continûment  de $x$ pour la topologie normique sur
$\K(H)$.
\end{lem}
Ce lemme résulte de la formule donnée par Baaj et Julg dans \cite{baajjulg},
et reprise par Kasparov dans \cite{kaspnov}, 4.2. 
Cette formule est $$f(D)=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty
D(1+D^2+\lambda^2)^{-1}d\lambda.$$ 
Un calcul facile montre alors 
$$[f(D),\pi(x)]=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty 
(1+D^2+\lambda^2)^{-1}\big((1+\lambda^2)[D,\pi(x)]-D[D,\pi(x)]D\big)
(1+D^2+\lambda^2)^{-1}d\lambda.$$
L'intégrale converge uniformément en norme d'opérateur, et de fa\c con
normale quand $x$ parcourt $T$. De plus l'intégrant est un opérateur
compact qui dépend continûment de $(x,\lambda)\in T\times
\R_+$ pour la topologie normique.  \cqfd

% On a ainsi $F_t=\frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \D_t (\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
%  _t})^{-1} d\lambda$, où l'intégrale converge au sens de la topologie
%forte. D'où 
%\begin{eqnarray*}
%g(F_t)-F_t=\frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
%  _t}\big)^{-1} \\
%\Big(\lambda ^2(g(\D_t)-\D_t)+\D_t(\D_t-g(\D_t))g(\D_t) +p_{\mathrm{Ker} \D
%  _t}g(\D_t)-
%\D_t g(p_{\mathrm{Ker} \D
%  _t})\Big) \\ 
%\big(\lambda^2+g(\D _t^2)+g(p_{\mathrm{Ker} \D_t})\big)^{-1}d\lambda. 
%\end{eqnarray*}
%La dernière intégrale converge non seulement au sens de la topologie
%forte mais aussi en norme d'opérateur car, si $\epsilon>0$ est tel que
%$\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
%  _t}\geq \epsilon \mathrm{Id}$ on a 
%\begin{eqnarray}\label{convnormale}
%\|(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
%  _t}\big)^{-1}\|\leq (\lambda^2+\epsilon)^{-1} \nonumber \\ \text{ et } 
%\|\D_t(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
%  _t}\big)^{-1}\|\leq
%  (\lambda^2+\epsilon)^{-\frac{1}{2}}\end{eqnarray}
 %et $g(\D_t)-\D_t$ est borné uniformément en $g$ lorsque $g$ parcourt un
%compact de $G$. Plus précisément $g(\D_t)-\D_t=g(\lambda
%_{\xi}+\lambda _{\xi}^*)-(\lambda _{\xi}+\lambda _{\xi}^*) $ et
%d'après le lemme 5.3 de~\cite{kaspnov} $g(\lambda
%_{\xi}+\lambda _{\xi}^*)-(\lambda _{\xi}+\lambda _{\xi}^*) $ est une
%section de $\mathrm{End}(\Lambda ^*(T_{\C}^*X))$ tendant vers $0$ à
%l'infini, uniformément en $g$ lorsque $g$ parcourt un
%compact de $G$ et par suite $\big(g(\D_t)-\D_t\big)\big(\lambda^2+g(\D
%  _t^2)+g(p_{\mathrm{Ker} 
%  \D_t})\big)^{-1}$ et
%  $\big(\D_t-g(\D_t)\big)g(\D_t)\big(\lambda^2+g(\D _t^2)+g(p_{\mathrm{Ker} 
%  \D_t})\big)^{-1}$ sont des opérateurs compacts dépendant
%  continûment de $g$ et de $t$. Donc $g(F_t)-F_t$ est une intégrale,
%  convergeant pour la 
%norme d'opérateur de fa\c con  uniforme en $g$ lorsque $g$ parcourt un
%compact de $G$, d'opérateurs compacts dépendant continûment de $g$.
 Par le lemme $g\mapsto g(F_t)-F_t$ est une application continue de $G$ dans
$\K(L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)))$. En effet
$F_t=\chi(\D_t)=\chi(f(\D_t))$. 


Montrons enfin que $
(L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)),F_t)$ représente  $\gamma$. 
Pour cela nous devons vérifier les conditions a), b) et c) de la
définition 2.10 de~\cite{kaspnov}, puisque $\gamma $ est défini comme
le produit de $[d]$ et $\eta$. Nous savons dejà que $
(L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)),F_t)$ appartient à $E_G(\C,\C)$ et la
condition b) est vérifiée puisque $F_t$ est une connexion pour
$(d+d^*)(1+\triangle)^{-\frac{1}{2}}$ du fait que $F_t$ est aussi un
opérateur pseudo-différentiel d'ordre $0$ et possède le même symbole
principal. De fa\c con rigoureuse, on applique le lemme précédent à 
$H=L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X))^2$, 
$D=\begin{pmatrix}\D_t & 0 \\ 
0 & d+d^*\end{pmatrix}$, $T$ un point,  d'image $\begin{pmatrix}0 & s \\
0 & 0\end{pmatrix}$, avec $s\in C_\tau(X)$, de classe $C^\infty$, à
support compact. On remarque que si $s\in
C_\tau(X)$, $(\chi(f(\D_t))- f(\D_t))s$ appartient à $\K(H)$, car 
$$\frac{\D_t}{\D_t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}+\lambda^2}-
\frac{\D_t}{\D_t^2+1+\lambda^2}=  
(\D_t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
_t}+\lambda^2)^{-1}\D_t(\D_t^2+1+\lambda^2)^{-1}$$ et 
\begin{eqnarray}\label{intchi}  
\chi(f(\D_t))=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty 
\frac{\D_t}{\D_t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}+\lambda^2}d\lambda \text{ et
}f(\D_t)=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty 
\frac{\D_t}{\D_t^2+1+\lambda^2}d\lambda.\end{eqnarray}  

Il reste la condition c). Nous devons montrer que le supercommutateur 
$[F_t,\lambda _{\xi}+\lambda
_{\xi}^*]$ est positif modulo les opérateurs compacts. On note
$c=\lambda _{\xi}+\lambda _{\xi}^*$. En utilisant la
première formule de~(\ref{intchi}),  on obtient 
\begin{eqnarray*}
  [F_t,\lambda _{\xi}+\lambda
_{\xi}^*]=\frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
  _t}\big)^{-1} \\ 
\Big(\lambda ^2[c,\D_t]+\D_t[c,\D_t]\D_t+p_{\mathrm{Ker} \D_t}c\D_t+\D_tc
p_{\mathrm{Ker} \D_t}\Big) \\ 
\big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
  _t}\big)^{-1}d\lambda.  
\end{eqnarray*}
 Comme $t>\|A\|$ et comme $\|\xi\|$ tend vers
$1$ à l'infini, $[c,\D_t]= A+2t\|\xi\|^2$ s'écrit $[c,\D_t]=P+f$ où $P$
est un opérateur positif et $f$ désigne la multiplication par une
fonction $f$ à support compact sur $X$. D'une part $$
\int_0^{\infty} \big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
  _t}\big)^{-1} \\ 
\Big(\lambda ^2P+\D_tP\D_t\Big) \\ 
\big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
  _t}\big)^{-1}d\lambda$$ est une intégrale d'opérateurs positifs,
  donc est un opérateur positif. D'autre part, pour toute fonction $f$ sur
$X$ à support compact, $f(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
  _t})^{-1}$ et $f\D _t(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
  _t})^{-1}$ sont compacts, et par suite 
$$ \int_0^{\infty} \big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
  _t}\big)^{-1} \\ 
\Big(\lambda ^2f+\D_tf\D_t+p_{\mathrm{Ker} \D_t}c\D_t+\D_tc
p_{\mathrm{Ker} \D_t}\Big) \\ 
\big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D
  _t}\big)^{-1}d\lambda$$
est une intégrale, convergeant en norme d'opérateurs, d'opérateurs
compacts, donc est un opérateur compact. \cqfd


\section{Enoncé du résultat}

On suppose que  le tenseur de courbure, ainsi que sa dérivée (suivant
la connexion provenant de la connexion de Levi-Civita sur le fibré
tangent à $X$), sont bornés. 




Pour tout $g\in G$, on note $\ell(g)=\rho(gx_0)=d(x_0,gx_0)$. Il est immédiat
que la fonction $\ell:G\vers \R_+$ est continue et vérifie $\ell(g_1g_2)\leq
\ell(g_1)+\ell(g_2)$ quels que soient $g_1,g_2\in G$. 
\begin{thm}\label{enoncelie6}
  Pour tout $s \in \R_+^*$, $\gamma $ et $1$ ont même image dans
  $KK^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$. 
\end{thm}

\section{Idée et constructions préliminaires}


Pour réaliser une homotopie entre $1$ et $\gamma$ dans
$KK^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$, le plus dur est de partir de $1$, et c'est
ce que nous allons faire en premier. Pour cela nous avons besoin d'une
résolution de la représentation triviale de $G$, et nous choisissons
 la résolution par le complexe de de Rham (sans support) sur $X$, dont
la cohomologie est égale à $\C$ en degré $0$, et nulle dans les autres
degrés, puisque $X$ est contractile. 

Notons $n$ la dimension de $X$. 
D'après le lemme de Poincaré, le complexe de de Rham 
$$\C\vad{1}C^{\infty}(X,\C)\vad{d}\dots C^{\infty}(X,\Lambda
^n(T_{\C}^*X))$$ 
est exact. Pour construire une homotopie, on adopte la formule
traditionnelle. Soit $u\in
X$. Pour $f\in C^{\infty}(X)$,  
on pose $I_{u}(f)=f(u)$. Pour
tout $t\in [0,1]$, on note  $\Phi_{u,t}:X\vers X$ la contraction de rapport $t$
suivant les géodésiques issues de $u$, et pour tout $k\geq 1$, pour tout 
$\omega \in C^{\infty}(X,\Lambda ^k(T_{\C}^*X))$, on pose 
%$$I_{x}(\omega )(y)=\int _0^1 \frac{d\phi _{x,t}(y)}{dt} \lrcorner
%\omega(\phi 
%_{x,t}(y)) dt.$$ 
$$I_{u}(\omega )=\int _0^1 
\Phi _{u,t}^*\Big(\big(\frac{d\Phi _{u,t}}{dt}\circ\Phi
_{u,t}^{-1}\big)  \lrcorner 
\omega\Big)dt.$$ 
 D'autre part, on note $e_u$ le champ de
vecteurs radial de norme $1$ de centre $u$, de sorte que 
$\frac{d\Phi_{u,t}}{dt}(x)=d(u,x)e_u(\Phi_{u,t}(x))$. 
Avec cette notation, on peut réecrire $I_u$ sous la forme 
$$I_u(\omega)(x)=d(u,x)\int_0^1 D\Phi_{u,t}(x)^*((e_u\lrcorner
\omega)(\Phi_{u,t}(x)))dt.$$
On pose $I=I_{x_0}$. Il est clair que $Id+dI=\mathrm{Id}$. 

Pour obtenir un cycle en KK-théorie, on veut utiliser le complexe de
de Rham, considéré comme complexe $\Z/2\Z$-gradué, avec pour opérateur
$d+I$, mais il est nécessaire de remplacer les espaces de fonctions
$C^{\infty}$ par des espaces de Banach. Pour éviter l'obstacle de la
propriété (T),  nous utilisons non pas des espaces $L^2$, mais 
des espaces $L^p$, 
avec $p$ proche de l'infini. Pour que $d$ soit continu, nous rempla\c
cons la norme $L^p$ par la norme du graphe de $d$ de $L^p$ dans
$L^p$. Enfin, pour des raisons techniques (en fait pour
que $I$ soit continu), nous considérons plutôt des espaces $L^p$ avec
une petite croissance exponentielle, et c'est pourquoi l'homotopie a
lieu dans $KK^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$ et non pas dans
$KK^{\ban}_{G}(\C,\C)$. Enfin on doit remplacer $I$ par un opérateur
plus compliqué. 

\begin{defi} 
Soient $p\in [1,+\infty]$, $s\in \R$, et $E$ un fibré hermitien
sur $X$. On note $L^p_s(E)$ l'espace des sections localement
intégrables $\omega $ de $E$ telles que $x\mapsto e^{-s\rho(x)}\|\omega
(x)\|_E$ soit $L^p$, muni de la norme  
$$\|\omega \|_{L^p_{s}(E)}=\Big \|x\mapsto e^{-s\rho(x)}\|\omega
(x)\|_E\Big \|_{L^p(X)}.$$ 



Soit de plus $k\in \{0,...,n\}$. On pose $L^p_{s,k}=L^p_s(\Lambda
^k(T_{\C}^*X))$. On note  $E^p_{s,k}$ le
complété de 
$C^{\infty}_c(X,\Lambda ^k(T_{\C}^*X))$ pour la norme 
$$\|\omega \|_{E^p_{s,k}}=\|\omega \|_{L^p_{s,k}}+\|d\omega
\|_{L^p_{s,k+1}}.$$

On pose $L^p_{s,-1}=\C$, et $E^p_{s,-1}=\C$. On pose 
$L^p_s=\bigoplus _{k=0}^n L^p_{s,k}$, et $\hat L^p_s=\bigoplus
_{k=-1}^n L^p_{s,k} =L^p_s \oplus \C$, ainsi que 
$E^p_s=\bigoplus _{k=0}^n E^p_{s,k}$ et $\hat E^p_s=\bigoplus
_{k=-1}^n E^p_{s,k} =E^p_s \oplus \C$. On munit
ces espaces de la $\Z/2\Z$-graduation donnée par $(k \mod 2)$. 
\end{defi}

Nous aurons besoin d'opérateurs de moyenne sur $L^p_s$. Soit $\tau\in
C^\infty_c(\R)$ une fonction positive, non nulle, de support inclus
dans $[0,1]$. Pour tout $\eta\in ]0,1]$, on définit
$M_\eta:L^p_s\to L^p_s$ par 
$$M_\eta(\omega)(x)=\frac{\int_X TP(\omega(y))\tau(d(x,y)/\eta)dy}{\int_X
\tau(d(x,y)/\eta)dy},$$
où $TP$ désigne le transport parallèle suivant la géodésique de $x$ à
$y$ dans le fibré $\Lambda^* T^*_\C X$, muni de la connexion déduite de la
connexion de Levi-Civita sur le fibré tangent à $X$. 
Il est immédiat que $M_\eta:L^p_s\to L^p_s$ est borné indépendamment
de $\eta\in ]0,1]$ et $p\in[1,+\infty]$, lorsque $s$ parcourt
un compact de  $\R_+$. Parfois, on prolongera $M_\eta $ en $M_\eta
:\hat L^p_s\to \hat L^p_s$ par $1:\C\to\C$. 




Dans la suite, nous utiliserons la notion très simple de propagation. 
Soient $E$ et $F$ deux fibrés vectoriels $C^\infty$ sur $X$, et soit $T:
C_c^\infty(X,E) \to C_c^\infty(X,F)$ une application linéaire
continue. On dit que $T$ est à propagation $\leq r$ si, pour tout
$\omega\in C_c^\infty(X,E)$, le support de $T(\omega)$ est inclus dans
la réunion des boules fermées de rayon $r$ centrées aux points du support de
$\omega$. 

On gradue $\Lambda^*T_{\C}^*X=\oplus_{k=0}^n \Lambda ^kT_{\C}^*X$ par
$k\in \Z$. 

\begin{prop}\label{existenceKloc}
 Pour tout $r>0$, et pour tout compact $K$ de $]1,+\infty[$, il existe  un
opérateur $G$-équivariant $K^{\loc}$, de $C^{\infty}_c(X, \Lambda
^*T_{\C}^*X)$  dans lui-même, de degré $-1$ pour la graduation de
$\Lambda^*T_{\C}^*X$, 
et une constante $C$, tels que, pour tout $p\in K$,  
\begin{itemize}
\item 
$K^\loc $ est un opérateur pseudo-différentiel d'ordre $-1$, à
propagation $\leq r$, 
\item $\|K^{\loc}\|_{\L(L^p(X, \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C$,
\item $K^{\loc}d+dK^{\loc}-\Id$ est donné par un noyau  $C^{\infty}$,
et $\|K^{\loc}d+dK^{\loc}-\Id\|_{\L(L^p(X, \Lambda
^*T_{\C}^*X))}\leq C$,
\item pour tout $\eta\in ]0,1]$, $\|(1-M_\eta)K^{\loc}\|_{\L(L^p(X,
\Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq
C\eta^{1/4}$, et $\|(1-M_\eta)(K^{\loc}d+dK^{\loc}-\Id)\|_{\L(L^p(X, 
\Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C\eta^{1/4}$. 
\end{itemize}
\end{prop}
Nous conseillons au lecteur de sauter la démonstration de cette
proposition, car le résultat est trivial lorsque $X/G$ est compact. 
Je remercie Jean-Benoît Bost et Georges Skandalis pour leurs remarques
concernant cette démonstration. 



L'hypothèse sur la dérivée de la courbure montre que, pour $R>0$ assez
petit, pour tout $x\in X$, la restriction de l'exponentielle $\exp_x$ à la
boule ouverte $B(R)$ de centre $0$ et 
de rayon $R$ dans $T_xX$ est un difféomorphisme de classe $C^2$ sur
son image $B(x,R)$, et que  ses dérivées, ainsi que celles de son inverse,
sont bornées indépendamment de $x$. On fixe un tel $R$, vérifiant de
plus $R\leq r/2$  (cela nous assure que l'opérateur $K^\loc$ que nous allons
construire sera à propagation $\leq r$). Nous commen\c cons par un
lemme. Dans ce lemme, on fixe $R>0$ comme ci-dessus, ainsi qu'un compact
$K$ de $]1,+\infty[$. 

\begin{lem}\label{existenceKxloc}
Il existe une famille, paramétrée par $X$, d'opérateurs
pseudo-différentiels d'ordre $-1$, 
$K^\loc_x:C^{\infty}_c(B(x,R/2), \Lambda 
^*T_{\C}^*X)\to C^{\infty}_c(B(x,R), \Lambda ^*T_{\C}^*X)$, de degré
$-1$ pour la graduation de $\Lambda ^*T_{\C}^*X$, 
et une constante $C$, indépendante de $x\in X$, telles que, pour tout
$p\in K$,  
\begin{itemize}
\item $\|K^{\loc}_x\|_{\L(L^p(B(x,R/2), \Lambda ^*T_{\C}^*X),
L^p(B(x,R), \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C$, 
\item $K^{\loc}_xd+dK^{\loc}_x-\Id$ est donné par un noyau  $C^{\infty}$,
et $\|K^{\loc}_xd+dK^{\loc}_x-\Id\|_{\L(L^p(B(x,R/2), \Lambda
^*T_{\C}^*X),L^p(B(x,R), \Lambda
^*T_{\C}^*X))}\leq C$, 
\item pour tout $\eta\in ]0,1]$, $\|(1-M_\eta)K^{\loc}_x\|_{\L(L^p(B(x,R/2),
\Lambda ^*T_{\C}^*X), L^p(X, \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq
C\eta^{1/4}$, et
$\|(1-M_\eta)(K^{\loc}_xd+dK^{\loc}_x-\Id)\|_{\L(L^p(B(x,R/2),  
\Lambda ^*T_{\C}^*X), L^p(X, \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C\eta^{1/4}$,
\item  pour $x\in X$ et $g\in G$, $K^\loc_{g(x)}=g(K^\loc_x)$,
\item pour $x,y\in X$, $K^\loc_x-K^\loc_y$ 
est régularisant sur $C^\infty_c(B(x,R/2)\cap B(y,R/2))$, et son
noyau dépend de fa\c con $C^\infty$ de $x$ et $y$.
\end{itemize}
\end{lem}

Pour démontrer ce lemme, nous aurons besoin d'un autre lemme, dans
lequel nous adoptons les notations de~\cite{taylor},
en particulier la définition II 1.2. On introduit une fonction 
$\xi\in C^\infty_c(\R^n)$, d'intégrale $1$, de support inclus dans la
boule $B(1)$ de rayon $1$ et de centre l'origine. On note
$E=\Lambda^*T_{\C}^*\R^n$, gradué par le 
degré. Pour tout $\alpha\in \R_+^*$, on introduit un opérateur de
moyenne $N_\alpha:C^\infty_c(\R^n,E)\to C^\infty_c(\R^n,E)$, qui
est égal à la convolution par la fonction $x\mapsto
\alpha^{-n}\xi(x/\alpha)$. 

\begin{lem}\label{estimationpseudo-1}
Soit $R>0$. Soit $\sigma\in C^\infty_c(B(3R/4))$ valant $1$ sur
$B(5R/8)$.  
Soit $K$ un compact de $]1,+\infty[$. Il existe une constante $C$
telle que l'affirmation suivante ait lieu. Soit $A$
un opérateur  pseudo-différentiel de $E$ dans lui-même, dans
$OPS^{-1}(B(R))$,  de degré $-1$  pour la graduation de $E$,    tel que 
 $Ad+dA-\Id$ soit régularisant. Alors il existe un opérateur
pseudo-différentiel $A'$ dans  $OPS^{-1}(B(R))$, de degré $-1$
pour la graduation de $E$,   tel que $A'-A$ soit
régularisant, et que, pour tout $p\in K$,  
\begin{itemize}
\item $\|\sigma A'\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq
C$,
\item $\|\sigma(A'd+dA'-\Id)\|_{ \L(L^p(B(R),E))}\leq C$, 
\item $\|(1-N_\alpha)\sigma A'\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq
C\sqrt \alpha$, pour $\alpha\leq R/4$, 
\item $\|(1-N_\alpha)\sigma(A'd+dA'-\Id)\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq
C\sqrt \alpha$, pour $\alpha\leq R/4$. 
\end{itemize}
De plus on peut prendre $A'$ de la forme $A(1-\chi(\epsilon
D))+J\chi(\epsilon D)$, où $\chi \in C^\infty_c(\R^n)$ vaut $1$ près de
$0$, $J$ est un opérateur de $ OPS^{-1}(B(R))$, de $E$ dans
lui-même, de degré $-1$ pour la graduation de $E$,  tel que
$Jd+dJ-\mathrm{Id}$ soit régularisant, et $\epsilon$ est assez petit. 
\end{lem}

\noindent \begin{bfseries} Démonstration du lemme~\ref{estimationpseudo-1}.
\end{bfseries}  
On commence par fixer un opérateur $J\in OPS^{-1}(B(R))$, de $E$ dans
lui-même, de degré $-1$ pour la graduation de $E$,  tel que
$Jd+dJ-\mathrm{Id}$ soit régularisant. Alors, 
$\sigma
J$ et $\sigma (Jd+dJ-\mathrm{Id})$ appartiennent à
$\L(L^p(B(R),E))$, et il existe une constante $C$ telle que 
  $\|(1-N_\alpha)\sigma J\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq
C \alpha$ et
$\|(1-N_\alpha)\sigma(Jd+dJ-\Id)\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq
C \alpha$, pour $\alpha\leq R/4$. 

  Soit $a(x,\xi): B(R)\times \R^n\to
\End^{-1}(E)$ dans $S^{-1}$  
tel que $A=a(x,D)$. On rappelle
 que l'opérateur $a(x,D)$ est défini par 
$a(x,D)u(x)=\int_{\R^n}e^{ix\xi}a(x,\xi)\hat u(\xi)d\xi$. Il
en résulte que $a(x,D)d+da(x,D)-\Id=b(x,D)$, où  $b\in S^{-\infty}$ est
donné par $b(x,\xi)=iL_\xi a(x,\xi)+ia(x,\xi)L_\xi+\sum_{i=1}^n
L_{e_i}\frac{\del a}{\del x_i}(x,\xi)-1$, où $L_\xi$ désigne le produit
extérieur par $\xi$. 
Soit $\chi\in C^\infty_c(\R^n)$ valant $1$ près de
$0$. Pour tout $\epsilon >0$, on pose
$a_{\epsilon}(x,\xi)=a(x,\xi)(1-\chi(\epsilon \xi))$. On a
$a_{\epsilon}(x,D)d+da_{\epsilon}(x,D)-\Id=b_{\epsilon}(x,D)-\chi(\epsilon
D)$, où
$b_{\epsilon}$ est donné par 
$b_{\epsilon}(x,\xi)=b(x,\xi)(1-\chi(\epsilon \xi))$. 
Comme $a\in S^{-1}$  et $b\in S^{-\infty}$, d'après le théorème XI 2.2
de~\cite{taylor}, 
$\|\sigma a_{\epsilon}(x,D)\|_{\L(L^p(B(R),E))}$ et $\|\sigma
 b_{\epsilon}(x,D)\|_{ \L(L^p(B(R),E))}$ sont bornés pour
 tout $p\in K$, et tendent vers $0$ quand $\epsilon$ tend vers $0$, de
 fa\c con uniforme en $p\in K$. De plus il existe une constante $C'$,
 dépendant de $A$, donc non contrôlée, telle que, pour tout $p\in K$,
  tout $\epsilon
 \in ]0,1]$, et tout $\alpha \leq R/4$,  
$\|(1-N_\alpha)\sigma a_\epsilon(x,D)\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq
C' \alpha$ et
$\|(1-N_\alpha)\sigma b_\epsilon(x,D)\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq
C' \alpha$. 

On pose alors
 $A'=a_\epsilon(x,D)+J\chi(\epsilon D)$, pour $\epsilon$ assez petit. \cqfd

\noindent \begin{bfseries} Démonstration du lemme~\ref{existenceKxloc}.
\end{bfseries}  
On applique le lemme~\ref{estimationpseudo-1} à $\sigma$, $\chi$ et
$J$ choisis indépendamment de $x\in X$ (et invariants par $O(n)$),  et
à n'importe quel 
opérateur $A$ (dépendant de manière $C^\infty$ de $x$) dont le symbole total
(c'est-à-dire l'opérateur modulo régularisants) est égal à l'image inverse  par
$\exp_x$ du symbole total de $d^*/\Delta$ sur $X$. Pour $x\in X$ et
$\eta\in ]0,1]$, on note $M^x_\eta$ l'image inverse par $\exp_x$ de
$M_\eta$ sur $X$. Alors
$\|(1-M_\eta^x)N_{\sqrt\eta}\|_{\L(L^p(B(R),E),L^p(\R^n,E))}\leq C\sqrt
\eta$, où la constante $C$ ne dépend ni de $\eta\in ]0,1]$ ni de $x\in
X$. On pose  
$\tilde K^\loc_x=\sigma 'A'$, où $A'$ est comme dans le lemme, et
désigne aussi par abus son image inverse par $\exp_x$, et où $\sigma
'\in C_c^\infty(B(5R/8))$ vaut $1$ sur $B(R/2)$ et est indépendant de
$x$ (et invariant par $O(n)$). Alors $\tilde K^\loc_x$ vérifie toutes les conditions du
lemme~\ref{existenceKxloc}, sauf que la condition d'équivariance
$K^\loc_{g(x)}=g(K^\loc_x)$ a lieu seulement modulo régularisants. En
effet on utilise :~$\sigma '=\sigma '\sigma$, et $[d,\sigma
 ']=[d,\sigma ']\sigma$. On définit alors $K^\loc_x$ à partir de
$\tilde K^\loc_x$ par une moyenne. Comme $G$ agit
proprement sur $X$, il existe $\theta\in C^\infty(X)$ telle que
l'application naturelle $\mathrm{Supp}(\theta)\to X/G$ est propre, et
que, pour tout $x\in X$, $\int_G\theta(gx)dg=1$. On pose 
$K^\loc_x=\int_G\theta(gx)g^{-1}(\tilde K^\loc_{g(x)})dg$. \cqfd


\noindent \begin{bfseries} Fin de la démonstration de la
proposition~\ref{existenceKloc}.  \end{bfseries}
On choisit $\chi\in C^\infty_c(\R)$ positive, valant $1$ au
voisinage de $0$, et nulle sur $[R/4,+\infty[$. On note 
$\tau_x(y)=\frac{\chi(d(x,y))}{\int_X \chi(d(z,y))dz}$. On pose
$K^\loc=\int_XK^\loc_x\tau_xdx$. Le lemme suivant montre que
$K^\loc$ satisfait à toutes les propriétés de la
proposition~\ref{existenceKloc}. \cqfd

\begin{lem}\label{boules}
    Soit   $r\in \R_+^*$, et soient $E$ et $F$ deux fibrés hermitiens sur
  $X$.  Il existe une
  constante $C$ telle que, pour tout $p\in [1,+\infty]$, 
l'assertion suivante soit vraie~: pour tout opérateur
  $T:C^{\infty}_c(X,E)\vers C^{\infty}_c(X,F)$ à propagation $\leq r$,
  tel  que pour tout $\omega\in C^{\infty}_c(X,E)$ vérifiant 
  $\mathrm{diam}\mathrm{supp}(\omega)\leq r$, on ait 
$\|T(\omega)\|_{L^p(X,F)} \leq    \|\omega\|_{L^p(X,E)}$, $T$ est 
  continu de norme inférieure ou égale à $C$ de $L^p(X,E)$ dans $L^p(X,F)$.
\end{lem}
\noindent 
\begin{bfseries}
Démonstration du lemme~\ref{boules}. 
\end{bfseries}
 Choisissons une famille $(x_i)_{i\in I}$ de points de $X$, telle que 
 $X=\cup_{i\in I}B(x_i,r/2)$ et qu'aucune sous-famille stricte de
$(x_i)_{i\in I}$ ne vérifie cette propriété. Soit $\chi\in
 C^\infty_c(\R)$, valant 
 $1$ sur $[0,r/2]$ et $0$ sur $[r,+\infty[$. Posons
 $\tau_i(x)=\frac{\chi(d(x,x_i))}{\sum_{j\in I}\chi(d(x,x_j))}$. Alors
 $\sum_{i\in I} \tau_i=1$ et donc $T=\sum_{i,j\in I}\tau_i T
 \tau_j$. On peut donc écrire $T$ comme la composée de l'application
 évidente (par restriction) de $L^p(X)$ dans $\oplus _{j\in
 I}L^p(B(x_j,r/2))$, de la matrice infinie d'opérateurs $(\tau_i T
 \tau_j)_{i,j\in I}$, et de l'application évidente de $\oplus _{i\in
 I}L^p(B(x_i,r/2))$ dans $L^p(X)$. 
Comme $X$ est à courbure sectionnelle négative ou nulle et bornée
inférieurement, on montre que le nombre de termes non-nuls dans chaque
 ligne et chaque colonne de cette matrice d'opérateurs est borné
 uniformément (cf~\cite{KS}, remarque 3.4). 
On conclut par un argument analogue à la preuve du
résultat classique suivant~: une matrice infinie telle que la somme
des modules des coefficients sur une ligne ou sur une colonne soit
bornée indépendamment de la ligne ou de la colonne agit de fa\c con
bornée sur $l^p$ pour tout $p\in [1,+\infty]$. \cqfd
\vskip 0.6cm
On définit $K^{\loc} :C^{\infty}(X)\to \C$ en la posant égale à $0$. 


On note $$J=K^{\loc}+I(\Id-dK^{\loc}-K^{\loc}d)$$
de $C^\infty(X,\Lambda ^kT^*X_{\C})$ vers $C^\infty(X,\Lambda
^{k-1}T^*X_{\C})$ pour $k\in\{1,...,n\}$, et de $C^\infty(X)$ dans
$\C$. Il est important de noter que $J$ dépend du choix d'un compact
$K$ de $]1,+\infty[$.  

On a $Jd+dJ=\Id$. 
\vskip 0.8cm
La fin de ce paragraphe est consacrée à la démonstration de la
proposition suivante. Dans tout ce chapitre, on note 
$\A=\{(s,p)\in \R_+^*\times ]1,+\infty[, sp>(n-1)\sqrt B\}$,
et $\overline \A=\{(s,p)\in \R_+^*\times [1,+\infty], sp>(n-1)\sqrt B\}$. 
On note $pr_2:\A\to ]1,+\infty[$ la deuxième projection. 
\begin{prop}\label{propJ}
Soit $K$ un compact de $\A$ et soit $J$ associé à un compact de
$]1,+\infty[$ contenant $pr_2(K)$. 

a) Pour tout $(s,p)\in K$, 
$J$ est continu de $\hat E^p_{s}$ dans $\hat E^p_{s}$ et
 $$\sup _{(s,p)\in K} \|J\|_{\L(\hat
E^p_{s})}<+\infty. $$
 
b) Pour tout $g\in G$, et pour tout
$\epsilon >0$, il existe un opérateur 
$R$ dont le noyau est $C^\infty$ à support compact, et un voisinage
$\mathcal U$ de $g$ dans $G$, tels que 
$$ \|g'(J)-J-R\|_{\L(\hat
E^p_{s})}\leq \epsilon $$
pour tout $(s,p)\in K$ et pour tout $g'\in \mathcal U$. 
\end{prop}




Pour montrer cette proposition, nous aurons besoin de connaître
certaines propriétés 
de $I$. On fixe une fonction $\chi\in C^\infty_c(\R)$, valant $1$ au
voisinage de $0$, et on pose $\chi _n(x)=\chi(\rho
(x)/n)$ pour $x\in X$ et $n\in \N^*$. On rappelle que
$\rho(x)=d(x_0,x)$. 

\begin{lem}\label{propI}
a) Pour tout $(s,p)\in \overline \A$,  $I(1-\chi_1)$ est continu de
 $\hat L^p_{s}$
 dans $\hat L^p_{s}$  
 et, pour tout  compact $K$ de $\overline \A$, $$\sup _{(s,p)\in K}
 \|I(1-\chi_1)\|_{\L(\hat L^p_{s})}<+\infty. $$
 De plus, pour tout compact $K$ de $\overline \A$, pour tout compact
 $K'$ de $G$, si $n$ est assez grand pour que $1-\chi_n$ s'annule au
 voisinage de $\{g(x_0),g\in K'\}$, 
$$\sup _{(s,p)\in K,g\in K'}
 \|g(I)(1-\chi_n)\|_{\L(\hat L^p_{s})}<+\infty. $$
b) Pour tout  compact $K$ de 
$\overline \A$, et pour tout compact $K'$ de $G$, pour tout
$\eta\in ]0,1]$,  
$$\sup _{(s,p)\in K,g\in K'} \|(g(I)-I)(1-\chi_n)M_\eta\|_{\L(\hat
L^p_{s})}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0.$$
\end{lem}

\noindent \begin{bfseries} Remarque. \end{bfseries}
L'introduction de $(1-\chi_1)$ et $(1-\chi_n)$ dans le a) a simplement
pour but d'éliminer la petite singularité que le noyau de
$I$ possède en $x_0$. Il s'agit donc d'un détail tout à fait
mineur. Au contraire $(1-\chi_n)$ joue un rôle essentiel en b). 


Il suffit de montrer ce lemme pour $p=1$ et $p=+\infty$,
le cas général résultant alors d'un argument d'interpolation (on peut
aussi établir le cas général à l'aide d'inégalités d'H\"older). 



Nous avons besoin du lemme géométrique suivant. 




On rappelle que, pour $u\in X$ et $t\in ]0,1]$,$\Phi _{u,t}$ est
l'homothétie de centre $u$ et de rapport $t$. 


\begin{lem} \label{alexenvers}
Soient $u,x\in X$ et $t\in ]0,1]$. Alors 
 $$\|(D\Phi _{u,t})(x)\|\leq t\ \ \ \text{et}$$
  $$\|D(\Phi _{u,t}^{-1})(x)\|\leq \frac{\mathrm{sh} (t^{-1}\sqrt{B}d(u,x))}
{\mathrm{sh} (\sqrt{B}d(u,x))}.$$
\end{lem}
La construction de $\Phi _{u,t}$ et la première inégalité dans le
lemme précédent utilisent l'hypothèse que la variété est simplement
connexe et de courbure sectionnelle négative, et la deuxième assertion
utilise en plus l'hypothèse que la courbure sectionnelle est minorée par
$-B$. 

La première inégalité résulte du théorème de comparaison
d'Alexandroff~\cite{alex}, rappelé dans la proposition suivante (voir
aussi~\cite{delz}, théorème 5.2 page 13). En fait la première
inégalité résulte de ce théorème avec $a=0$. Quant à la deuxième
inégalité, elle résulte d'un théorème inverse en quelque sorte du
théorème d'Alexandroff, et dont l'énoncé est le suivant. 

\begin{prop} Soit $a>0$, et soit $S(a)$ la surface simplement connexe 
complète de courbure constante $-a^2$. Soit d'autre part $X$ une
variété riemannienne simplement connexe complète, dont la courbure
sectionnelle appartient partout à $[-a^2,0]$($\mathrm{resp.}$ $]-\infty,-a^2]$
dans le théorème d'Alexandroff habituel). Soit
$\Delta$ la réunion des trois côtés d'un triangle géodésique
$[x_1,x_2,x_3]$ de $X$, et soit 
$\Delta(a)$ la réunion des trois côtés d'un triangle géodésique de
$S(a)$ dont les côtés ont les 
mêmes longueurs que ceux de $\Delta$. Soit enfin l'application
$f:\Delta \vers \Delta(a)$ qui envoie $x_i$ sur le sommet
correspondant 
de $\Delta(a)$ et qui, restreinte à chacun des côtés de $\Delta$, est
une isométrie. Alors on a $d(y,z)\geq d(f(y),f(z))$ ($\mathrm{resp.}$
$d(y,z)\leq 
d(f(y),f(z))$ dans le théorème d'Alexandroff habituel) pour tous les
points $y$ et $z$ de $\Delta$.
\end{prop}
La preuve est exactement identique à celle du théorème d'Alexandroff
proposée dans~\cite{delz}, à ceci près que toutes les inégalités
doivent être renversées. Le lemme 5.3 de \cite{delz} reste vrai si on
renverse l'inégalité, car il suffit d'invoquer la proposition 2.7.7
de~\cite{kli}, page 220, au lieu du théorème 2.7.6, page 219. \cqfd

\vskip 0.8cm

A l'aide du lemme~\ref{alexenvers},
% et de la remarque après le lemme~\ref{interpolation}
 nous allons montrer la partie a) du
lemme~\ref{propI}. On se contente de montrer la première assertion, la
preuve de la seconde étant similaire. 
Comme $I(1-\chi_1)$ est nul de $L^p_{s,0}$ dans
$L^p_{s,-1}$, il suffit de prendre $k\geq 1$, et de montrer la première
assertion de la partie
a) du lemme pour la restriction de $I(1-\chi_1)$ à $L^p_{s,k}$. 

Pour $u,x\in X$ et $r\leq d(u,x)$ on note, dans cette démonstration,
$\Psi _u^r(x)=\Phi_{u,1-r/d(u,x)}(x)$, en d'autres termes $\Psi
_u^r(x)$ est le point à distance $r$ de $x$ sur le segment de
géodésique qui relie $u$ à $x$.

 On peut écrire l'opérateur $I$ comme une intégrale
$$I=\int _0^\infty i_r dr$$ où 
$$i_r(\omega)(x)=D\Phi_{x_0,1-r/d(x_0,x)}(x)^*\big((e_{x_0}\lrcorner \omega)
(\Psi_{x_0}^r(x))\big)\text{ si } d(x_0,x)\geq r \text{, et } 0\text{ sinon}.$$

La première assertion de la partie a) du lemme résulte alors
immédiatement de l'inégalité suivante : il existe une constante $C$
telle que, pour tout $r\in \R_+$, 
$$\sup_{(s,p)\in K}\|i_r(1-\chi_1)\|_{\L(L^p_{s,k},L^p_{s,k-1})}\leq C
e^{-(s-\frac{(n-1)\sqrt B}{p})r}.$$ 
Montrons cette inégalité.

D'après la première inégalité du lemme~\ref{alexenvers}, pour toute
section $\omega \in C^\infty_c(X,\Lambda ^{k}T_{\C}^*X)$, on a 
$$\|i_r(\omega )(x)\|_{\Lambda ^{k-1}T_{\C}^*X}\leq  
\|\omega(\Psi_{x_0}^r(x))\|_{\Lambda ^{k}T_{\C}^*X}.$$ 
D'où
\begin{eqnarray*}
\|i_r((1-\chi_1)\omega)\|_{L^p_{s,k-1}}^p\leq \int _{\{x\in X, d(x,x_0)\geq r\}} e^{-sp\rho(x)}
 \|\omega(\Psi_{x_0}^r(x))\|^p|1-\chi_1|(\Psi_{x_0}^r(x))^pdx
\\
=\int _X
\|\omega(y)\|^p|1-\chi_1|(y)^p e^{-sp(\rho(y)+r)}
\mathrm{Jac}((\Psi_{x_0}^r)^{-1})(y)dy
\end{eqnarray*}
L'image par la différentielle de $(\Psi_{x_0}^r)^{-1}$ en $y$ de
$e_{x_0}(y)$ est $e_{x_0}((\Psi_{x_0}^r)^{-1}(y))$ et sur
$\R e_{x_0}(y)^{\bot}$, la différentielle de $(\Psi_{x_0}^r)^{-1}$ en
$y$ co\"incide avec celle de $\Phi_{x_0,1-r/(d(x_0,y)+r)}^{-1}$, et son
image est incluse dans $\big(\R e_{x_0}((\Psi_{x_0}^r)^{-1}(y))\big)^{\bot}$. 
D'après le lemme~\ref{alexenvers} la
norme de la différentielle de $\Phi_{x_0,t}^{-1}$ en $y$ est plus petite 
que $\frac{\mathrm{sh} (t^{-1}\sqrt{B}d(x_0,y))}  
{\mathrm{sh} (\sqrt{B}d(x_0,y))}$. Donc  on a
$$|\mathrm{Jac}((\Psi_{x_0}^r)^{-1})(y)|\leq
\bigg(\frac{\mathrm{sh} 
(\sqrt{B}(d(x_0,y)+r))}{\mathrm{sh}
(\sqrt{B}d(x_0,y))}\bigg)^{n-1}$$ 
et, si $|1-\chi_1|(y)$ est non nul, $y$ est en
dehors d'un voisinage de $x_0$, et donc il existe une constante $C$ telle
que $$|\mathrm{Jac}((\Psi_{x_0}^r)^{-1})(y)|\leq
Ce^{(n-1)\sqrt{B}r}.$$
On a
\begin{eqnarray*}
\|i_r((1-\chi_1)\omega)\|_{L^p_{s,k-1}}^p\\ \leq 
Ce^{-(sp-(n-1)\sqrt B)r}\int _X e^{-sp\rho(y)}\|\omega(y)\|^p|1-\chi_1|(y)^p
dy,  
\end{eqnarray*}
d'où le résultat. \cqfd

\vskip 0.5cm 

Montrons maintenant la  partie b) du lemme~\ref{propI}. 

 
La démonstration de la partie a) montre que, pour tout $\epsilon>0$, il
existe $R>0$ tel que, si on pose $I_R=\int _0^R i_r dr$, on a, 
 pour tout $n\in \N^*$, 
 $\sup _{(s,p)\in K}\|(I-I_R)(1-\chi_n)\|_{\L(\hat L^p_s)}\leq \epsilon$
et de même, pour tout $n\in \N^*$ tel que $(1-\chi_n)$ s'annule sur un
voisinage de $\{g(x_0), g\in K'\}$, 
$\sup _{(s,p)\in K,g\in K'}\|(g(I-I_R)-(I-I_R))(1-\chi_n)\|
_{\L(\hat L^p_s)}\leq \epsilon$. 

Il suffit donc de montrer que, pour tout $\epsilon>0$, pour tout
$\eta>0$, et pour tout
$R>0$, si $n$ est assez grand, 
$$\sup _{(s,p)\in K,g\in K'}\|(g(I_R)-I_R)(1-\chi_n)M_\eta\|_{\L(\hat
L^p_s)}\leq  \epsilon .$$  

Il suffit donc de montrer que, pour tout $\epsilon>0$,  pour tout
$\eta>0$, et pour tout
$R>0$, si $n$ est assez grand, 
$$\sup _{r\in [0,R],(s,p)\in K,g\in K'}\|
(g(i_r)-i_r)(1-\chi_n)M_\eta\|_{\L(\hat L^p_s)}\leq
\epsilon/R. $$
En comparant terme à terme les expressions pour $g(i_r)$ et $i_r$, on
voit que cela résulte des faits suivants : 
\begin{itemize}
\item $\|D\Phi_{g(x_0),1-r/d(g(x_0),x)}\|\leq 1$ pour $r\in [0,R]$ et
$g\in K'\cup \{1\}$, 
\item $\sup _{r\in [0,R], g\in K'}d(\Psi_{x_0}^r(x),\Psi_{g(x_0)}^r(x))$
tend vers $0$ quand $d(x_0,x)$ tend vers l'infini, 
\item si on note $TP(e_{g(x_0)}(\Psi_{g(x_0)}^r(x)))$  l'image
 de $e_{g(x_0)}(\Psi_{g(x_0)}^r(x))$ par transport parallèle
suivant la géodésique allant de $\Psi_{x_0}^r(x)$ à
$\Psi_{g(x_0)}^r(x)$, 
$$\sup _{r\in [0,R], g\in
K'}\|TP(e_{g(x_0)}(\Psi_{g(x_0)}^r(x)))-e_{x_0}(\Psi_{x_0}^r(x))\|$$
tend vers $0$ quand $d(x_0,x)$ tend vers l'infini. 
\item si on note $TP(D\Phi_{g(x_0),1-r/d(g(x_0),x)}(x))\in \Hom(T_xX,
T_{\Psi_{x_0}^r(x)}X)$ l'image de
$D\Phi_{g(x_0),1-r/d(g(x_0),x)}(x)\in \Hom(T_xX,
T_{\Psi_{g(x_0)}^r(x)}X)$ par transport parallèle
suivant la géodésique allant de $\Psi_{x_0}^r(x)$ à
$\Psi_{g(x_0)}^r(x)$, 
$$\sup _{r\in [0,R], g\in
K'}\|TP(D\Phi_{g(x_0),1-r/d(g(x_0),x)}(x))-D\Phi_{x_0,1-r/d(x_0,x)}(x)\|$$
tend vers $0$ quand $d(x_0,x)$ tend vers l'infini, 
\end{itemize}

Seul le dernier point n'est pas immédiat, et, pour le justifier, il
faut utiliser l'hypothèse que la dérivée de la courbure est bornée, et
les deux remarques suivantes : 
 \begin{itemize}
\item pour tout $\eta >0$, il existe $R'>0$ tel que, si $d(x_0,x)\geq
R'$, 
$$\sup_{r\in [0,R], g\in K'\cup\{1\}}\|D\Phi_{g(x_0),1-r/d(g(x_0),x)}(x)
-D\Phi_{\Psi_{g(x_0)}^{R'}(x),1-r/R'}(x)\|\leq \eta$$
(cela résulte facilement du théorème de comparaison d'Alexandroff),

\item pour tout $R'>0$, 
$$\sup _{r\in [0,R], g\in
K'}\|TP(D\Phi_{\Psi_{g(x_0)}^{R'}(x),1-r/R'}(x))-D\Phi_{\Psi_{x_0}^{R'}(x),1-r/R'}(x)\|$$  
tend vers $0$ quand $d(x_0,x)$ tend vers l'infini, car les équations
de Jacobi à intégrer sur les segments de géodésiques de longueur $R'$
reliant $\Psi_{g(x_0)}^{R'}(x)$ à $x$ et $\Psi_{x_0}^{R'}(x)$ à $x$ 
sont de plus en plus voisines, grâce à
l'hypothèse que la dérivée de la courbure est bornée. \cqfd
 \end{itemize}

\vskip 1cm 






Montrons maintenant que le lemme~\ref{propI} implique la
proposition~\ref{propJ}. 

Montrons d'abord la partie a) de la proposition~\ref{propJ}. Soit $K$
un compact de $\A$ et soit $J$ associé à un compact de $]1,+\infty[$
contenant $pr_2(K)$. Par hypothèse, $K^{\loc}:\hat L^p_s\to \hat L^p_s$
est borné, et  
$\sup _{(s,p)\in K}\|K^{\loc}\|_{\L(\hat L^p_s)}$ est fini. De même 
$(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc}):\hat L^p_s\to \hat L^p_s$ est borné, et 
 $\sup _{(s,p)\in K}\|\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc}\|_{\L(\hat L^p_s)}$ est 
fini. Soit $n\in \N^*$. Comme $(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\chi_n$
est un opérateur 
dont le noyau est $C^\infty$ et à support compact, 
$I(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\chi_n:\hat L^p_s\to \hat L^p_s$ est borné et 
$\sup _{(s,p)\in
K}\|I(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\chi_n\|_{\L(\hat L^p_s)}$ est fini. 
On choisit $n$ de telle sorte que
$(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_n)=(1-\chi_1)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_n)$.
Cela est possible, car $(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})$ est à propagation
inférieure ou égale à $r$. Or $I(1-\chi_1):\hat L^p_s\to \hat L^p_s$ est borné
par la partie a) du lemme~\ref{propI}, et $\sup _{(s,p)\in
K}\|I(1-\chi_1)\|_{\L(\hat L^p_s)}$ est fini. 

On en déduit que $J:\hat L^p_s\to \hat L^p_s$ est borné, et que
$\sup _{(s,p)\in K}\|J\|_{\L(\hat L^p_s)}$ est fini. Comme $Jd+dJ=\Id$, il
est clair que $J:\hat E^p_s\to \hat E^p_s$ est borné et que
$\sup _{(s,p)\in K}\|J\|_{\L(\hat E^p_s)}$ est fini. Ainsi la partie a)
de la proposition~\ref{propJ} est démontrée. \cqfd

\vskip 0.3cm

Montrons maintenant la partie b) de la proposition~\ref{propJ}. 
Comme $K^{\loc}$ et $d$ sont exactement $G$-équivariants, on a 
$g(J)-J=(g(I)-I)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})$. 
Soit $n\in \N^*$. Choisissons $m\in \N^*$ tel que 
$(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_m)=
(1-\chi_n)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_m)$. 
On rappelle que  $(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\chi_m$
est un opérateur 
dont le noyau est $C^\infty$ et à support compact, de sorte qu'il
existe un opérateur 
$R$ dont le noyau est $C^\infty$ à support compact, et un voisinage
compact $\mathcal U$ de $g$ dans $G$, tels que 
$$ \|(g'(I)-I)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\chi_m-R\|_{\L(\hat
E^p_{s})}\leq \epsilon/2 $$
pour tout $(s,p)\in K$ et pour tout $g'\in \mathcal U$. 
 
Il nous reste à montrer que, si $n$ est assez grand (et $m$ comme ci-dessus), 
$$ \sup_{(s,p)\in K,g'\in \mathcal
U}\|(g'(I)-I)(1-\chi_n)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_m)\|_{\L(\hat 
E^p_{s})}\leq \epsilon/2. $$
La partie b) du lemme~\ref{propI} montre que cela est vrai si l'on
prend la norme dans $\L(\hat L^p_{s})$ au lieu de $\L(\hat
E^p_{s})$. En effet, 
$$\lim_{\eta\to 0}\sup_{(s,p)\in
K}\|(1-M_\eta)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\|_{\L(\hat  L^p_{s})}=0$$ 
et, pour tout $\eta>0$, on a 
$$\lim_{n\to +\infty}\sup_{(s,p)\in K,g'\in \mathcal 
U}\|(g'(I)-I)(1-\chi_n)M_\eta\|_{\L(\hat 
L^p_{s})}=0.$$ 
Le résultat avec $\L(\hat
E^p_{s})$ s'en déduit immédiatement en remarquant que le commutateur 
$$[d,(g'(I)-I)(1-\chi_n)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_m)]$$ est égal
à  
$$(g'(I)-I)(1-\chi_n)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})[d,\chi_m],$$ 
et que $\sup_{(s,p)\in K}\|[d,\chi_m]\|_{\L(\hat
L^p_{s})}\underset{m\to \infty}{\longrightarrow} 0$.\cqfd

\section{Description de l'homotopie}

\subsection{Résolution de la représentation triviale par le complexe
  de de Rham}

Pour $p\in ]1,+\infty[$, et $s\in \R_+$, on note $\E^p_s$ la
$(G,s\ell)$-$\C$-paire  $(E^{p,*}_s, E^p_s)$, et $\hat \E^p_s$ la
$(G,s\ell)$-$\C$-paire  $(\hat E^{p,*}_s, \hat E^p_s)$. 
La proposition~\ref{propJ}, et les lemmes~\ref{changelebas}
et~\ref{exactd'uncote}, impliquent la proposition suivante. Par abus,
on note, pour $(s,p)$ dans $\R_+\times [1,+\infty]$ (resp. dans
$\R_+\times K$, $K$ compact de $]1,+\infty[$),
$d\in \L(\hat \E^p_s)$ (resp. $J\in \L(\hat \E^p_s)$) le morphisme de
$\C$-paires construit à partir de l'opérateur et de son transposé. 


\begin{prop} Pour tout 
$(s,p)\in \A$, si $J$ est associé à un compact de $]1,+\infty[$
contenant $p$, $(\hat \E^p_s,d+JdJ)$ appartient à
$E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$ et est homotope à $0$, et 
 $(\E^p_s,d+JdJ)$ appartient à
$E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$ et est homotope à $1$. \cqfd
\end{prop}

Pour $p\in ]1,+\infty[$ et $s,\alpha \in \R_+$, on note 
$\Theta _{\alpha}$ l'opérateur de
  $E^p_{s +\alpha}$ 
 vers $E^p_s$ défini par 
$$ \Theta _{\alpha}(\omega)(x)=e^{-\alpha
\rho '(x)}\omega(x).$$ 
On a $\Theta _{\alpha}d\Theta _{\alpha}^{-1}=d+\alpha \lambda_\xi$. Il
 en résulte que $\Theta _{\alpha}$ est un isomorphisme (non
 isométrique) d'espaces de Banach. On note encore $ \Theta
 _{\alpha}$ le morphisme de $\C$-paires de $\E^p_{s +\alpha}$ 
 vers $\E^p_s$ constitué de $\Theta _{\alpha}$ défini
 ci-dessus et de son transposé. 

Soit $s>0$. On note $\A '=\{(t,\alpha,p)\in
 \R_+\times\R_+\times ]1,+\infty[, t\leq s, t+\alpha>(n-1)\sqrt B/p\}$. 
 On note $pr_3:\A'\to ]1,+\infty[$ la troisième projection. 
\begin{lem}\label{parammax}  
Pour tout compact $K$ de $\A '$, pour $J$ associée à un compact de
$]1,+\infty[$ contenant $pr_3(K)$, 
$(\E^p_t,\Theta_\alpha(d+JdJ)\Theta_\alpha^{-1})_{(t,\alpha,p)\in K}$
appartient à $E^\ban_{G,s\ell}(\C, C(K))$. 
\end{lem}
En effet $\Theta _{\alpha}d\Theta
  _{\alpha}^{-1}=d+\alpha\lambda _{\xi}$, et le champ de
  $1$-formes $g(\xi)-\xi$ tend vers $0$ en l'infini, uniformément en
  $g$ lorsque $g$ demeure dans un compact de $G$. Comme
  $\xi=d\rho'$, $[d,\lambda_\xi]=0$.  Donc $g\mapsto \big(g(\Theta
  _{\alpha}d\Theta  
  _{\alpha}^{-1})-\Theta _{\alpha}d\Theta
  _{\alpha}^{-1}\big)_{(t,\alpha,p)\in K}$ est une application continue de
  $G$ dans l'espace  
  des endomorphismes compacts de $C(K)$-paires de
  $(\E^p_t)_{(t,\alpha,p)\in K}$.  

Montrons que $g\mapsto \big(g(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta
  _{\alpha}^{-1})-(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta
  _{\alpha}^{-1})\big)_{(t,\alpha,p)\in K}$ est une application continue de
  $G$ dans l'espace 
  des endomorphismes compacts de $C(K)$-paires de
  $(\E^p_t)_{(t,\alpha,p)\in K}$.  
Pour tout $n\in \N^*$, $$g\mapsto \Big(\big(g(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta
  _{\alpha}^{-1})-(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta
  _{\alpha}^{-1})\big)\chi_n\Big)_{(t,\alpha,p)\in K}$$ est une
  application continue de   $G$ dans l'espace  
  des endomorphismes compacts de $C(K)$-paires de
  $(\E^p_t)_{(t,\alpha,p)\in K}$,  car
  $K^\loc$ est un opérateur pseudo-différentiel d'ordre $-1$. Si $K'$
  est un compact de $G$, 
$$\sup_{g\in K',(t,\alpha,p)\in K}\|\big(g(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta
  _{\alpha}^{-1})-(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta
  _{\alpha}^{-1})\big)(1-\chi_n)\|_{\L(\L^p_t)}$$ tend vers $0$ quand $n$
  tend vers l'infini : cela résulte du lemme~\ref{boules} et du fait que, 
pour $x,y\in X$ et $g\in G$, $(\rho '(gx)-\rho '(x))-(\rho '(gy)-\rho
  '(y))$ tend vers $0$ si $x$ tend vers l'infini et $d(x,y)$ reste
  borné et $g$ reste dans un compact de $G$. En calculant le
  commutateur avec $d$, on en déduit facilement
  que $$\sup_{g\in K',(t,\alpha,p)\in K}\|\big(g(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta
  _{\alpha}^{-1})-(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta
  _{\alpha}^{-1})\big)(1-\chi_n)\|_{\L(\E^p_t)}$$ tend vers $0$ quand $n$
  tend vers l'infini. 

 De même, on montre que $g\mapsto \big(g(\Theta
  _{\alpha}I(\mathrm{Id}-(dK^{loc}+K^{loc}d))\Theta 
  _{\alpha}^{-1})-(\Theta
  _{\alpha}I(\mathrm{Id}-(dK^{loc}+K^{loc}d))\Theta 
  _{\alpha}^{-1})\big)_{(t,\alpha,p)\in K}$ est une application continue de
  $G$ dans l'espace 
  des endomorphismes compacts de $C(K)$-paires de
  $(\E^p_t)_{(t,\alpha,p)\in K}$.  \cqfd


\vskip 0.5cm

\begin{bfseries}Dans toute la suite on fixe $s>0$, \end{bfseries}
 et on construit une homotopie
entre $1$ et $\gamma $ dans $KK^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$.  
On fixe $p\in ]\frac{(n-1)\sqrt{B}}{s},+\infty[$. On suppose que $J$
est associé à un compact de $]1,+\infty[$ contenant l'intervalle
d'extrémités $2$ et $p$. 


On rappelle que $(\E^p_s,d+JdJ)$ appartient à
$E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$ et est homotope à $1$. 

\subsection{Conjugaison par $\exp(-\alpha\rho '$)}

\begin{bfseries} Nous choisissons $\beta\in \R_+^*$ tel que 
$2\beta >(n-1)\sqrt{B}$ 
%$\sup
% _{x\in X}\Big\|y\mapsto
% e^{-\frac{\beta}{2}d(x,y)}\Big\|_{L^2(X)}<+\infty$ 
et $\beta >
 \|A\|$,\end{bfseries} où 
$\|A\|$ est comme dans la proposition~\ref{propgamma}. 

\begin{prop}\label{conjugtheta}
   $(\E^p_s[0,1],(\Theta _{t\beta}(d+JdJ)\Theta
  _{t\beta}^{-1})_{t\in [0,1]})$ appartient à 
  $E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C[0,1])$.  
\end{prop}
La proposition résulte immédiatement du lemme~\ref{parammax}. \cqfd

\subsection{Homotopie entre $L^{p}$ et $L^2$ et disparition de $s$}

\begin{prop}\label{conjugdecroissance}
  $((\E^p_{(1-t)s})_{t\in
  [0,1]}, \Theta _{\beta}(d+JdJ)\Theta 
  _{\beta}^{-1})$ 
appartient à $E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C[0,1])$.  
\end{prop}
La proposition résulte immédiatement du lemme~\ref{parammax}. \cqfd

\begin{prop}\label{homLp} 
  Si on note $p(t)$ l'unique fonction affine de $[0,1]$ dans  
  $]1,+\infty[$ telle que $p(0)=p$ et $p(1)=2$,  
$((\E^{p(t)}_0)_{t\in [0,1]},\Theta _{\beta}(d+JdJ)\Theta
  _{\beta}^{-1})$ appartient à
  $E^{\ban}_{G}(\C,\C[0,1])$.  
\end{prop}
La proposition résulte immédiatement du lemme~\ref{parammax}.\cqfd

Nous avons donc réalisé une homotopie dans
$E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$ entre $1$ et 
 $(\E^2_0,\Theta _{\beta}(d+JdJ)\Theta
  _{\beta}^{-1})\in E^{\ban}_{G}(\C,\C[0,1])$, qui ne fait plus
intervenir que des espaces de Hilbert munis de représentations
unitaires de $G$.  



\subsection{Fin de l'homotopie}

On a vu que  $\Theta _{\beta}d\Theta
  _{\beta}^{-1}=d+\beta\lambda _{\xi}$. On note $d_\beta$ cet
  opérateur, et on rappelle que $\D_\beta=d_\beta+d_\beta^*$. 

  \begin{prop}
$(\E^2_0, d_\beta+d_\beta^*(\D 
      _{\beta}^2+p_{\mathrm{Ker} \D _{\beta}})^{-1})$ appartient à
$E^{\ban}_G(\C,\C)$ et est homotope à  
$(\E^2_0, \Theta _{\beta}(d+JdJ)\Theta
  _{\beta}^{-1})$ dans $E^{\ban}_G(\C,\C)$.
  \end{prop}
L'appartenance du premier complexe à $E^{\ban}_G(\C,\C)$ se justifie de la
même manière que la première assertion de la
proposition~\ref{propgamma}. L'homotopie  résulte du
lemme~\ref{changelebas}.  \cqfd

Pour $t\in [0,1]$ notons $H^t$ la complétion de
$C^\infty_c(X,\Lambda^*T_\C^*X)$ pour la norme du graphe de $d_\beta(\D 
      _{\beta}^2+p_{\mathrm{Ker} \D _{\beta}})^{-t/2} $
sur $L^2(X,\Lambda^*T_\C^*X)$. On note $\H^t$ la $G$-$\C$-paire
$(H^{t,*},H^t)$. On a en particulier $\E^2_0=\H^0$ et
$L^2(X,\Lambda^*T_\C^*X)=\H^1$, à équivalence des normes près. 

\begin{prop}
$(\H^0, d_\beta+d_\beta^*(\D 
      _{\beta}^2+p_{\mathrm{Ker} \D _{\beta}})^{-1})$ est égal à 
       $\gamma$ dans $KK^{\ban}_G(\C,\C)$.
\end{prop}

En effet  on réalise $\gamma$ par la 
proposition~\ref{gamma} et l'homotopie se fait par l'élément  de
$E^{\ban}_G(\C,\C[0,1])$ égal à 
$$((\H^t)_{t\in [0,1]},(d_\beta(\D 
      _{\beta}^2+p_{\mathrm{Ker} \D _{\beta}})^{-t/2}+d_\beta ^*(\D 
      _{\beta}^2+p_{\mathrm{Ker} \D _{\beta}})^{-1+t/2})_{t\in [0,1]}).$$
\cqfd

\chapter{Espaces de Schwartz}\label{schwartz}

Dans tout ce chapitre, nous appelons groupe de Lie réductif réel  un
groupe de Lie $G$ ayant un nombre fini de composantes connexes, 
dont l'algèbre de Lie $\mathfrak g$ est somme directe d'une algèbre de
Lie abélienne $\mathfrak g_{\mathrm{ab}}$ 
et d'une algèbre de Lie semi-simple $\mathfrak g_{\mathrm{ss}}$, de
sorte que $G$ possède un sous-groupe fermé connexe $G_{\mathrm{ss}}$,
d'algèbre de 
Lie  $\mathfrak g_{\mathrm{ss}}$ et de centre fini. 
% tel que l'application adjointe 
%$G_{\mathrm{ss}}\to \mathrm{GL}(\mathfrak g_{\mathrm{ss}})$ ait un
%noyau fini. Autrement dit nous appelons groupe de Lie réductif un
%quotient par un sous-groupe distingué fini d'une extension par un
%groupe fini d'un produit d'un tore, d'un $\R^n$, et d'un groupe
%semi-simple algébrique sur $\R$. 
Cette classe a l'avantage d'être un peu plus vaste que celle des groupes 
réductifs sur $\R$ au sens algébrique, tout en excluant le revêtement
universel de $SL_2(\R)$.
 
Soit $G$   un groupe de Lie réductif  réel 
ou  un groupe réductif sur un corps local non-archimédien. On note $C_c(G)$
l'algèbre des fonctions continues à support compact de $G$ dans $\C$,
avec pour produit la convolution des fonctions. 
L'espace de Schwartz, introduit par Harish-Chandra,  est une bonne algèbre
de Fréchet (au sens de l'appendice A de~\cite{bost}) dans le cas réel,
et une limite inductive de bonnes algèbres de Fréchet dans le cas
p-adique, d'après~\cite{vigneras}. De plus, l'espace de Schwartz est
une sous-algèbre de $C^*_r(G)$, dense et stable par 
calcul fonctionnel holomorphe~: 
 ce résultat (que nous ne montrons pas ici) 
 est démontré  par
M.-F. Vignéras dans~\cite{vigneras} lorsque $G$ est un groupe
$p$-adique. 

Nous avons besoin d'un résultat voisin du
résultat ci-dessus. Au début du paragraphe~\ref{paragraphedescente},
nous avons défini une complétion
 inconditionnelle de $C_c(G)$ comme 
une algèbre de Banach $\A(G)$ contenant $C_c(G)$ comme
sous-algèbre dense, et telle que, pour tout $f\in C_c(G)$, $\|f\|_{\A(G)}$ ne
dépend que de $(g\mapsto 
|f(g)|)$.  
Le but de ce chapitre  est de définir une variante de l'espace de
Schwartz usuel sur 
$G$, qui contient l'espace de Schwartz usuel, et  qui vérifie les propriétés
suivantes~: c'est une complétion inconditionnelle de $C_c(G)$ et  
une sous-algèbre de $C^*_r(G)$ stable par calcul fonctionnel holomorphe. 


Nous introduisons d'autres 
complétions inconditionnelles de $C_c(G)$, qui sont des variantes des
espaces de Schwartz 
généralisés apparaissant dans le livre \cite{gangolli}, qui m'a été signalé
par M.Duflo. Par abus, nous appelons encore ces complétions
inconditionnelles espaces de Schwartz
généralisés. Nous montrons que l'algèbre $L^1(G)$ et les
algèbres $L^1$ 
à poids possèdent chacune une  sous-algèbre dense et stable par calcul
fonctionnel holomorphe qui est  un espace de Schwartz
généralisé. Nous donnons aussi des énoncés à coefficients dans une
$G$-algèbre de Banach arbitraire. 
  
Dans ce chapitre, pour simplifier, et en contradiction
avec les chapitres précédents, nous appelons algèbre de Banach un 
espace de Banach $B$ muni d'un produit tel qu'il existe une constante
$C\in \R^*_+$ avec $\|ab\|_B\leq C\|a\|_B\|b\|_B$ pour $a,b\in B$. 
On peut munir $B$ d'une norme équivalente (par exemple $C\|.\|_B$)
pour que $B$ devienne une algèbre
de Banach au sens habituel, et le changement de norme ne modifie pas les
questions de spectre et de stabilité par calcul fonctionnel
holomorphe. 



\section{Enoncé du résultat de base}
Rappelons la définition~\ref{definitionnorme}. Une longueur sur un groupe
topologique $G$ est une fonction  continue $\ell: G\vers [0,+\infty [$,
telle que  $\ell(gg')\leq \ell(g)+\ell(g')$ pour tous $g,g'\in G$.

Nous dirons qu'un quadruplet $(G,K,d,\phi )$ est d'Harish-Chandra
    si on a 
\begin{itemize}
\item \textit{(HC1)} $G$ est un groupe localement compact unimodulaire
  muni d'une mesure de Haar $dg$, et $K$ est un sous-groupe compact de
  $G$, muni de son unique mesure de Haar $dk$ de masse $1$,
\item \textit{(HC2)} $d$ est une longueur sur $G$,  telle que
  $d(k)=0$ pour tout $k\in K$ et $d(g^{-1})=d(g)$ pour tout $g\in G$, 
\item \textit{(HC3)} $\phi :G\vers ]0,1]$ est continue et vérifie 
les propriétés suivantes 
 \begin{itemize}    
\item \textit{(HC3a)}  $\phi (1)=1$,
\item \textit{(HC3b)} pour tout $g\in G$, $\phi (g^{-1})= \phi (g)$,
\item \textit{(HC3c)} pour tout $g\in G$, et pour tous $k,k'\in K$, on a 
$\phi (kgk')=\phi (g)$,
\item \textit{(HC3d)} pour tous $g,g'\in G$, on a 
$\int _{K}\phi (gkg')dk=\phi (g)\phi (g')$,
\item \textit{(HC3e)} pour $t\in \R_+$ assez grand, 
$\int _G \phi ^2(g)\big(1+d(g)\big)^{-t} dg$ converge.
 \end{itemize}
\end{itemize}

Nous définissons maintenant un avatar de l'espace de Schwartz sur $G$. 
\begin{defi}
  Soit $(G,K,d,\phi )$ un quadruplet d'Harish-Chandra.
Soit $t\in \R$. On note $C_c(G)$ l'espace des fonctions continues à support
compact de $G$ dans $\C$ et  $\S_t(G)$ l'espace de Banach qui est le
complété de $C_c(G)$ pour la norme 
$$||f||_{\S_t(G)}=\sup _{g\in G} 
|f(g)|\phi(g)^{-1}\big(1+d(g)\big)^t $$
\end{defi}

Le principal résultat abstrait de ce chapitre est le suivant.
\begin{prop}
Soit $(G,K,d,\phi )$ un quadruplet d'Harish-Chandra. Pour $t\in \R_+$
assez grand,  $\S_t(G)$ est une  complétion inconditionnelle de $C_c(G)$ 
 et une sous-algèbre de $C^*_r(G)$ dense  et stable par
 calcul fonctionnel holomorphe. En particulier ces deux algèbres ont
 la même K-théorie. 
 \end{prop}
Cette proposition est une version affaiblie de la
proposition~\ref{recapitulationC^*}. Nous
montrons d'abord comment cette proposition s'applique aux groupes
réductifs réels et p-adiques. 


\section{Cas des groupes de Lie}

Dans ce paragraphe, nous montrons que, pour tout groupe de Lie
réductif $G$,  il existe $K,d,\phi$ tels que $(G,K,d,\phi)$ soit
d'Harish-Chandra.  



Commen\c cons par montrer, pour tout groupe de Lie semi-simple
linéaire connexe $G$, l'existence de $K,d,\phi$ tels que
$(G,K,d,\phi)$ soit d'Harish-Chandra. 

Nous considérons donc un groupe de Lie semi-simple linéaire
connexe $G$, et 
nous reprenons  les notations du chapitre 5 de~\cite{knapp}. 
On suppose $G$ muni 
d'une involution de Cartan $\Theta $, et on note $\gg=\kk\oplus \pp$
la décomposition de l'algèbre de Lie de $G$ induite par la
différentielle de $\Theta $ en $1$. On sait que $K=\{g\in G,\Theta
(g)=g\}$ est   
un sous-groupe compact maximal de $G$ d'algèbre de Lie $\kk$.
Soit $\aa$ un sous-espace abélien maximal de $\pp $ et 
$A=\exp (\aa )$ comme dans le 
chapitre 5 de~\cite{knapp}, $\Sigma$ l'ensemble des racines restreintes,
$\Sigma ^+$ un système de racines positives, 
$\aa^+$ la chambre de Weyl associée,
$\overline {\aa^+}$ son adhérence dans $\aa$, $A^+=\exp(\aa^+)$ et 
$\overline {A^+}=\exp(\overline {\aa^+})$. 
On note $\rho=\frac{1}{2} \sum _{\lambda \in \Sigma^+ }
(\mathrm{dim} \gg _{\lambda })\lambda $, où $\gg _{\lambda }$ est l'espace associé à 
$\lambda $. Par ailleurs soit $P$ l'ensemble des poids dominants réels.
On note $C_c(G)$ l'ensemble des fonctions continues 
à support compact de $G$ dans $\mathbb C$. Nous utiliserons le
résultat suivant,  
qui est la proposition 5.28 de ~\cite{knapp} :
\begin{prop}   \label{haar}
Si les normalisations des mesures de Haar sont compatibles entre
elles, on a, pour toute fonction  $f\in C_c(G)$,
$$\int _G f(g)dg =\int _{K\times \aa^+ \times K} 
\Bigl(\prod _{\lambda \in \Sigma ^+} (\sinh \lambda (H))^{\mathrm{dim}
\gg _{\lambda 
    }}\Bigr) f(k_1(\exp H)k_2)dk_1 dH dk_2 .$$
\end{prop}\cqfd

Tout élément de $G$ peut être écrit sous la forme $ k_1(\exp H)k_2$,
avec $k_1,k_2 \in K$, et $H\in \overline {\aa^+}$, et l'élément $H$ est
déterminé de manière unique dans $\overline {\aa^+}$.
Pour $\lambda \in P$,  $H\in \overline {\aa^+}$, et
$g\in K(\exp H)K$, on pose 
$d_{\lambda }(g)=\lambda (H)$.

\begin{prop}  \label{N}
Soit $\lambda \in P$. Alors l'application $d_{\lambda }:G\vers
[0,+\infty [$ est une longueur telle que $d_{\lambda }(k)=0$ pour tout
$k\in K$. 
\end{prop}

 La preuve  m'a été expliquée par M.Duflo~: 
elle est claire
lorsque $\lambda $ est le plus haut poids de la restriction à $A$ 
d'une représentation
irréductible $\pi $ de dimension finie de $G$, car alors $e^{d_{\lambda }(g)}$
est la norme de $\pi (g)$, si on munit l'espace de la representation
d'une norme hermitienne telle que, pour tout $g\in G$, $\pi (\Theta
(g))$ soit l'inverse de 
  l'adjoint de $\pi (g)$. Une telle norme existe,
 et est unique à une constante près, car on peut associer à $\pi $ une
 représentation irréductible de la forme compacte de $G$, et celle-ci
 admet une unique structure hermitienne invariante, à constante près.
 Le cas général découle
de la remarque suivante : tout poids dominant est combinaison à
coefficients positifs ou nuls des 
plus hauts poids des restrictions à $A$ d'un nombre fini de
représentations irréductibles de dimension finie de $G$: en effet la
 forme compacte de $G$ admet une sous-algèbre de Cartan contenant
 $i\aa $ et les éléments de $\Sigma $ sont les restrictions à $i\aa $
 des racines de cette sous-algèbre de Cartan, 
à condition qu'elles soient non nulles. \cqfd

 Notons $d=d_{\rho }$ : on peut
considérer $d(g)$ comme la distance de $gK$ à l'origine dans $G/K$. 
 

Appelons $\phi $ la fonction sphérique élémentaire sur $G$, encore
appelée fonction de Harish-Chandra, qui est notée $\varphi _0^G$  dans le
chapitre 7 de~\cite{knapp}. Nous rappelons les propriétés de cette
fonction. 
\begin{prop}\label{phi}
L'application $\phi $ est continue de $G$ dans $]0,1]$ et vérifie 
\begin{enumerate}
\item $\phi (1)=1$,
\item $\forall g\in G$, $\forall k,k'\in K$, 
$\phi (kgk')=\phi (g)$, 
\item $\forall g,g'\in G$, 
$\int _{K}\phi (gkg')dk=\phi (g)\phi (g')$,
\item $\forall g\in G$, $\phi(g^{-1})=\phi (g)$,
\item il existe $s\in \mathbb R_+$ et une constante $C\in \R_+$ tels que 
pour tout $g\in G$, on ait $\phi(g)\leq C e^{-d_{\rho }(g)}\big(1+d(g)\big)^s$,
\item pour tout $g\in G$, on a $\phi(g)\geq e^{-d_{\rho }(g)}$.
\end{enumerate}
\end{prop}
Les 3 premières assertions sont (7.42),(7.43), et (7.45) 
 de~\cite{knapp}, et l'assertion \textit{4} résulte de la définition de
 $\phi $ comme coefficient de matrice en (7.40) et (7.41)
 de~\cite{knapp}. D'après l'assertion \textit{2},
il suffit de montrer les deux dernières pour $g\in exp(\overline{\aa^+})$. 
L'avant-dernière est 7.15.c dans~\cite{knapp}, et la dernière découle
de 7.15.b, et du fait que $\varphi_{\rho}^G=1$ dans les notations de
Knapp. \cqfd

Il résulte des propositions~\ref{haar} et~\ref{phi} que,
pour $t\in \R_+$ assez grand, on a 
$$\Bigl(g\mapsto \phi(g)\big(1+d(g)\big)^{-t}\Bigr)\in L^2(G).$$
Par suite $(G,K,d,\phi )$ est d'Harish-Chandra. 

\bigskip

Montrons maintenant, pour un groupe de Lie réductif réel $G$,  l'existence
de $K,d,\phi$ tels que $(G,K,d,\phi)$ soit d'Harish-Chandra.  

D'après le thérorème XV 3.1 page 201 de \cite{hochschild}, un groupe
de Lie ayant un nombre fini de composantes connexes  possède
un sous-groupe compact maximal, unique à conjugaison près. 

Soit $G$ un groupe de Lie réductif réel ({\it cf } début du
chapitre). Soit $K$ un sous-groupe compact 
maximal de $G$. Nous voulons démontrer 

\vskip 0.2cm 
(1) il existe des fonctions $K$-biinvariantes $d$ et $\phi$ telles que
    $(G,K,d,\phi)$ soit d'Harish-Chandra. 

\vskip 0.2cm 
Soit $G_0$ la composante connexe de $1$ dans $G$. D'après le thérorème XV 3.1 page 201 de \cite{hochschild}, 
$G=KG_0$ et $K_0=K\cap G_0$ est un sous-groupe compact maximal de
$G_0$.  Comme $K$ agit par conjugaison sur $G_0$ en préservant $K_0$, 
$G_0$ est munie d'une action, par automorphismes préservant $K_0$, du
groupe compact $L$, où $L$ est l'image de $K$ par cette action. Les
fonctions $K$-biinvariantes  sur $G$ sont en
bijection avec les 
fonctions $K_0$-biinvariantes et $L$-invariantes sur $G_0$. 
Par conséquent (1) est impliquée par l'assertion suivante. 

\vskip 0.2cm 
(2) Il existe sur $G_0$ des fonctions $K_0$-biinvariantes  
et $L$-invariantes $d$ et $\phi$ telles que $(G_0,K_0,d,\phi)$
soit d'Harish-Chandra.

\vskip 0.2cm 
L'algèbre de Lie de $G$ se décompose comme somme directe d'une algèbre
de Lie abélienne et d'une algèbre de Lie semi-simple : 
$\mathfrak g=\mathfrak g_{\mathrm{ab}}\oplus \mathfrak
g_{\mathrm{ss}}$,   et $G$ possède un unique sous-groupe fermé connexe 
$G_{\mathrm{ss}}$ d'algèbre de
 Lie  $\mathfrak g_{\mathrm{ss}}$ et de centre fini. 
  

L'exponentielle définit un morphisme surjectif de groupes
$\rho:\mathfrak 
g_{\mathrm{ab}}\times G_{\mathrm{ss}}\to G_0$ et $\mathrm{Ker}(\rho)$
est un sous-groupe fermé discret de $\mathfrak
g_{\mathrm{ab}}\times G_{\mathrm{ss}}$ dont l'image par la
deuxième projection est finie. Soit $\Lambda\subset \mathrm{Ker}(\rho)$ le
noyau de la deuxième projection $\mathrm{Ker}(\rho)\to
G_{\mathrm{ss}}$. Alors $\Lambda$ est un sous-groupe d'indice
fini de $\mathrm{Ker}(\rho)$. On pose $G_1=\big(\mathfrak
g_{\mathrm{ab}}\times G_{\mathrm{ss}}\big)/\Lambda=\big(\mathfrak
g_{\mathrm{ab}}/\Lambda\big)\times G_{\mathrm{ss}}$. On a une suite
exacte $1\to \mathrm{Ker}(\rho)/\Lambda \to G_1\to G_0\to 1$. 

L'action de $L$ sur $G_0$ fournit une action de $L$ sur $\mathfrak 
g_{\mathrm{ab}}$, $G_{\mathrm{ss}}$ et $G_1$. On note
$K_1$ l'image inverse de $K_0$ par la surjection  $G_1\to G_0$. 
C'est un sous-groupe compact maximal de $G_1$, préservé par l'action de
$L$, et on voit immédiatement que (2) équivaut à l'assertion
suivante. 

\vskip 0.2cm 
(3) Il existe sur $G_1$ des fonctions $K_1$-biinvariantes  
et $L$-invariantes $d$ et $\phi$ telles que $(G_1,K_1,d,\phi)$
soit d'Harish-Chandra.

\vskip 0.2cm





D'autre
part si on note $\mathfrak
g_{\mathrm{ab,t}}$ le sous-$\R$-espace vectoriel de $\mathfrak
g_{\mathrm{ab}}$ engendré par $\Lambda$ et $G_{\mathrm{ss,l}}$ l'image
de $G_{\mathrm{ss}}$ par l'application adjointe et $Z$ le centre de
$G_{\mathrm{ss}}$ (qui est fini), et $G_2=\big(\mathfrak
g_{\mathrm{ab}}/\mathfrak
g_{\mathrm{ab,t}}\big)\times G_{\mathrm{ss,l}}$, alors $G_2$
s'identifie au quotient de $G_1$ par le sous-groupe compact central 
$\big(\mathfrak g_{\mathrm{ab,t}}/\Lambda\big)\times Z$. 

Soit $K_2$ l'image de $K_1$ dans $G_2$. C'est un sous-groupe compact
maximal de $G_2$. L'action de $L$ s'étend à $G_2$ et préserve $K_2$. 
L'assertion (3) équivaut donc à l'assertion suivante. 

\vskip 0.2cm 
(4) Il existe sur $G_2$ des fonctions $K_2$-biinvariantes  
et $L$-invariantes $d$ et $\phi$ telles que $(G_2,K_2,d,\phi)$
soit d'Harish-Chandra.

\vskip 0.2cm

Pour montrer l'assertion (4), on rappelle que
$G_2=G_{\mathrm{ss,l}}\times V$, avec $G_{\mathrm{ss,l}}$ 
un groupe de Lie semi-simple linéaire connexe, et $V=\mathfrak
g_{\mathrm{ab}}/\mathfrak g_{\mathrm{ab,t}}$ un $\R$-espace
vectoriel, et $K_2$ s'identifie à un sous-groupe compact maximal
$K_{\mathrm{ss,l}}$ de $G_{\mathrm{ss,l}}$, préservé par l'action de $L$. 

Il est clair que  $L$ agit séparément sur $G_{\mathrm{ss,l}}$ et sur $V$. 
La fonction de Harish-Chandra $\phi _{\mathrm{ss,l}}$ de
$G_{\mathrm{ss,l}}$ est le coefficient de matrice  
d'un élement $K_{\mathrm{ss,l}}$-invariant de norme $1$ de la
représentation induite 
de la triviale depuis un sous-groupe parabolique minimal. Or les
sous-groupes paraboliques
minimaux de $G_{\mathrm{ss,l}}$ 
sont conjugués entre eux. Donc $\phi_{\mathrm{ss,l}}$ est invariante par la
restriction de l'action de $L$ à $G_{\mathrm{ss,l}}$ et, si on pose
$\phi (g,x)=\phi_{\mathrm{ss,l}}(g)$ sur $G_{\mathrm{ss,l}}\times 
V$, $\phi $ est invariante par l'action de $L$. Soit $d_{\mathrm{ss,l}}$ une
fonction sur $G_{\mathrm{ss,l}}$, telle que
$(G_{\mathrm{ss,l}},K_{\mathrm{ss,l}},d_{\mathrm{ss,l}},\phi_{\mathrm{ss,l}})$
soit d'Harish-Chandra. Quitte à 
remplacer $d_{\mathrm{ss,l}}$ par $g\mapsto \sup_{t\in
  L}\phi_{\mathrm{ss,l}}(t(g))$, 
on obtient que 
$d_{\mathrm{ss,l}}$ est invariante par $L$, et
$(G_{\mathrm{ss,l}},K_{\mathrm{ss,l}},d_{\mathrm{ss,l}},\phi_{\mathrm{ss,l}})$
est d'Harish-Chandra. Soit 
$\|.\|$ une métrique sur $V$ invariante par l'action de $L$. On
pose $d(g,x)=d_{\mathrm{ss,l}}(g)+\|x\|$. Alors $d$ est
$L$-invariante et $(G_{\mathrm{ss,l}}\times 
V,K_{\mathrm{ss,l}},d,\phi)$ est d'Harish-Chandra.  \cqfd


\section{Cas des groupes p-adiques}\label{padique}

Je remercie L.Clozel, qui m'a beaucoup aidé pour la redaction de ce
paragraphe. 

Soit $G$ un groupe réductif sur un corps p-adique $F$, de corps
résiduel $\mathbb{F}_q$
(\cite{silber}, 0.1 
et 0.4). Soit $(P_0,A_0)$ une paire parabolique minimale et
$P_0=M_0N_0$ la décomposition de Levi de $P_0$ déterminée par $A_0$
(\cite{silber}, 0.3). Une telle paire existe toujours, et $A_0$ est un
tore déployé maximal. Soit enfin $K$ un sous-groupe compact maximal de
$G$ bon pour $A_0$ (\cite{silber}, 0.6). Bruhat et Tits ont montré
qu'un tel sous-groupe $K$ existe toujours. Il existe un plongement
$G\hookrightarrow GL(n,F)$ tel que l'image de $K$ soit incluse
dans $GL(n,\mathcal O)$, où $\mathcal O$ est l'anneau des entiers de
$F$, et on note $\sigma (x)=\log _q\|x\|$ comme
dans~\cite{silber}, 4.1. Enfin, on note $\Xi$ la fonction sphérique
définie dans~\cite{silber}, 4.2 et associée à $(P_0,A_0)$ et
$K$. D'après les remarques au début de 4.2 et le lemme 4.2.5 de~\cite{silber},
le quadruplet $(G,K,\sigma,\Xi)$ est d'Harish-Chandra. 

Soit $\frak a_0$ l'algèbre de Lie réelle associée à $A_0$, et soit $\frak
a_0^+$ une chambre de Weyl fermée (\cite{silber}, 0.5). Par définition
$\frak a_0=\mathrm{Hom}(X(M_0),\Z)\otimes \R$, d'où un homomorphisme 
$H_{M_0}:M_0\vers \frak a_0$. On définit ${}^0M_0$ comme le noyau de
cet homomorphisme. On en déduit un plongement, encore noté $H_{M_0}$,
de $M_0/{{}^0M_0}$ dont l'image est un réseau de $\frak a_0$
(\cite{silber}, 0.5). Comme $K$ est bon pour $A_0$,
d'après~\cite{silber}, 0.6, on a la décomposition de Cartan
$G=K\big(M_0^+/{{}^0M_0}\big)K$, où $M_0^+=H_{M_0}^{-1}(\frak
a_0^+)$. Pour tout $\lambda \in \frak
a_0^+$ on définit une fonction  $d_{\lambda}:G\vers [0,+\infty[$ en posant 
$ d_{\lambda}(kmk')=\log(q) \s{\lambda ,H_{M_0}(m)}$, pour $k,k'\in
K$, et $m\in M_0^+$. D'après l'assertion (iii) de la proposition 4.4.4
de~\cite{bruhattits1} (cette référence m'a été indiquée par L.Clozel),
si l'on suppose de plus que $K$ contient $\hat B$ dans les notations
de~\cite{bruhattits1}, ce qui est possible, pour tout
$\lambda \in \frak 
a_0^+$,    $d_{\lambda}$ est une longueur sur $G$. 
D'après le théorème 4.2.1 de~\cite{silber}, il existe $r_0\in
\N$, et $c_1,c_2\in \R_+^*$, tels que $c_1\leq \delta
_{P_0}(m)^{\frac{1}{2}}\Xi(m)\leq c_2(1+\sigma(m))^{r_0}$ pour tout
$m\in M_0^+$. Or, d'après le lemme 1.2.1.1 de~\cite{silber}, on a 
$\delta
_{P_0}(m)=q^{2\s{\rho,H_{M_0}(m)}}$, où $\rho$ est la demi-somme des
éléments de $\Sigma (P_0,A_0)$, c'est-à-dire des racines positives de
$\Sigma (G,A_0)$, comptées avec multiplicité. D'où
$c_1e^{-d_{\rho}(g)}\leq \Xi(g)\leq c_2(1+\sigma
(g))^{r_0}e^{-d_{\rho}(g)}$ pour tout $g\in G$, en utilisant la
décomposition de Cartan. \cqfd



\section{Espaces de Schwartz généralisés}

Dans la suite, $(G,K,d,\phi )$ est un quadruplet d'Harish-Chandra,
 et $A$ désigne une $G$-algèbre de Banach.

\subsection{Définition}

Nous allons construire des espaces qui généralisent l'espace de
Schwartz introduit par Harish-Chandra. Ce dernier est égal à 
$\cap _{p\in \mathbb R}\S ^0_p(G,\Bbb C)$  dans la définition suivante, si on 
oublie les conditions de régularité. Il est essentiel pour nous de
construire des algèbres de Banach, et non des algèbres de Fréchet.

\begin{defi}
Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soit $t\in \mathbb R$. On définit 
$ \S^\ell_t(G,A)$ comme la complétion de l'espace $C_c(G,A)$ des
fonctions continues à support compact de $G$ dans $A$, pour 
 la norme 
$$||f||_{\S^\ell_t(G,A)}=\sup _{g\in G} 
||f(g)||_A\phi(g)^{-1}e^{\ell(g)}\big(1+d(g)\big)^t . $$
\end{defi}
Lorsque $G $ est un groupe de Lie semi-simple linéaire connexe, 
$ \lambda $ un multiple de $\rho$,  $\ell=d_{\lambda }$ et $A=\mathbb C$, 
des espaces analogues aux
espaces ci-dessus  apparaissent
dans~\cite{gangolli}. 
Le lemme suivant énonce deux propriétés évidentes
vérifées par ces normes.
\begin{lem}
Soient $\ell$ une longueur sur $G$ et $s,t\in \mathbb R$ tels que $t\geq s$. 
Alors $\S^\ell_t(G,A)\subset \S^\ell_s(G,A)$ et, pour tout
$f\in  \S^\ell_t(G,A)$, on a 
$ ||f||_{\S^\ell_t(G,A)}\geq ||f||_{\S^\ell_s(G,A)}$. 
Soit de plus $\theta \in [0,1]$. On note $r=\theta s+(1-\theta )t$. Alors,  
pour tout $f\in  \S^\ell_t(G,A)$, on a 
\begin{eqnarray}
||f||_{\S^\ell_r(G,A)}\leq ||f||_{\S^\ell_s(G,A)}^{\theta
  }||f||_{\S^\ell_t(G,A)}^{1-\theta }.\nonumber
\end{eqnarray}
\end{lem}\cqfd

\subsection{Structure d'algèbre de Banach}

On rappelle que $C_c(G,A)$ est l'espace des fonctions continues à
support compact de $G$ dans $A$, et que, pour $f_1,f_2\in
C_c(G,A)$, $(f_1*f_2)(g)=\int _G
f_1(g_1)g_1(f_2(g_1^{-1}g))dg_1$. Intuitivement, on peut noter les
éléments de $C_c(G,A)$ sous la forme $f=\int _G f(g)e_gdg$. 

Le lemme suivant m'a été suggéré par Georges Skandalis. 

\begin{lem}\label{inegsk}
 Soit $t\in \mathbb R_+$ tel que $C=\int _G \phi ^2(g)\big(1+d(g)\big)^{-t} dg$
  converge. Alors, pour toute longueur $\ell$ sur $G$, pour $s\geq t$, et pour 
  $f_1,f_2\in   C_c(G,A)$, on a 
$$||f_1*f_2 ||_{\S^\ell_s(G,A)}\leq 
2^{\max(s-1,0)}C(||f_1||_{\S^\ell_s(G,A)}||f_2 ||_{\S^\ell_t(G,A)}+||f_1||_{\S^\ell_t(G,A)}||f_2 ||_{\S^\ell_s(G,A)}).$$
 \end{lem}
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}
Pour $x,y,s\in \R_+$, on a $(x+y)^s\leq 2^{\max(s-1,0)}(x^s+y^s)$. 
Il en résulte 
\begin{eqnarray}\nonumber 
||(f_1*f_2)(g)||_A(1+d(g))^s \nonumber \\ \leq \int _G
||f_1(g_1)||_A||f_2(g_1^{-1}g)||_A2^{\max(s-1,0)}
((1+d(g_1))^s+(1+d(g_1^{-1}g))^s)   
dg_1  \nonumber \\
\leq ||f_1||_{\S^\ell_s(G,A)}||f_2
||_{\S^\ell_t(G,A)}2^{\max(s-1,0)}\nonumber \\ 
\int _G\phi(g_1)e^{-\ell(g_1)} 
\phi(g_1^{-1}g)e^{-\ell(g_1^{-1}g)}\big(1+d(g_1^{-1}g)\big)^{-t}
dg_1\nonumber \\
+||f_1||_{\S^\ell_t(G,A)}||f_2 ||_{\S^\ell_s(G,A)}2^{\max(s-1,0)}\nonumber \\
\int _G\phi(g_1)e^{-\ell(g_1)}\big(1+d(g_1)\big)^{-t} 
\phi(g_1^{-1}g)e^{-\ell(g_1^{-1}g)}
dg_1,\nonumber 
\end{eqnarray}
à supposer que la dernière intégrale converge. 
Or $\ell(g_1)+\ell(g_1^{-1}g)
\geq \ell(g)$,
\begin{eqnarray}\label{eg6}
&\int _G\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t} 
\phi(g_1^{-1}g)dg_1 =\int _{G\times K}
\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t} 
\phi(g_1^{-1}kg)dg_1dk \nonumber  \\ & = 
\bigg( \int _G\phi^2(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t} 
dg_1\biggr) \phi(g)=C\phi(g)  
\end{eqnarray} 
et le changement de variables $g_2=g_1^{-1}g$ montre que
\begin{eqnarray}
\int _G\phi(g_1)\big(1+d(g_1^{-1}g)\big)^{-t} 
\phi(g_1^{-1}g)dg_1\nonumber \\ 
=\int _G\phi(gg_2^{-1})\big(1+d(g_2)\big)^{-t} 
 \phi(g_2)dg_2=\int _{G\times K}
\phi(gkg_2^{-1})\big(1+d(g_2)\big)^{-t} 
\phi(g_2)dg_2dk \nonumber  \\  =
\bigg( \int _G \phi^2(g_2)\big(1+d(g_2)\big)^{-t} 
dg_2\biggr) \phi (g)=C\phi (g).  \nonumber
\end{eqnarray}\cqfd

La proposition suivante est un corollaire immédiat. 
\begin{prop}\label{alg}
  Soit $t\in \mathbb R_+$, tel que $C=\int _G \phi
  ^2(g)\big(1+d(g)\big)^{-t} dg$ 
  converge. Alors, pour toute longueur $\ell$ sur $G$, le produit défini
  au début du paragraphe munit
 $\S^\ell_t(G,A)$ d'une structure d'algèbre de Banach, et, pour 
  $f_1,f_2\in   C_c(G,A)$, on a 
$||f_1*f_2 ||_{\S^\ell_t(G,A)}\leq 
2^{\max(t,1)}C||f_1||_{\S^\ell_t(G,A)}||f_2 ||_{\S^\ell_t(G,A)}$. 
\end{prop}\cqfd

 
\subsection{Relations de plénitude}
Rappelons la définition de la plénitude. 
\begin{defi}
Soient $A$ et $B$ deux algèbres de Banach. Soit $\theta :A\vers B$ un
morphisme d'algèbres de Banach. On dit que $\theta $ est d'image dense 
si $\theta (A)$ est dense dans $B$. On dit que $\theta $ est 
plein si, pour tout $x\in A$, le
spectre de $x$ dans $A$ est égal au 
spectre de $\theta (x)$ dans $B$ (ou, de fa\c con équivalente, si $\tilde
\theta^{-1}(\tilde  B^{-1})=\tilde A^{-1}$). 
Lorsque $ \theta $ est injectif, on dit que $A$ est une sous-algèbre dense
et pleine de $B$ si $ \theta $ est d'image dense et plein. 
\end{defi}

L'intérêt de cette notion est qu'un morphisme  
d'image dense et plein
induit un isomorphisme en K-théorie. Cela résulte du théorème A.2.1
de~\cite{bost}. 

\begin{lem}\label{defplein}
Soient $A$ et $B$ des algèbres de Banach. Soit $\theta :A\to B$ un
morphisme d'algèbres de Banach d'image dense. 

a) S'il existe $K\in R_+^*$ tel qu'on ait $\rho_A(x)\leq
K\|\theta(x)\|_B$ pour tout $x\in A$, $\rho $ désignant le rayon
spectral, $\theta $ est plein. 

b) La condition de a) est satisfaite s'il existe $K\in R_+^*$ tel que 
$$\|xy\|_A\leq K(\|x\|_A\|\theta(y)\|_B+\|\theta(x)\|_B\|y\|_A) \text{
pour } x,y\in A.$$
\end{lem}
En effet, b) implique a) car, si b) est vrai, pour tout $x\in A$, on a
$\|x\|^2_A\leq 2K\|x\|_A\|\theta(x)\|_B$, d'où $\rho_A(x)\leq
2K\|\theta(x)\|_B$. 

Si la condition de a) est satisfaite, si $x\in A$ est tel que
$1+\theta(x)$ soit inversible dans $\tilde B$, comme $\theta$ est
d'image dense, il existe $y\in A$ tel que $\|\theta(x+y+xy)\|_B<1/K$,
d'où $\rho_A(x+y+xy)<1$, et $(1+x)(1+y)$ inversible dans $\tilde A$,
donc $1+x$ aussi. \cqfd




\begin{prop}\label{sch-sch}
Soit $s\in \mathbb R_+$, tel que $\int _G \phi ^2(g)\big(1+d(g)\big)^{-s} dg$
  converge. Soit $t\in [s,+\infty[$. Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Alors   
$\S^\ell_t(G,A)$ est une sous-algèbre dense et pleine de 
$\S^\ell_s(G,A)$.
\end{prop}
C'est une conséquence immédiate du lemme~\ref{inegsk} et du lemme
précédent. \cqfd

\subsection{Un raffinement}

\begin{prop}   \label{raff}
 Soit $t_0\in \mathbb R_+$, tel que $\int _G \phi ^2(g)(1+d(g))^{-t_0} dg$
  converge. Soit $t\in \R_+$ tel que $t>t_0$. Soit 
$s\in ]-\infty,t]$. Soit  $\ell$ une longueur sur $G$.    
Alors
\begin{eqnarray}
\text {pour tout } f\in \S^\ell_t(G,A),  
\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}^{1/m} 
\ \text{existe, et }\ \nonumber  \\ 
\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}^{1/m}=
\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}^{1/m}.\nonumber
\end{eqnarray}
\end{prop}
 On remarque que $\S^\ell_s(G,A)$ n'est pas en général une algèbre. 

\noindent
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries} Si $s=t$, il n'y a rien à dire. Sinon,
soit $r$ tel que $t>r>\max(t_0,s)$. 
Ecrivons $r=\theta s+(1-\theta )t$, avec $\theta \in ]0,1[$. 
On a, pour tout $m\in \N^*$,  
\begin{eqnarray}
||f^m||_{\S^\ell_r(G,A)}\leq ||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}^{\theta
  }||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}^{1-\theta }.\nonumber
\end{eqnarray}
D'où, si $ ||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}$ est non nul, 
\begin{eqnarray}\label{ineg14}
 ||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}\geq 
 ||f^m||_{\S^\ell_r(G,A)}^{1/\theta }
||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}^{1-1/\theta }.
\end{eqnarray}
Distinguons deux cas :  
si $\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}^{1/m}=0$,
 comme $||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}\leq 
||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}$, la limite 
$\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}^{1/m}$ existe
et vaut $0$. Si $\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell
_t(G,A)}^{1/m}$ est non nulle, elle est égale à 
$\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_r(G,A)}^{1/m}$ d'après
la proposition~\ref{sch-sch}, et donc $\lim _{m\vers \infty}
||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}^{1/m}$ existe et lui est égale, d'après~(\ref{ineg14})
 et grâce à  l'inégalité $||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}\leq 
||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}$. \cqfd

\section{Action des espaces de Schwartz sur des espaces $L^p$}
 


Dans toute cette section nous considérons un quadruplet
  d'Harish-Chandra  $(G,K,d,\phi
)$, et une $G$-algèbre de Banach $A$. 

\begin{defi}
Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soit $p\in [1,+\infty]$. On note 
 $L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)$ la complétion de $C_c(G,A)$ pour la
norme  
$$\|f\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)}=\biggl( \int _G
{\Bigl( \|f(g)\|_A\phi(g)^{\frac{2}{p} -1}
e^{\ell(g)}\Bigr) ^p dg} \biggr) ^{1/p} \text{ si } p<+\infty , $$
$$ \text{ et       }\quad \quad  \|f\|_{L^{\infty,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)}=
\sup_{g\in G} \|f(g)\|_A \phi(g)^{-1}e^{\ell(g)} \text{ si } p=+\infty .$$
\end{defi}
Lorsque $\ell=0$, ces espaces sont des espaces $L^p$ normalisés par $\phi
$, de sorte que l'on impose aux fonctions $K$-biinvariantes en gros la même
décroissance à l'infini, à savoir celle de $\phi$, pour toute valeur
de $p$. 
\begin{prop}  \label{actionLp}
 Soit $t\in \R_+$ tel que $\int
 \phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t}dg$ converge. On note $C$ la valeur de
 cette intégrale. Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soit
$p\in [1,+\infty]$. Pour 
$f,f_1,f_2\in C_c(G,A)$, on a  
$$\|f\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)}\leq C^{1/p}\|f\|_{\S^\ell_t(G,A)}
\text{ et }
\|f_1*f_2\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)} \leq C\|f_1\|_{\S^\ell_t(G,A)} 
\|f_2\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)}. $$
\end{prop}

En d'autres termes, sous ces hypothèses, on a des inclusions 
$$\S^\ell_t(G,A) \subset L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)\text{ et }
\S^\ell_t(G,A) * L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A) \subset
L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A).$$ 



\begin{bfseries}
Démonstration de la proposition.
\end{bfseries}
La première inégalité est immédiate, seule la deuxième doit être
démontrée. 
L'idée de cette preuve m'a été suggérée par Kroum Tzanev. 

On doit montrer que, pour tout  $p\in [1,+\infty]$,   
pour toute longueur $\ell$ sur $G$ 
et pour toute fonction $h\in C_c(G,\R_+)$, on a 
 \begin{eqnarray}
   \bigg\|  g\mapsto e^{\ell(g)}\phi(g)^{\frac{2}{p}-1}
\int _G \phi
(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}e^{-\ell(g_1)}\phi(g_1^{-1}g)^{-\frac{2}{p}+1}
  \nonumber  \\  
e^{-\ell(g_1^{-1}g)}h(g_1^{-1}g)dg_1 \bigg\|_{L^p(G,\R_+)}
\leq C \|h\|_{L^p(G,\R_+)} \nonumber
\end{eqnarray}
en notant $\|.\|_{L^p(G,\R_+)}$ la norme $L^p$ usuelle, non normalisée. 

Comme $\ell(g)\leq \ell(g_1)+\ell(g_1^{-1}g)$, il suffit de montrer que pour 
tout $p\in [1,+\infty]$ et pour toute fonction $h\in C_c(G,\R_+)$, 
\begin{eqnarray}
 \bigg\|g\mapsto \phi(g)^{\frac{2}{p}-1}
\int _G {\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-\frac{2}{p}+1}
h(g_1^{-1}g)dg_1}\bigg\|_{L^p(G,\R_+)} \nonumber  \\ 
\leq C \|h\|_{L^p(G,\R_+)}. \nonumber
\end{eqnarray}

Lorsque $p=\infty$, l'inégalité résulte immédiatement de l'égalité 
\begin{eqnarray}\label{eg19}
 \int _G\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t} 
\phi(g_1^{-1}g)dg_1 =C\phi(g). 
\end{eqnarray}
 que nous avons
déja rencontrée en~(\ref{eg6}). Lorsque $p=1$, après le changement de variable
$g=g_1g_2$, on voit qu'il suffit de montrer, pour tout $h\in L^1(G,\R_+)$, 
$\int
\phi(g_1g_2)\phi(g_1)(1+d(g_1))^{-t}\phi(g_2)^{-1}h(g_2)dg_1dg_2\leq
C\int h$ et on a même l'égalité. 

Supposons $p\in ]1,+\infty[$. Soit 
 $q\in ]1,+\infty[$ tel que $1/p+1/q=1$. 
D'après l'inégalité de Hölder, comme $-\frac{2}{p}+1=
\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$, on a 
\begin{eqnarray}\label{ineg18}
 \int _G {\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-\frac{2}{p}+1}
h(g_1^{-1}g)dg_1} \nonumber  \\
= \int _G \Bigl( \phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}
\phi(g_1^{-1}g)^{-1}h(g_1^{-1}g)^p\Bigr) ^{\frac{1}{p}}
\nonumber  \\
\Bigl( \phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)\Bigr)^{\frac{1}{q}}
dg_1 \nonumber  \\
\leq \biggl( \int _G {\phi
  (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-1}h(g_1^{-1}g)^p
  dg_1}\biggr)^{\frac{1}{p}}
\nonumber  \\ 
\biggl( \int _G {\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g) dg_1}\biggr)
^{\frac{1}{q}}. 
\end{eqnarray} 

D'après (\ref{eg19}) et (\ref{ineg18}), 
comme $p(\frac{2}{p}-1)=1-\frac{p}{q}$,  
\begin{eqnarray}
\bigg\|g\mapsto \phi(g)^{\frac{2}{p}-1}
\int _G {\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-\frac{2}{p}+1}
h(g_1^{-1}g)dg_1}\bigg\|_{L^p(G,\R_+)}^p \nonumber  \\ \leq 
\int _{G\times G} {\phi(g)^{1-\frac{p}{q}}\phi
  (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-1}h(g_1^{-1}g)^p 
(C \phi(g))^{\frac{p}{q}}dg_1dg}  \nonumber  \\ =
\int _{G\times G} {\phi(g)\phi
  (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-1}h(g_1^{-1}g)^p 
C ^{\frac{p}{q}}dg_1dg} \nonumber  \\ =
\int _{G\times G} {\phi(g_1g_2)\phi
  (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_2)^{-1}h(g_2)^p 
C ^{\frac{p}{q}}dg_1dg_2} \nonumber
\end{eqnarray}
 en faisant le changement de variables $g=g_1g_2$ et enfin 

 \begin{eqnarray}
 \int _{G\times G} {\phi(g_1g_2)\phi
  (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_2)^{-1}h(g_2)^p 
C ^{\frac{p}{q}}dg_1dg_2}  \nonumber  \\ =
C^{1+\frac{p}{q}}\int _{G} {h(g_2)^pdg_2}, \nonumber
 \end{eqnarray}
car, par un calcul analogue à~(\ref{eg19}), on a  
\begin{eqnarray}
 \int _{G} {\phi(g_1g_2)\phi
  (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}dg_1 }= C \phi(g_2).\nonumber
\end{eqnarray}
Ceci termine la démonstration de la proposition car
$(C^{1+\frac{p}{q}})^{\frac{1}{p}}=C$. \cqfd

\section{Questions de plénitude liées à l'action sur les espaces
  $L^p$}

Lorsque $E$ est un espace de Banach, on note $\L(E)$ l'algèbre des
endomorphismes continus de $E$, munie de la norme d'opérateur. 


\begin{prop} \label{actionLpplen}
 Soit $t_0\in \R_+$ tel que l'intégrale $\int_{G}
 {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t_0}dg}$ converge. Soit $t>t_0$. Soit
 $\ell$ une longueur sur $G$. Soit $p\in 
 [1,+\infty]$. Le morphisme d'algèbres de Banach 
 $$\iota: \S^\ell_t(G,A) \vers \L( L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A))$$ 
défini à la proposition~\ref{actionLp} est plein dans l'adhérence de
son image. 
\end{prop}

Nous commen\c cons par un lemme.
\begin{lem}  \label{techplen}
   Si $t\in \R_+$ est tel que l'intégrale $\int_{G}
 {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t}dg}$ converge, 
pour toute longueur $\ell$ sur $G$ et tout $p\in
 [1,+\infty]$, on a une inclusion continue 
 \begin{eqnarray}
  \S^\ell_t(G,A) * L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A) *\S^\ell_t(G,A)
  \subset \S^\ell_0(G,A), \nonumber  
 \end{eqnarray}
ou, plus précisément, en notant $C$ la valeur de l'intégrale $\int_{G}
 {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t}dg}$, pour tous  
$f_1,f_2,f_3\in C_c(G,A)$, on a 
\begin{eqnarray}
 \|f_1*f_2*f_3\|_{\S^\ell_0(G,A)}\leq C^{2-\frac{1}{p}}
\|f_1\|_{ \S^\ell_t(G,A)}\|f_2\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)}
\|f_3\|_{\S^\ell_t(G,A)}.\nonumber
\end{eqnarray}
\end{lem}
\begin{bfseries}
Démonstration du lemme~\ref{techplen}.
\end{bfseries}
 Nous devons montrer
 que, pour tout  $h\in C_c(G,\R_+)$, et pour tout $g\in G$,
\begin{eqnarray}
\int_{G\times G} \Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}e^{-\ell(g_1)}\Big)
\Big(h(g_2)\phi(g_2)^{-\frac{2}{p}+1}
e^{-\ell(g_2)}\Big)\nonumber  \\  \Big(\phi (g_2^{-1}g_1^{-1}g)
\big(1+d(g_2^{-1}g_1^{-1}g)\big)^{-t}
e^{-\ell(g_2^{-1}g_1^{-1}g)}\Big) dg_1dg_2 \nonumber  \\ \leq 
C^{2-\frac{1}{p}}\|h\|_{L^p(G,\R_+)}
\phi(g)e^{-\ell(g)}.\nonumber   
\end{eqnarray}
Comme $\ell(g)\leq \ell(g_1)+\ell(g_2)+\ell(g_2^{-1}g_1^{-1}g)$, 
 il suffit de montrer que, pour tout $h\in C_c(G,\R_+)$, et pour tout
 $g\in G$,  
\begin{eqnarray}
\int_{G\times G} \Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\Big)
\Big(h(g_2)\phi(g_2)^{-\frac{2}{p}+1}\Big)
\nonumber  \\ \Big(\phi (g_2^{-1}g_1^{-1}g)
\big(1+d(g_2^{-1}g_1^{-1}g)\big)^{-t} \Big) dg_1 dg_2 \leq 
C^{2-\frac{1}{p}}\|h\|_{L^p(G,\R_+)} \phi(g).  \nonumber
\end{eqnarray}
Introduisons $q\in [1,+\infty]$ tel que $1/p+1/q=1$.
 Par dualité entre $L^p(G,\R_+)$ et $L^q(G,\R_+)$, cela revient à
 montrer que pour tout $g\in G$ 
\begin{eqnarray*}
 \bigg\| g_2 \mapsto \phi(g_2)^{-\frac{2}{p}+1}\int_{G}
  \Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\Big) 
  \\ \Big( 
\phi (g_2^{-1}g_1^{-1}g) 
\big(1+d(g_2^{-1}g_1^{-1}g)\big)^{-t} \Big) dg_1\bigg\|_{L^q(G,\R_+)}\leq 
C^{2-\frac{1}{p}} \phi(g).
\end{eqnarray*}

Enfin, en rempla\c cant $g_1$ par $kg_1k'$ et en intégrant sur
 $k,k'\in K$, on a évidemment 
 \begin{eqnarray*}
 \bigg\| g_2 \mapsto \phi(g_2)^{-1}\int_{G}
 \Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\Big)   \\ 
\Big( \phi (g_2^{-1}g_1^{-1}g) 
 \Big) dg_1\bigg\|_{L^\infty(G,\R_+)}\leq 
C \phi(g)
\end{eqnarray*}
 et d'autre part, par le changement de variable
 $g_2=g_1^{-1}gg_3^{-1}$, puis en rempla\c cant $g_1^{-1}$ par
 $g_1^{-1}k$ et $g_3^{-1}$ par $k'g_3^{-1}$ et en intégrant sur
 $k,k'\in K$, on obtient 
\begin{eqnarray*}
 \bigg\| g_2 \mapsto \phi(g_2) \int_{G}
  \Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\Big) 
 \\ \Big( \phi (g_2^{-1}g_1^{-1}g) 
\big(1+d(g_2^{-1}g_1^{-1}g)\big)^{-t} \Big) dg_1\bigg\|_{L^1(G,\R_+)}\\
=\int_{G\times G}\Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\Big) 
\Big( \phi (g_1^{-1}gg_3^{-1})\Big)
\Big(\phi(g_3)\big(1+d(g_3)\big)^{-t}\Big)dg_1dg_3\\  
\leq 
C^2 \phi(g).
\end{eqnarray*}
Ceci fournit les cas $p=1$ et $p=\infty$ et le cas général s'en déduit
immédiatement. \cqfd

\begin{bfseries}
Démonstration de la proposition~\ref{actionLpplen}.
\end{bfseries}
Soit $t_0\in \R_+$, tel que l'intégrale $\int_{G}
 {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t_0}dg}$ converge. Soit $t>t_0$. On a  
$ \S^\ell_t(G,A) \subset L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)$ et on peut
 appliquer le lemme~\ref{techplen}. 
Il existe donc des constantes $C'$ et $C''$ telles que,
pour tout $f\in \S^\ell_t(G,A)$, on ait  
\begin{eqnarray}
\|f^m\|_{\S^\ell_0(G,A)}\leq C'\|f\|_{\S^\ell_t(G,A)} 
\|f^{m-2}\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)}
\|f\|_{\S^\ell_t(G,A)}\nonumber  \\  \leq 
C''\|f\|_{\S^\ell_t(G,A)}^3 
\|\iota(f)^{m-3}\|_{\L(L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A))}.\nonumber
\end{eqnarray}
D'où, pour   tout $f\in \S^\ell_t(G,A)$,  
\begin{eqnarray}
 \limsup _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_0(G,A)}^{1/m}\leq 
  \lim _{m\vers \infty} ||\iota(f)^m||_{\L(L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A))}^{1/m}.\nonumber
\end{eqnarray}
On peut appliquer la proposition~\ref{raff} à $t>t_0$ et à
$s=0$. On obtient 
\begin{eqnarray}
 \limsup _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_0(G,A)}^{1/m}=
 \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_{t}(G,A)}^{1/m}.\nonumber
\end{eqnarray}
\cqfd


\section{Lien avec les algèbres $L^1(G,A)$}

Dans toute cette section, nous considérons un quadruplet
d'Harish-Chandra  $(G,K,d,\phi
)$, et une $G$-algèbre de Banach $A$. 
 
\begin{defi}
 Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soit $t\in \R_+$. 
 On note  
$L^{1,\ell}_{t}(G,A)$ la complétion de $C_c(G,A)$ pour la norme 
$$\|f\|_{L^{1,\ell}_{t}(G,A)}=\int _G
{\|f(g)\|_A e^{\ell(g)}(1+d(g))^t dg}. $$
\end{defi}
 Il est immédiat que $L^{1,\ell}_{t}(G,A)$ est une algèbre de Banach pour
 le produit de convolution.
 \begin{prop} \label{L1plein}
  Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soient  $s,t\in \R_+$ avec $s\leq
 t$. Alors  
$L^{1,\ell}_{t}(G,A)$ est une sous-algèbre dense et pleine de 
$L^{1,\ell}_{s}(G,A)$. 
 \end{prop}
La preuve de cette proposition est analogue à celle de la
proposition~\ref{sch-sch}. \cqfd

Pour trouver des espaces de Schwartz généralisés pleins dans ces
algèbres nous avons besoin d'une donnée supplémentaire. 


 Nous dirons qu'une longueur $\ell_{\phi} $ sur $G$ vérifie la propriété
 $(N)$ si les 
 conditions suivantes sont satisfaites : 
 \begin{itemize}
\item \textit{(N1)} pour tout $k\in K$, $\ell_{\phi}(k)=0$,
 \item \textit{(N2)} pour tout $g\in G$,
  $\ell_{\phi}(g^{-1})=\ell_{\phi}(g)$,
\item \textit{(N3)} il existe $s\in \R_+$, et deux constantes $C_1$ et
  $C_2$ dans $\R_+^*$, tels que, pour tout $g\in G$, 
 $$ C_1 e^{-\ell_{\phi}(g)}\leq \phi (g)\leq C_2
 e^{-\ell_{\phi}(g)}\big(1+d(g)\big)^s.$$  
 \end{itemize}

  Notons que si $G$ est un groupe de Lie semi-simple réel linéaire connexe,
  et $K,d,\phi $ sont comme dans le paragraphe 2, $\ell_{\phi}=d_{\rho}$
  convient (et on a un résultat analogue pour les groupes de Lie
  réductifs réels).

De même, si $G$ est un groupe réductif sur un corps
  p-adique et $K$, $\sigma $ et $\Xi$ sont comme dans le
  paragraphe~\ref{padique}, $\ell_{\phi}=d_{\rho}$
  convient.

 \begin{prop}
  Soit $\ell_{\phi} $ une longueur sur $G$ vérifiant $(N)$. Alors pour 
$t\in \R_+$ assez grand, pour tout $s\in \R_+$ et pour toute longueur $\ell$  
 sur $G$,  $\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)$ est une sous-algèbre dense et
 pleine de $L^{1,\ell}_{s}(G,A)$.   
 \end{prop}
Plus précisément, soit $t_0\in \R_+$ tel que $\int \phi(g)^2 (1+d(g))^{-t_0}dg$
  converge. Soit  $t_1\in \R_+$ tel que 
\begin{eqnarray}
  \Bigl( g\mapsto \phi(g)e^{-\ell_{\phi}(g)}\big(1+d(g)\big)^{-t_1}\Bigr)
  \text{ appartienne à } 
L^1(G,\R_+).\nonumber
\end{eqnarray}
Soit $t_2\in \R_+$ tel qu'il existe une constante $C_2\in \R_+$ avec,
pour tout $g\in G$, 
$\phi(g)\leq C_2\big(1+d(g)\big)^{t_2}e^{-\ell_{\phi}(g)}$.
Alors, si $s\in \R_+$ et $t\geq \max(t_0-s,t_1)$,  $\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)$ est une sous-algèbre dense de
$L^{1,\ell}_{s}(G,A)$. Si $s+t>t_0$ et $s+t\geq t_1+t_2$,  elle est 
pleine. 

\noindent
\begin{bfseries}
Démonstration.
\end{bfseries}
Si $s+t\geq t_0$, 
$\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)$ est une algèbre de Banach, et si 
$s\in \R_+$ et $t\geq t_1$, c'est une sous-algèbre 
 de $L^{1,\ell}_{s}(G,A)$, et elle est évidemment dense.

On a 
\begin{eqnarray}\label{inclu}
 L^{1,\ell}_{t_2}(G,A)\subset L^{1,\ell_{\phi}+\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A). 
\end{eqnarray}
Si $s+t\geq t_0$, le lemme~\ref{techplen} s'applique et, à cause
de~(\ref{inclu}), il existe des 
constantes $C'$ et $C''$ telles que, pour tout $f\in C_c(G,A)$, on ait
\begin{eqnarray}
 \|f^m\|_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_0(G,A)}\leq C'
   \|f\|_{ \S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)}
\|f^{m-2}\|_{L^{1,\ell_{\phi}+\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)}
\|f\|_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)}
\nonumber  \\ \leq 
C'' \|f\|_{ \S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)}
\|f^{m-2}\|_{L^{1,\ell}_{t_2}(G,A)}
\|f \|_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)}.\nonumber
\end{eqnarray}
Si $s+t\geq t_1+t_2$, l'inégalité ci-dessus s'étend à tout 
$f\in \S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)$. En passant à la limite, on obtient,
pour tout $f\in \S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)$,
\begin{eqnarray}
 \limsup _{m\vers \infty}
 ||f^m||_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_0(G,A)}^{1/m}\leq 
 \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{L^{1,\ell}_{t_2}(G,A)}^{1/m}. \nonumber
\end{eqnarray}
Si $s+t> t_0$, d'après la proposition~\ref{raff}, on a 
\begin{eqnarray}
 \limsup _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_0(G,A)}^{1/m}= 
\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)}^{1/m}.\nonumber
\end{eqnarray}
Enfin par la proposition~\ref{L1plein}, 
\begin{eqnarray}
 \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{L^{1,\ell}_{t_2}(G,A)}^{1/m}=
 \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{L^{1,\ell}_{s}(G,A)}^{1/m}.\nonumber 
\end{eqnarray}
\cqfd 

En fait en utilisant une version un peu modifiée 
du lemme~\ref{techplen}, on pourrait
éviter le recours à la proposition~\ref{L1plein}. 

\section{Lien avec $C^*_r(G,A)$}

Récapitulons d'abord ce qui a été démontré concernant $C^*_r(G)$.
Soit $(G,K,d,\phi)$ un quadruplet  d'Harish-Chandra.
Les propositions~\ref{actionLp} et~\ref{actionLpplen} impliquent le
résultat suivant. 
\begin{prop}\label{recapitulationC^*}
Soit $t_0\in \R_+$ tel que l'intégrale $\int_{G}
 {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t_0}dg}$ converge. Si $t\geq t_0$,  
$\S_t(G)$ est  une sous-algèbre dense de $C^*_r(G)$. Si
$t>t_0$,  elle est  pleine.   
\end{prop}\cqfd

Soit maintenant $A$ une $G$-$C^*$-algèbre. 
\begin{prop}
 Si $t\in \R_+$ est tel que l'intégrale $\int_{G}
 {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t}dg}$ converge,  $\S_t(G,A)$
 est une sous-algèbre dense de $C^*_r(G,A)$.   
\end{prop}
La proposition résulte immédiatement de la proposition précédente et
du lemme~\ref{incond.C^*}. \cqfd

On peut montrer que cette sous-algèbre n'est pas pleine en
général (quand $t>t_0$). On le voit facilement lorsque $A=C(G/\Gamma)$
où $\Gamma $ 
est un sous-groupe discret cocompact de $G$. Elle n'est  pas pleine
non plus lorsque $A=C(G/B)$, avec $G=SL(n,\C)$ et $B$ le sous-groupe des
matrices triangulaires supérieures, mais cela est un peu plus
dur à démontrer.

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